Логарифм

Графики функций логарифма с тремя обычно используемыми основаниями. Особые точки log _b b = 1 обозначены пунктирными линиями, и все кривые пересекаются в log _b 1 = 0.

График логарифм основания 2 пересекает е оси х при х = 1 и проходит через точку (2, 1) , (4, 2) , и (8, 3) , изображающий, например, войти ₂ (8) = 3 и 2 ³ = 8 . График приближается к оси y произвольно , но не пересекает ее .

Арифметические операции v т е

Дополнение (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend (в широком смысле)}} \, + \, {\ text {addend (в широком смысле)}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend (в строгом смысле)}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Вычитание (-) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}$ Умножение (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Деление (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}}$ Возведение в степень ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ корень n- й степени (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Логарифм (журнал) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

В математике , то логарифм является обратной функцией для потенцирования . Это означает, что логарифм данного числа  x является показателем степени, до которого должно быть возведено другое фиксированное число, основание  b , чтобы получить это число  x . В простейшем случае логарифм подсчитывает количество вхождений одного и того же множителя при повторном умножении; например, поскольку 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 ³ , «логарифм по основанию 10 » 1000 равен 3 , или log ₁₀ (1000) = 3 . Логарифмx до основания b обозначается как log _b ( x ) или без круглых скобок, log _b  x , или даже без явного основания, log  x , когда нет путаницы или когда основание не имеет значения, например, в большой нотации O .

В более общем плане возведение в степень позволяет возвести любое положительное действительное число в качестве основания в любую действительную степень, всегда давая положительный результат, поэтому log _b ( x ) для любых двух положительных действительных чисел  b и  x , где  b не равно  1 , равно всегда уникальное действительное число  y . Более точно, определяющее соотношение между возведением в степень и логарифмом:

${\displaystyle \log _{b}(x)=y\ }$ровно если и и и .${\displaystyle \ b^{y}=x\ }$${\displaystyle \ x>0}$${\displaystyle \ b>0}$${\displaystyle \ b\neq 1}$

Например, журнал ₂  64 = 6 , так как 2 ⁶ = 64 .

Логарифм с основанием 10 (то есть b = 10 ) называется десятичным или десятичным логарифмом и обычно используется в науке и технике. Основанием натурального логарифма является число e  (то есть b ≈ 2,718 ); его использование широко распространено в математике и физике из-за более простого интеграла и производной . В двоичный логарифм использует базу 2 (то есть Ь = 2 ) и часто используется в информатике . Логарифмы являются примерами вогнутых функций. ^[1]

Логарифмы были введены Джоном Нэпиром в 1614 году для упрощения вычислений. ^[2] Они были быстро приняты навигаторами, учеными, инженерами, геодезистами и другими, чтобы упростить выполнение высокоточных вычислений. Используя таблицы логарифмов , утомительные шаги многозначного умножения можно заменить просмотром таблиц и более простым сложением. Это возможно благодаря тому факту, который важен сам по себе, что логарифм продукта является суммой логарифмов факторов:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,\,}$

при условии, что все b , x и y положительны и b 1 . Правила скольжения , а также на основе логарифмов, позволяют быстрые вычисления без таблиц, но при более низкой точности. Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера , который связал их с экспоненциальной функцией в 18 веке, а также ввел букву е в качестве основания натуральных логарифмов. ^[3]

Логарифмические шкалы уменьшают масштабные величины до крошечных масштабов . Например, децибел (дБ) - это единица, используемая для выражения отношения в виде логарифмов , в основном для мощности и амплитуды сигнала ( частым примером которых является звуковое давление ). В химии, рН является логарифмической мерой кислотности в качестве водного раствора . Логарифмы - обычное дело в научных формулах и измерениях сложности алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталами . Они помогают описывать частотные соотношения музыкальных интервалов., появляются в формулах для подсчета простых чисел или приближающих факториалов , используются в некоторых психофизических моделях и могут помочь в судебно-медицинской экспертизе .

Точно так же, как логарифм обращает возведение в степень , комплексный логарифм является обратной функцией экспоненциальной функции, независимо от того, применяется ли она к действительным или комплексным числам . Другой вариант - модульный дискретный логарифм ; он используется в криптографии с открытым ключом .

Мотивация и определение [ править ]

Сложение , умножение и возведение в степень - три основных арифметических операции. Сложение, простейшее из них, отменяется вычитанием: когда вы прибавляете 5 к x, чтобы получить x + 5 , чтобы отменить эту операцию, вам нужно вычесть 5 из x + 5 . Умножение, следующая простейшая операция, отменяется делением : если вы умножите x на 5, чтобы получить 5 x , вы затем можете разделить 5 x на 5, чтобы вернуться к исходному выражениюх . Логарифмы также отменяют основную арифметическую операцию возведения в степень. Возведение в степень - это когда вы увеличиваете число до определенной степени. Например, возведение 2 в степень 3 дает 8 :

${\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8}$

В общем случае вы возводите число b в степень y, чтобы получить x :

${\displaystyle b^{y}=x}$

Число b считается основой этого выражения. Основание - это число, которое возведено в определенную степень - в приведенном выше примере основание выражения - 2 . Это легко сделать подставы предмет выражения: все , что вам нужно сделать , это взять у -ый корень обеих сторон. Это дает:${\displaystyle 2^{3}=8}$

${\displaystyle b={\sqrt[{y}]{x}}}$

Сделать y предметом выражения труднее. Логарифмы позволяют нам это делать:

$${\displaystyle y=\log _{b}x}$$

Это выражение означает, что y равно степени, в которую вы должны возвести b , чтобы получить x . Эта операция отменяет возведение в степень, потому что логарифм x сообщает вам показатель степени , до которого было возведено основание.

