В математике, в теории дифференциальных уравнений и динамических систем , конкретное стационарное или квазистационарное решение нелинейной системы называется линейно неустойчивым, если линеаризация уравнения в этом решении имеет вид , где A - линейный оператор , спектр которого содержит собственные значения с положительной реальной частью. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то решение называется линейно устойчивым . Другие названия линейной устойчивости включают экспоненциальную устойчивость или устойчивость в первом приближении . [1] [2] Если существует собственное значение с нулевой действительной частью, то вопрос об устойчивости не может быть решен на основе первого приближения и мы подходим к так называемой «проблеме центра и фокуса». [3]
Пример 1: ODE [ править ]
Дифференциальное уравнение
имеет два стационарных (не зависящих от времени) решения: x = 0 и x = 1. Линеаризация при x = 0 имеет вид . Линеаризованный оператор имеет вид A 0 = 1. Единственное собственное значение - . Решения этого уравнения растут экспоненциально; стационарная точка x = 0 линейно неустойчива.
Чтобы получить линеаризацию при x = 1, пишут , где r = x - 1. Тогда линеаризованное уравнение имеет вид ; линеаризованный оператор имеет вид A 1 = −1, единственное собственное значение - это , следовательно, эта стационарная точка линейно устойчива.
Пример 2: NLS [ править ]
Нелинейное уравнение Шредингера
- , где u ( x , t ) ∈ ℂ и k > 0,
имеет уединенные волновые решения вида . [4] Для вывода линеаризации на уединенной волне решение рассматривается в форме . Линеаризованное уравнение на определяется выражением
где
с участием
а также
то дифференциальные операторы . Согласно критерию устойчивости Вахитов-Колокола , [5] , когда к > 2, спектр А имеет положительные собственные значения точки, так что линеаризованное уравнение линейно (экспоненциально) неустойчив; при 0 < k ≤ 2 спектр A чисто мнимый, так что соответствующие уединенные волны линейно устойчивы.
Следует отметить, что линейная устойчивость не означает автоматически устойчивость; в частности, при k = 2 уединенные волны неустойчивы. С другой стороны, при 0 < k <2 уединенные волны не только линейно устойчивы, но и орбитально устойчивы . [6]
См. Также [ править ]
- Асимптотическая устойчивость
- Линеаризация (анализ устойчивости)
- Ляпуновская устойчивость
- Орбитальная стабильность
- Теория устойчивости
- Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова.
Ссылки [ править ]
- ^ В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. MIT Press, Кембридж, Массачусетс (1973)
- ^ П. Глендиннинг, Устойчивость, неустойчивость и хаос: введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Издательство Кембриджского университета, 1994.
- ^ В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, "Качественная теория дифференциальных уравнений", Принстонский ун-т. Пресса (1960)
- ^ Х. Берестыцкий и П.-Л. Львы (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля. I. Существование основного состояния». Arch. Рациональный мех. Анальный . 82 (4): 313–345. Bibcode : 1983ArRMA..82..313B . DOI : 10.1007 / BF00250555 .
- ↑ Н.Г. Вахитов, А.А. Колоколов (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Radiophys. Квантовая электроника . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R & QE ... 16..783V . DOI : 10.1007 / BF01031343 .
- ^ Manoussos Grillakis, Жалал Shatah и Вальтера Штрауса (1987). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии. I». J. Funct. Анальный . 74 : 160–197. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (87) 90044-9 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)