В математике , линеаризация находит линейное приближение к функции в данной точке. Линейное приближение функции - это разложение Тейлора первого порядка вокруг интересующей точки. При исследовании динамических систем , линеаризация представляет собой способ оценки локальной стабильности в качестве точки равновесия в виде системы из нелинейных дифференциальных уравнений или дискретных динамических систем . [1] Этот метод используется в таких областях, как инженерия , физика ,экономика и экология .
Линеаризация функции
Линеаризация функции - это линии, обычно линии, которые можно использовать для расчетов. Линеаризация - это эффективный метод аппроксимации вывода функции. в любом на основе значения и наклона функции при, учитывая, что дифференцируема на (или же ) и что близко к . Короче говоря, линеаризация приближает результат функции около.
Например, . Однако то, что было бы хорошим приближением к?
Для любой заданной функции , может быть аппроксимирован, если он находится вблизи известной дифференцируемой точки. Самым основным требованием является то, что, где является линеаризацией в . Форма точка наклона уравнения образует уравнение прямой, учитывая точку и наклон . Общая форма этого уравнения:.
Используя точку , становится . Поскольку дифференцируемые функции локально линейны , лучшим наклоном для замены будет наклон прямой, касательной к в .
Хотя концепция локальной линейности наиболее применима к точкам, произвольно близким к, те относительно близкие работают относительно хорошо для линейных приближений. Склон должен быть, наиболее точно, наклон касательной в точке .
Визуально на прилагаемой диаграмме показана касательная линия в . В, где любое небольшое положительное или отрицательное значение, очень близко к значению касательной в точке .
Окончательное уравнение линеаризации функции при является:
Для , . Производное от является , а наклон в является .
Пример
Найти , мы можем использовать тот факт, что . Линеаризация в является , потому что функция определяет наклон функции в . Подставляя в, линеаризация в 4 имеет вид . В таком случае, так примерно . Истинное значение близко к 2,00024998, поэтому приближение линеаризации имеет относительную ошибку менее 1 миллионной доли процента.
Линеаризация функции многих переменных
Уравнение линеаризации функции в какой-то момент является:
Общее уравнение линеаризации функции многих переменных в какой-то момент является:
где - вектор переменных, а представляет интерес для линеаризации. [2]
Использование линеаризации
Линеаризация позволяет использовать инструменты исследования линейных систем для анализа поведения нелинейной функции вблизи заданной точки. Линеаризация функции - это член первого порядка ее разложения Тейлора вокруг интересующей точки. Для системы, определяемой уравнением
- ,
линеаризованная система может быть записана как
где это достопримечательность и является якобиан из оценен в .
Анализ устойчивости
В стабильности анализа автономных систем , можно использовать собственные значения на матрицы Якоби вычисляется на гиперболической точки равновесия , чтобы определить природу этого равновесия. Это содержание теоремы о линеаризации . Для нестационарных систем линеаризация требует дополнительного обоснования. [3]
Микроэкономика
В микроэкономике , правила принятия решений могут быть приближены под пространством состояний подхода к линеаризации. [4] В соответствии с этим подходом, что уравнения Эйлера о задаче максимизации полезности линеаризуются вокруг стационарного стационарного состояния. [4] Затем находится единственное решение полученной системы динамических уравнений. [4]
Оптимизация
В математической оптимизации функции затрат и нелинейные компоненты внутри могут быть линеаризованы для применения метода линейного решения, такого как симплексный алгоритм . Оптимизированный результат достигается намного эффективнее и детерминирован как глобальный оптимум .
Мультифизика
В мультифизических системах - системах, включающих несколько физических полей, которые взаимодействуют друг с другом, - может выполняться линеаризация по каждому из физических полей. Эта линеаризация системы по отношению к каждому из полей приводит к линеаризованной системе монолитных уравнений, которую можно решить с помощью процедур монолитного итерационного решения, таких как метод Ньютона – Рафсона . Примеры этого включают системы сканирования МРТ, которые создают систему электромагнитных, механических и акустических полей. [5]
Смотрите также
- Линейная устойчивость
- Матрица касательной жесткости
- Производные устойчивости
- Теорема линеаризации
- Приближение Тейлора
- Функциональное уравнение (L-функция)
Рекомендации
- ^ Проблема линеаризации в сложных динамических системах размерности один в Scholarpedia
- ^ Линеаризация. Университет Джона Хопкинса. Департамент электротехники и вычислительной техники. Архивировано 07 июня 2010 г. в Wayback Machine.
- ^ Леонов, Г.А.; Кузнецов, Н.В. (2007). «Нестационарная линеаризация и эффекты Перрона». Международный журнал бифуркаций и хаоса . 17 (4): 1079–1107. Bibcode : 2007IJBC ... 17.1079L . DOI : 10.1142 / S0218127407017732 .
- ^ a b c Моффат, Майк. (2008) Глоссарий по экономике государственного и космического подхода на сайте About.com ; Термины, начинающиеся с S. По состоянию на 19 июня 2008 г.
- ^ Bagwell, S .; Ledger, PD; Gil, AJ; Mallett, M .; Круип, М. (2017). « Линеаризованная конструкция HP - конечных элементов для акустомагнитомеханической связи в осесимметричных сканерах МРТ» . Международный журнал численных методов в инженерии . 112 (10): 1323–1352. Bibcode : 2017IJNME.112.1323B . DOI : 10.1002 / nme.5559 .
Внешние ссылки
Учебники по линеаризации
- Линеаризация для анализа моделей и разработки средств управления