Возведение в степень [ править ]

В этом подразделе содержится краткий обзор операции возведения в степень, которая имеет фундаментальное значение для понимания логарифмов. Повышение б к п -й мощности, где п представляет собой натуральное число , производится путем умножения п коэффициенты , равные б . П -й мощности б записывается б ^п , так что

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}}$

Возведение в степень можно расширить до b ^y , где b - положительное число, а показатель y - любое действительное число . ^[4] Например, б ^-1 является обратным по Ь , то есть 1 / б . Возведение b в степень 1/2 - это квадратный корень из b .

В более общем смысле, возведение b в рациональную степень p / q , где p и q - целые числа, задается следующим образом:

${\displaystyle b^{p/q}={\sqrt[{q}]{b^{p}}},}$

в Q -й корень .${\displaystyle b^{p}\!\!}$

Наконец, любое иррациональное число (действительное число, которое не является рациональным) y может быть аппроксимировано с произвольной точностью рациональными числами. Это может быть использовано для вычисления y-й степени числа b : например, и все более хорошо аппроксимируется с помощью . Более подробное объяснение, а также формула b ^{m + n} = b ^m · b ⁿ содержится в статье о возведении в степень .${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414...}$${\displaystyle b^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle b^{1},b^{1.4},b^{1.41},b^{1.414},...}$

Определение [ править ]

Логарифм положительного вещественного числа х по отношению к базовому б ^{[NB 1]} является показателем , по которому б должен быть поднят с получением х . Другими словами, логарифм x по основанию b является решением y уравнения ^[5]

${\displaystyle b^{y}=x.}$

Логарифм обозначается « Журнал _Ь  х » (читаются как «логарифм х к базовому б » или « base- б логарифм х » или (наиболее часто) «журнал базовой б , из й »).

В уравнении y = log _b  x значение y является ответом на вопрос «В какую степень нужно возвести b , чтобы получить x ?».

Примеры [ править ]

• log ₂  16 = 4 , поскольку 2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
• Логарифмы также могут быть отрицательными: поскольку${\displaystyle \quad \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1\quad }$${\displaystyle \quad 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀  150 составляет приблизительно 2,176, что находится между 2 и 3, точно так же, как 150 находится между 10 ² = 100 и 10 ³ = 1000.
• Для любого базового б , войти _Ь  Ь = 1 и войти _Ь  1 = 0 , так как Ь ¹ = Ь и б ⁰ = 1 , соответственно.

Логарифмические тождества [ править ]

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом. ^[6]

Продукт, частное, мощность и корень [ править ]

Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм p -й степени числа равен p, умноженному на логарифм самого числа; Логарифм корня p -й степени - это логарифм числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма или в левых частях. ^[1]${\displaystyle x=b^{\log _{b}x}}$${\displaystyle y=b^{\log _{b}y}}$

	Формула	Пример
Товар	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}$	${\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}$
Частное	${\displaystyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$	${\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$
Мощность	${\displaystyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}$	${\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}$
Корень	${\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Смена базы [ править ]

Логарифм log _b x может быть вычислен из логарифмов x и b относительно произвольного основания k, используя следующую формулу:

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,}$

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы с основанием 10 и е . ^[7] Логарифмы по основанию b могут быть определены с использованием любого из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,}$

Для числа x и его логарифма y = log _b  x с неизвестным основанием b основание задается следующим образом:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$

что можно увидеть, взяв определяющее уравнение в степени${\displaystyle x=b^{\log _{b}x}=b^{y}}$${\displaystyle \;{\tfrac {1}{y}}.}$

Конкретные базы [ править ]

Среди всех вариантов основания три особенно распространены. Это b = 10 , b = e ( иррациональная математическая константа ≈ 2,71828) и b = 2 ( двоичный логарифм ). В математическом анализе основание логарифма e широко распространено из-за аналитических свойств, описанных ниже. С другой стороны, логарифмы по основанию 10 легко использовать для ручных вычислений в десятичной системе счисления: ^[8]

${\displaystyle \log _{10}(10x)=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\ }$

Таким образом, log ₁₀  x связан с количеством десятичных цифр положительного целого числа x : количество цифр является наименьшим целым числом, строго большим, чем log ₁₀  x . ^[9] Например, log ₁₀ 1430 составляет приблизительно 3,15. Следующее целое число - 4, то есть 1430 цифр. В теории информации используются как натуральный логарифм, так и логарифм с основанием два , что соответствует использованию натсов или битов в качестве основных единиц информации, соответственно. ^[10] Двоичные логарифмы также используются винформатика , где двоичная система широко распространена; в теории музыки , где отношение высоты тона, равное двум ( октава ), является повсеместным, а цент - это двоичный логарифм (в масштабе 1200) отношения между двумя соседними равными темпами высотами в европейской классической музыке ; и в фотографии для измерения значений экспозиции . ^[11]

В следующей таблице перечислены общие обозначения логарифмов для этих оснований и полей, в которых они используются. Многие дисциплины записывают log  x вместо log _b  x , когда предполагаемая база может быть определена из контекста. Также встречается обозначение ^b log  x . ^[12] В столбце «Обозначения ISO» перечислены обозначения, предложенные Международной организацией по стандартизации ( ISO 80000-2 ). ^[13] Поскольку обозначение log xбыл использован для всех трех баз (или когда база неопределенная или несущественная), предполагаемая база часто должна выводиться на основе контекста или дисциплины. В информатике журнал обычно относится к журналу ₂ , а в математике журнал обычно относится к журналу _e . ^{[14] [1]} В других контекстах журнал часто означает журнал ₁₀ . ^[15]

История [ править ]

История логарифмов в семнадцатом веке в Европе является открытием новой функции , которая простиралась в области анализа за рамки алгебраических методов. Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание чудесного правила логарифмов ). ^{[22] [23]} До изобретения Напьера существовали и другие техники аналогичного объема, такие как протокаферез или использование таблиц прогрессий, широко разработанные Йостом Бюрджи около 1600 года. ^{[24] [25]}Напье ввел термин «логарифм» на среднелатинском языке, «logarithmorum», производный от греческого, буквально означающий «отношение-число», от « logos »: пропорция, соотношение, слово «+ arithmos » число.

Логарифм ряда является показателем той силы , которая в десять раз равно числу. ^[26] Говоря о числе, требующем такого количества цифр, является грубым намеком на десятичный логарифм, и Архимед назвал его «порядком числа». ^[27] Первые действительные логарифмы были эвристическими методами, превращавшими умножение в сложение, что облегчало быстрые вычисления. Некоторые из этих методов использовали таблицы, полученные из тригонометрических тождеств. ^[28] Такие методы называются протафаэрезисом .

Изобретение функции теперь известный как натуральный логарифм начал как попытку выполнить квадратуры прямоугольной гиперболы по Грегуар де Сен-Венсан , бельгийский иезуит , проживающих в Праге. Архимед написал «Квадратуру параболы» в третьем веке до нашей эры, но квадратура для гиперболы ускользнула от всех усилий, пока Сен-Винсент не опубликовал свои результаты в 1647 году. Связь, которую логарифм обеспечивает между геометрической прогрессией в своем аргументе и арифметической прогрессией. ценностей, - подсказал А.А. де Сараса.установить связь квадратур Сен-Винсента и традиции логарифмов в простафаэрезисе , что привело к термину «гиперболический логарифм», синониму натурального логарифма. Вскоре новую функцию оценили Христиан Гюйгенс и Джеймс Грегори . Обозначение Log y было принято Лейбницем в 1675 г. ^[29], а в следующем году он соединил его с интегралом${\displaystyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

До того, как Эйлер разработал свою современную концепцию сложных натуральных логарифмов, Роджер Котс получил почти эквивалентный результат, когда в 1714 году показал, что ^[30]

${\displaystyle \log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta }$

Таблицы логарифмов, правила слайдов и исторические приложения[ редактировать ]

Упрощая сложные вычисления до того, как стали доступны калькуляторы и компьютеры, логарифмы способствовали развитию науки, особенно астрономии . Они имели решающее значение для достижений в геодезии , астрономической навигации и других областях. Пьер-Симон Лаплас назвал логарифмами

«... замечательная уловка, которая, сокращая до нескольких дней труд многих месяцев, удваивает жизнь астронома и избавляет его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений». ^[31]

Поскольку функция f ( x ) = b ^x является обратной функцией log _b  x , ее назвали антилогарифмом . ^[32]

Таблицы журнала [ править ]

Ключевым инструментом, сделавшим возможным практическое использование логарифмов, была таблица логарифмов . ^[33] Первая такая таблица была составлена Генри Бриггсом в 1617 году, сразу после изобретения Нэпьера, но с нововведением, заключающимся в использовании 10 в качестве основы. Первая таблица Бриггса содержала десятичные логарифмы всех целых чисел в диапазоне 1–1000 с точностью до 14 цифр. Впоследствии были написаны таблицы с увеличивающимся объемом. В этих таблицах перечислены значения log ₁₀  x для любого числа x.в определенном диапазоне, с определенной точностью. Логарифмы по основанию 10 повсеместно использовались для вычислений, отсюда и название десятичный логарифм, поскольку числа, различающиеся в 10 раз, имеют логарифмы, различающиеся целыми числами. Десятичный логарифм x можно разделить на целую и дробную части , известные как характеристика и мантисса . Таблицы логарифмов должны включать только мантиссу, так как характеристика может быть легко определена путем подсчета цифр от десятичной точки. ^[34] Характеристика 10 · x равна единице плюс характеристика x, и их мантиссы такие же. Таким образом, используя трехзначную таблицу журнала, логарифм 3542 аппроксимируется следующим образом:

${\displaystyle \log _{10}3542=\log _{10}(1000\cdot 3.542)=3+\log _{10}3.542\approx 3+\log _{10}3.54\,}$

Большую точность можно получить с помощью интерполяции :

${\displaystyle \log _{10}3542\approx 3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)\,}$

Значение 10 ^x можно определить путем обратного просмотра в той же таблице, поскольку логарифм является монотонной функцией .

Вычисления [ править ]

Произведение и частное двух положительных чисел c и d обычно рассчитывались как сумма и разность их логарифмов. Cd продукта или частное c / d получено в результате поиска антилогарифма суммы или разницы в той же таблице:

${\displaystyle cd=10^{\ \log _{10}c}\,10^{\ \log _{10}d}=10^{\ \log _{10}c+\ \log _{10}d}\,}$

и

${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\ \log _{10}c-\ \log _{10}d}.\,}$

Для ручных вычислений, требующих какой-либо заметной точности, поиск двух логарифмов, вычисление их суммы или разницы и поиск антилогарифма намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними методами, такими как простафаэрез , который опирается на тригонометрические тождества .

Вычисления степеней и корней сводятся к умножению или делению и поиску на

${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\ \log _{10}c}\right)^{d}=10^{d\ \log _{10}c}\,}$

и

${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\ \log _{10}c}.\,}$

Тригонометрические вычисления облегчили таблицы, содержащие десятичные логарифмы тригонометрических функций .

Правила слайдов [ править ]

Другим важным приложением является правилом скольжения , пара логарифмически разделенных шкал , используемых для расчета. Нескользящая логарифмическая шкала, правило Гюнтера , была изобретена вскоре после изобретения Напьера. Уильям Отред усовершенствовал его, чтобы создать логарифмическую линейку - пару логарифмических шкал, подвижных относительно друг друга. Числа расположены на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Правильное перемещение верхней шкалы означает механическое сложение логарифмов, как показано здесь:

Например, добавление расстояния от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Логарифмическая линейка была важным инструментом вычислений для инженеров и ученых до 1970-х годов, поскольку она позволяла, за счет точности, выполнять вычисления гораздо быстрее, чем методы, основанные на таблицах. ^[35]

Аналитические свойства [ править ]

Более глубокое изучение логарифмов требует концепции функции . Функция - это правило, которое по одному числу дает другое число. ^[36] Примером является функция, производящая x-ю степень числа b из любого действительного числа x , где основание b - фиксированное число. Эта функция написана:${\displaystyle f(x)=b^{x}.\,}$

Логарифмическая функция [ править ]

Чтобы обосновать определение логарифмов, необходимо показать, что уравнение

${\displaystyle b^{x}=y\,}$

имеет решение x и что это решение единственно при условии, что y положительно, а b положительно и не равно 1. Для доказательства этого факта требуется теорема о промежуточном значении из элементарного исчисления . ^[37] Эта теорема утверждает, что непрерывная функция, которая производит два значения m и n, также производит любое значение, лежащее между m и n . Функция является непрерывной, если она не «прыгает», т. Е. Если ее график можно нарисовать, не отрывая ручки.

Можно показать, что это свойство выполняется для функции f ( x ) = b ^x . Поскольку f принимает сколь угодно большие и сколь угодно малые положительные значения, любое число y > 0 лежит между f ( x ₀ ) и f ( x ₁ ) для подходящих x ₀ и x ₁ . Следовательно, теорема о промежуточном значении гарантирует, что уравнение f ( x ) = y имеет решение. Более того, есть только одно решение этого уравнения, поскольку функцияе является строго возрастающей (для Ь > 1 ), либо строго убывает (при 0 < б <1 ). ^[38]

Единственное решение x - это логарифм y по основанию b , log _b  y . Функция, которая присваивает y его логарифм, называется функцией логарифма или логарифмической функцией (или просто логарифмом ).

Функция log _b  x по существу характеризуется формулой произведения

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$

Точнее, логарифм по любому основанию b > 1 - это единственная возрастающая функция f от положительных действительных чисел до действительных чисел, удовлетворяющих условию f ( b ) = 1 и ^[39]

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$

Обратная функция [ править ]

Формула логарифма степени говорит, в частности, что для любого числа x ,

${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}b=x.}$

В прозе, взяв x -ю степень числа b, а затем логарифм по основанию b, мы вернем x . И наоборот, для положительного числа y формула

${\displaystyle b^{\log _{b}y}=y}$

говорит, что сначала логарифм, а затем возведение в степень возвращает y . Таким образом, два возможных способа объединения (или составления ) логарифмов и возведения в степень возвращают исходное число. Таким образом, логарифм по основанию Ь является обратной функцией от ф ( х ) = Ь ^х . ^[40]

Обратные функции тесно связаны с исходными функциями. Их графики соответствуют друг другу после обмена координатами x и y (или при отражении от диагональной линии x = y ), как показано справа: точка ( t , u = b ^t ) на графике f дает точку ( u , t = log _b  u ) на графике логарифма и наоборот. Как следствие, log _b ( x ) расходится до бесконечности(становится больше любого заданного числа), если x растет до бесконечности, при условии, что b больше единицы. В этом случае log _b ( x ) - возрастающая функция . При б <1 , журнал _Ь ( х ) стремится к бесконечности , а не минус. Когда x приближается к нулю, log _b x стремится к минус бесконечности для b > 1 (плюс бесконечность для b <1 , соответственно).

Производные и первообразные [ править ]

Аналитические свойства функций переходят к обратным им. ^[37] Таким образом, как f ( x ) = b ^x - непрерывная и дифференцируемая функция , так и log _b  y . Грубо говоря, непрерывная функция дифференцируема, если на ее графике нет острых «углов». Более того, поскольку производная от f ( x ) равна ln ( b ) b ^x по свойствам экспоненциальной функции , цепное правило подразумевает, что производная от log _b  xдается формулой ^{[38] [41]}

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$

То есть, наклон от касательной касаясь график база - б логарифма в точке ( х , журнал _Ь ( х )) равен 1 / ( х  п ( б )) .

Производная ln x равна 1 / x ; отсюда следует , что перли й является единственным первообразным из 1 / х , что имеет значение 0 для й = 1 . Именно эта очень простая формула побудила квалифицировать натуральный логарифм как «естественный»; это также одна из основных причин важности константы e .

Производная с обобщенным функциональным аргументом f ( x ) равна

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

Фактор в правой части называется логарифмической производной от е . Вычисление f ' ( x ) с помощью производной ln ( f ( x )) известно как логарифмическое дифференцирование . ^[42] Первообразная натурального логарифма ln ( x ) равна: ^[43]

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$

Связанные формулы , такие как первообразные логарифмов с другими основаниями, могут быть получены из этого уравнения с использованием замены оснований. ^[44]

Интегральное представление натурального логарифма [ править ]

Натуральный логарифм от т может быть определена как определенный интеграл :

${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Это определение имеет то преимущество, что оно не полагается на экспоненциальную функцию или какие-либо тригонометрические функции; определение дано в терминах интеграла от простого обратного. В качестве интеграла ln ( t ) равняется площади между осью x и графиком функции 1 / x в диапазоне от x = 1 до x = t . Это следствие основной теоремы исчисления и того факта, что производная ln ( x ) равна 1 / x . Формулы логарифма произведения и мощности могут быть выведены из этого определения. ^[45]Например, формула произведения ln ( tu ) = ln ( t ) + ln ( u ) выводится как:

${\displaystyle \ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).}$

Равенство (1) разбивает интеграл на две части, а равенство (2) представляет собой замену переменной ( w = x / t ). На рисунке ниже разделение соответствует разделению области на желтую и синюю части. Изменение масштаба левой синей области по вертикали с коэффициентом t и сжатие с тем же коэффициентом по горизонтали не изменяет ее размер. При правильном перемещении область снова соответствует графику функции f ( x ) = 1 / x . Следовательно, левая синяя область, которая представляет собой интеграл от f ( x ) от t до tuсовпадает с интегралом от 1 до u . Это подтверждает равенство (2) более геометрическим доказательством.

Формула мощности ln ( t ^r ) = r ln ( t ) может быть получена аналогичным образом:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).}$

Второе равенство использует замену переменных ( интегрирование подстановкой ), w = x ^{1 / r} .

Сумма по обратным натуральным числам,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

называется гармоническим рядом . Он тесно связан с натуральным логарифмом : поскольку n стремится к бесконечности , разность

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$

сходится (т.е. становится сколь угодно близко) к ряду известного как постоянная Эйлера-Mascheroni γ = 0.5772 ... . Это соотношение помогает анализировать производительность таких алгоритмов, как быстрая сортировка . ^[46]

Превосходство логарифма [ править ]

Действительные числа , не являющиеся алгебраическими , называются трансцендентными ; ^[47] например, π и e являются такими числами, но это не так. Практически все действительные числа трансцендентны. Логарифм - это пример трансцендентной функции . Теорема Гельфонда – Шнайдера утверждает, что логарифмы обычно принимают трансцендентные, т. Е. «Трудные» значения. ^[48]${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$

Расчет [ править ]

В некоторых случаях логарифмы легко вычислить, например log ₁₀ (1000) = 3 . Как правило, логарифмы могут быть вычислены с использованием степенных рядов или среднего арифметико-геометрического либо извлечены из предварительно вычисленной таблицы логарифмов, которая обеспечивает фиксированную точность. ^{[49] [50]} Метод Ньютона , итерационный метод приближенного решения уравнений, также можно использовать для вычисления логарифма, поскольку его обратная функция, экспоненциальная функция, может быть вычислена эффективно. ^[51] Используя таблицы поиска, методы , подобные CORDIC, могут использоваться для вычисления логарифмов, используя только операции сложения и битовых сдвигов.. ^{[52] [53]} Кроме того, алгоритм двоичного логарифмирования вычисляет lb ( x ) рекурсивно , основываясь на многократном возведении в квадрат x , используя соотношение

${\displaystyle \log _{2}\left(x^{2}\right)=2\log _{2}|x|.}$

Силовой ряд [ править ]

Серия Тейлора

Для любого действительного числа z , удовлетворяющего 0 < z <2 , верна следующая формула: ^{[nb 4] [54]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}\end{aligned}}}$

Это сокращенное обозначение того, что ln ( z ) может быть приближено к все более и более точному значению с помощью следующих выражений:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}}$

Например, при z = 1,5 третье приближение дает 0,4167, что примерно на 0,011 больше, чем ln (1,5) = 0,405465 . Этот ряд приближает ln ( z ) с произвольной точностью, если количество слагаемых достаточно велико. Поэтому в элементарном исчислении ln ( z ) является пределом этого ряда. Это ряд Тейлора от натурального логарифма при z = 1 . Ряд Тейлора для ln ( z ) обеспечивает особенно полезное приближение к ln (1+ z )когда z мало, | z | <1 , с тех пор

${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.}$

Например, при z = 0,1 приближение первого порядка дает ln (1,1) ≈ 0,1 , что меньше чем на 5% от правильного значения 0,0953.

Более эффективная серия

Другой ряд основан на функции гиперболического тангенса площади :

${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$

для любого действительного числа z > 0 . ^{[nb 5] [54]} Используя сигма-нотацию , это также записывается как

${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.}$

Этот ряд может быть получен из приведенного выше ряда Тейлора. Он сходится быстрее, чем ряд Тейлора, особенно если z близко к 1. Например, для z = 1,5 первые три члена второго ряда аппроксимируют ln (1,5) с ошибкой около3 × 10 ⁻⁶ . Быстрая сходимость для z, близкого к 1, может быть использована следующим образом: учитывая приближение низкой точности y ≈ ln ( z ) и положив

${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},\,}$

логарифм z равен:

${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).\,}$

Чем лучше начальное приближение y , тем ближе A к 1, поэтому его логарифм может быть вычислен эффективно. A можно вычислить с помощью экспоненциального ряда , который быстро сходится при условии, что y не слишком велик. Вычисление логарифма большего z можно уменьшить до меньших значений z , записав z = a · 10 ^b , так что ln ( z ) = ln ( a ) + b · ln (10) .

Близкий метод можно использовать для вычисления логарифма целых чисел. Из приведенного выше ряда следует, что:${\displaystyle \textstyle z={\frac {n+1}{n}}}$

${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$

Если логарифм большого целого числа п известен, то этот ряд дает быстрое сходящийся ряд для журнала ( п + 1) , с скоростью сходимости в .${\displaystyle {\frac {1}{2n+1}}}$

Приближение среднего арифметического и геометрического [ править ]

В арифметико-геометрического среднего дает высокой точности приближения натурального логарифма . В 1982 году Сасаки и Канада показали, что он особенно быстр для точности от 400 до 1000 знаков после запятой, в то время как методы серии Тейлора обычно быстрее, когда требуется меньшая точность. В их работе ln ( x ) аппроксимируется с точностью до 2 ^{- p} (или p точных битов) следующей формулой (из Карла Фридриха Гаусса ): ^{[55] [56]}

${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2).}$

Здесь М ( х , у ) обозначает арифметико-геометрического среднего по х и у . Он получается путем многократного вычисления среднего ( среднего арифметического ) и ( среднего геометрического ) x и y, а затем позволяет этим двум числам стать следующими x и y . Два числа быстро сходятся к общему пределу, который является значением M ( x , y ) . m выбирается так, чтобы${\displaystyle (x+y)/2}$${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$

${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$

для обеспечения необходимой точности. Чем больше m, тем больше шагов для вычисления M ( x , y ) (начальные x и y находятся дальше друг от друга, поэтому требуется больше шагов для схождения), но дает большую точность. Константы pi и ln (2) могут быть вычислены с помощью быстро сходящихся рядов.

Алгоритм Фейнмана [ править ]

В то время как в Национальной лаборатории Лос-Аламоса, работая над Манхэттенским проектом , Ричард Фейнман разработал алгоритм битовой обработки, который похож на долгое деление и позже был использован в машине соединения . Алгоритм использует тот факт, что каждое действительное число может быть представлено как произведение различных факторов формы . Алгоритм последовательно строит этот продукт : если , то он меняется на . Затем он в любом случае увеличивается на единицу. Алгоритм останавливается, когда становится достаточно большим, чтобы обеспечить желаемую точность. Потому что - сумма слагаемых формы, соответствующих тем, для которых коэффициент${\displaystyle 1<x<2}$${\displaystyle 1+2^{-k}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\cdot (1+2^{-k})<x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\cdot (1+2^{-k})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \log(1+2^{-k})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1+2^{-k}}$был включен в продукт , может быть вычислен простым сложением с использованием таблицы для всех . Для таблицы логарифмов можно использовать любое основание. ^[57]${\displaystyle P}$${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \log(1+2^{-k})}$${\displaystyle k}$

Приложения [ править ]

Логарифмы имеют множество применений как в математике, так и за ее пределами. Некоторые из этих случаев связаны с понятием масштабной инвариантности . Например, каждая камера раковины наутилуса является приблизительной копией следующей, увеличенной с постоянным коэффициентом. Это дает начало логарифмической спирали . ^[58] Закон Бенфорда о распределении ведущих цифр также можно объяснить масштабной инвариантностью. ^[59] Логарифмы также связаны с самоподобием . Например, логарифмы появляются при анализе алгоритмов, которые решают проблему, разделяя ее на две похожие меньшие проблемы и исправляя их решения. ^[60]Размеры самоподобных геометрических фигур, то есть фигур, части которых напоминают общую картину, также основываются на логарифмах. Логарифмические шкалы полезны для количественной оценки относительного изменения значения, а не его абсолютной разницы. Более того, поскольку логарифмическая функция log ( x ) очень медленно растет для больших x , для сжатия крупномасштабных научных данных используются логарифмические масштабы. Логарифмы также происходят в многочисленных научных формул, таких как Формула Циолковского , в уравнении Fenske , или уравнение Нернста .

Логарифмическая шкала [ править ]

Научные величины часто выражаются в виде логарифмов других величин с использованием логарифмической шкалы . Например, децибел - это единица измерения, связанная с величинами в логарифмическом масштабе . Он основан на десятичном логарифме отношений - 10-кратный десятичный логарифм отношения мощностей или 20-кратный десятичный логарифм отношения напряжений . Он используется для количественной оценки потери уровней напряжения при передаче электрических сигналов, ^[61] , чтобы описать уровни мощности звуков в акустике , ^[62] , и поглощение света в областиспектрометрия и оптика . Отношение сигнал / шум, описывающее количество нежелательного шума по отношению к (значимому) сигналу , также измеряется в децибелах. ^[63] Аналогичным образом, пиковое отношение сигнал / шум обычно используется для оценки качества звука и методов сжатия изображения с использованием логарифма. ^[64]

Сила землетрясения измеряется десятичным логарифмом энергии, излучаемой при землетрясении. Используется в шкале моментных величин или шкале величин Рихтера . Например, землетрясение силой 5.0 баллов высвобождает 32 раза (10 ^1,5 ), а землетрясение 6.0 высвобождает в 1000 раз (10 ³ ) энергию, превышающую 4,0. ^[65] Другой логарифмический масштаб - кажущаяся величина . Он измеряет яркость звезд логарифмически. ^[66] Еще один пример - pH в химии ; рН является отрицательным общим логарифм активности от гидроксонииионы (образуют ионы водорода H ⁺
взять в воду). ^[67] Активность ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10 ^-7  моль · л -1 , следовательно, pH 7. Уксус обычно имеет pH около 3. Разница в 4 соответствует соотношению активности 10 ^4. , то есть активность ионов гидроксония уксуса составляет около 10 ^-3 моль · л ^-1 .

В полулогарифмических (логарифмических) графиках для визуализации используется концепция логарифмического масштаба: одна ось, обычно вертикальная, масштабируется логарифмически. Например, диаграмма справа сжимает резкое увеличение с 1 миллиона до 1 триллиона до того же места (на вертикальной оси), что и увеличение с 1 до 1 миллиона. На таких графиках экспоненциальные функции вида f ( x ) = a · b ^x выглядят как прямые линии с наклоном, равным логарифму b . Логарифмические графики логарифмически масштабируют обе оси, что приводит к функциям вида f ( x ) = a· X ^k изображать прямыми линиями с наклоном, равным степени k . Это применяется при визуализации и анализе степенных законов . ^[68]

Психология [ править ]

Логарифмы встречаются в нескольких законах, описывающих человеческое восприятие : ^{[69] [70]} Закон Хика предлагает логарифмическую связь между временем, которое люди тратят на выбор альтернативы, и количеством вариантов, которые у них есть. ^[71] Закон Фиттса предсказывает, что время, необходимое для быстрого перемещения к целевой области, является логарифмической функцией расстояния до цели и ее размера. ^[72] В психофизиках , то закон Вебер-Фехнер предлагает логарифмическую зависимость между раздражителем и ощущением , такими как фактическое VS. воспринимаемого весом предмета людьми проведением. ^[73](Этот «закон», однако, менее реалистичен, чем более поздние модели, такие как степенной закон Стивенса . ^[74] )

Психологические исследования показали, что люди с небольшим математическим образованием склонны оценивать величины логарифмически, то есть помещают число на неотмеченной линии в соответствии с его логарифмом, так что 10 находится так близко к 100, как 100 - к 1000. Повышение уровня образования меняет это положение. к линейной оценке (размещение 1000 в 10 раз дальше) в некоторых случаях, в то время как логарифмы используются, когда числа, которые нужно построить, трудно построить линейно. ^{[75] [76]}

Теория вероятностей и статистика [ править ]

Логарифмы возникают в теории вероятностей : закон больших чисел диктует, что для честной монеты , когда число подбрасываний монеты увеличивается до бесконечности, наблюдаемая пропорция выпадений приближается к половине . Колебания этой пропорции примерно наполовину описываются законом повторного логарифма . ^[77]

Логарифмы также встречаются в логарифмически нормальных распределениях . Когда логарифм случайной величины имеет нормальное распределение , говорят, что переменная имеет логарифмическое нормальное распределение. ^[78] Логнормальные распределения встречаются во многих областях, где переменная формируется как произведение многих независимых положительных случайных величин, например, при изучении турбулентности. ^[79]

Логарифмы используются для оценки максимального правдоподобия параметрических статистических моделей . Для такой модели функция правдоподобия зависит как минимум от одного параметра, который необходимо оценить. Максимум функции правдоподобия возникает при том же значении параметра, что и максимум логарифма правдоподобия (« логарифм правдоподобия »), потому что логарифм является возрастающей функцией. Логарифмическое правдоподобие легче максимизировать, особенно для умноженных правдоподобий для независимых случайных величин. ^[80]

Закон Бенфорда описывает появление цифр во многих наборах данных , например, о высоте зданий. Согласно закону Бенфорда, вероятность того, что первая десятичная цифра элемента в выборке данных будет d (от 1 до 9), равна log ₁₀ ( d + 1) - log ₁₀ ( d ) , независимо от единицы измерения. ^[81] Таким образом, можно ожидать, что около 30% данных будут иметь 1 в качестве первой цифры, 18% будут начинаться с 2 и т. Д. Аудиторы исследуют отклонения от закона Бенфорда для выявления мошенничества в бухгалтерском учете. ^[82]

Вычислительная сложность [ править ]

Анализ алгоритмов является филиалом информатики , которая изучает эффективность из алгоритмов (программы для ЭВМ решения определенной проблемы). ^[83] Логарифмы полезны для описания алгоритмов, которые разделяют проблему на более мелкие и объединяют решения подзадач. ^[84]

Например, чтобы найти число в отсортированном списке, алгоритм двоичного поиска проверяет среднюю запись и переходит к половине до или после средней записи, если число все еще не найдено. Этот алгоритм требует в среднем log ₂ ( N ) сравнений, где N - длина списка. ^[85] Точно так же алгоритм сортировки слиянием сортирует несортированный список, разделяя список на половины и сортируя их в первую очередь перед объединением результатов. Алгоритмы сортировки слиянием обычно требуют времени, приблизительно пропорционального N · log ( N ) . ^[86]Основание логарифма здесь не указывается, потому что результат изменяется на постоянный коэффициент только при использовании другого основания. Постоянный коэффициент обычно не принимается во внимание при анализе алгоритмов в рамках стандартной модели единой стоимости . ^[87]

Говорят, что функция f ( x ) растет логарифмически, если f ( x ) (точно или приблизительно) пропорциональна логарифму x . (Однако в биологических описаниях роста организмов этот термин используется для обозначения экспоненциальной функции. ^[88] ) Например, любое натуральное число N может быть представлено в двоичной форме не более чем в log ₂ ( N ) + 1 бит . Другими словами, объем памяти, необходимый для хранения N, логарифмически растет с N.

Энтропия и хаос [ править ]

Энтропия - это в широком смысле мера беспорядка некоторой системы. В статистической термодинамике энтропия S некоторой физической системы определяется как

${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$

Сумма ведется по всем возможным состояниям i рассматриваемой системы, например, по положению частиц газа в контейнере. Кроме того, p _i - это вероятность достижения состояния i, а k - постоянная Больцмана . Точно так же энтропия в теории информации измеряет количество информации. Если получатель сообщения может ожидать любое из N возможных сообщений с равной вероятностью, то количество информации, передаваемой любым таким сообщением, количественно определяется как log ₂ ( N ) битов. ^[89]

Показатели Ляпунова используют логарифмы для измерения степени хаотичности динамической системы . Например, для частицы, движущейся по овальному бильярдному столу, даже небольшие изменения начальных условий приводят к очень разным траекториям частицы. Такие системы хаотично в детерминированном образом, поскольку малые погрешности измерений начального состояния предсказуемо приводят к значительной степени различных конечных состояний. ^[90] По крайней мере, один показатель Ляпунова детерминированной хаотической системы положителен.

Фракталы [ править ]

Логарифмы происходят в определениях размерности из фракталов . ^[91] Фракталы - это геометрические объекты, которые самоподобны : маленькие части воспроизводят, по крайней мере приблизительно, всю глобальную структуру. Треугольник Серпинского ( на фото) может быть покрыта тремя копиями сам по себе, каждый из которых имеет сторон половину первоначальной длины. Таким образом, хаусдорфова размерность этой структуры ln (3) / ln (2) ≈ 1,58 . Другое понятие размерности, основанное на логарифмах, получается путем подсчета количества ящиков, необходимых для покрытия рассматриваемого фрактала.

Музыка [ править ]

Логарифмы связаны с музыкальными тонами и интервалами . При равной темперации соотношение частот зависит только от интервала между двумя тонами, а не от конкретной частоты или высоты тона отдельных тонов. Например, ноты A имеют частоту 440 Гц, а си-бемоль - 466 Гц. Интервал между ля и си-бемоль составляет полутон , как и интервал между си-бемоль и си (частота 493 Гц). Соответственно, соотношения частот согласуются:

${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$

Следовательно, для описания интервалов можно использовать логарифмы: интервал измеряется в полутонах путем принятия логарифма по основанию 2 ^1/12 отношения частот , а логарифм отношения частот по основанию 2 ^1/1200 выражает интервал в центах. , сотые доли полутона. Последний используется для более тонкого кодирования, так как он нужен для неравных темпераментов. ^[92]

Интервал (два тона воспроизводятся одновременно)	Воспроизведение 1/12 тона ( справка · информация )	Полутон играть	Просто главная третья пьеса	Большая третья пьеса	Игра тритона	Октавная игра
Частотный коэффициент r	${\displaystyle 2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097}$	${\displaystyle 2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}=1.25}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}}}$	${\displaystyle 2^{\frac {12}{12}}=2}$
Соответствующее количество полутонов ${\displaystyle \log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \approx 3.8631\,}$	${\displaystyle 4\,}$	${\displaystyle 6\,}$	${\displaystyle 12\,}$
Соответствующее количество центов ${\displaystyle \log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)}$	${\displaystyle 16{\tfrac {2}{3}}\,}$	${\displaystyle 100\,}$	${\displaystyle \approx 386.31\,}$	${\displaystyle 400\,}$	${\displaystyle 600\,}$	${\displaystyle 1200\,}$

Теория чисел [ править ]

Натуральные логарифмы тесно связаны с подсчетом простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, ...), важной темой в теории чисел . Для любого целого числа x количество простых чисел, меньших или равных x , обозначается π ( x ) . Теорема о простых числах утверждает, что π ( x ) приблизительно определяется формулой

${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$

в том смысле, что отношение π ( x ) и этой дроби приближается к 1, когда x стремится к бесконечности. ^[93] Как следствие, вероятность того, что случайно выбранное число от 1 до x является простым, обратно пропорциональна количеству десятичных цифр числа x . Гораздо лучшая оценка π ( x ) дается логарифмической интегральной функцией смещения Li ( x ) , определяемой формулой

${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$

Гипотеза Римана , одна из старейших открытых математических гипотез , может быть сформулирована в терминах сравнения π ( x ) и Li ( x ) . ^[94] Теорема Эрдеша – Каца, описывающая количество различных простых множителей, также включает в себя натуральный логарифм .

Логарифм п факториала , п ! = 1 · 2 · ... · n , задается формулой

${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).\,}$

Это может быть использовано для получения формулы Стирлинга , приближенной к n ! для больших n . ^[95]

Обобщения [ править ]

Комплексный логарифм [ править ]

Все комплексные числа a, которые решают уравнение

${\displaystyle e^{a}=z}$

называются комплексные логарифмы от г , когда г является (рассматриваются как) комплексное число. Комплексное число обычно представляется как z = x + iy , где x и y - действительные числа, а i - мнимая единица , квадрат которой равен -1. Такое число можно визуализировать в виде точки на комплексной плоскости , как показано справа. Полярная форма кодирует ненулевой комплексное число г по его абсолютной величине , то есть, (положительный, реальный) расстояние г до отправления , и угол между реальным (x ) ось Re и прямая, проходящая как через начало координат, так и через z . Этот угол называется аргументом в г .

Абсолютное значение г из г задается

${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Используя геометрическую интерпретацию и и их периодичность в любом комплексном числе z можно обозначить как${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle 2\pi ,}$

${\displaystyle z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),}$

для любого целого числа k . Очевидно, аргумент z не определен однозначно: и φ, и φ '= φ + 2 k π являются допустимыми аргументами z для всех целых чисел k , потому что добавление 2 k π радиан или k ⋅360 ° ^{[nb 6]} к φ соответствует «намотка» вокруг начала координат против часовой стрелки на k оборотов . Результирующее комплексное число всегда z , как показано справа для k = 1.. Можно выбрать ровно один из возможных аргументов z в качестве так называемого главного аргумента , обозначенного Arg ( z ) , с большой буквы A , требуя, чтобы φ принадлежал одному, удобно выбранному ходу, например, ^[96] или ^{[97] ]} Эти области, где аргумент z определяется однозначно, называются ветвями функции аргумента.${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi .}$

Формула Эйлера связывает тригонометрические функции синус и косинус с комплексной экспонентой :

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$

Используя эту формулу и снова периодичность, справедливы следующие тождества: ^[98]

${\displaystyle {\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=&re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{array}}}$

где ln ( r ) - единственный действительный натуральный логарифм, a _k - комплексный логарифм z , а k - произвольное целое число. Следовательно, комплексные логарифмы z , которые представляют собой все те комплексные значения a _k, для которых a _k -я степень e равна z , являются бесконечным числом значений

${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),\quad }$для произвольных целых чисел k .

Принимая K такое , что находится в пределах определенного интервала для основных аргументов, то _к называется главное значение логарифма, обозначается Log ( г ) , снова с большой буквы L . Главный аргумент любого положительного действительного числа x равен 0; следовательно, Log ( x ) - действительное число и равно действительному (натуральному) логарифму. Однако приведенные выше формулы для логарифмов продуктов и полномочий делать не обобщать главное значение комплексного логарифма. ^[99]${\displaystyle \varphi +2k\pi }$

На иллюстрации справа изображено Log ( z ) , ограничивающее аргументы z интервалом (- π , π ] . Таким образом, соответствующая ветвь комплексного логарифма имеет разрывы по всей отрицательной действительной оси x , что можно увидеть на скачок в оттенке там. Этот разрыв возникает из-за перехода к другой границе в той же ветви при пересечении границы, то есть не перехода к соответствующему k- значению непрерывно соседней ветви. Такое геометрическое место называется разрезом ветви . Снятие ограничений на диапазон аргумента делает отношения "аргументом z", а следовательно, и" логарифм z ", многозначные функции .

Обратные другие экспоненциальные функции [ править ]

Возведение в степень происходит во многих областях математики, и его обратная функция часто называется логарифмом. Например, логарифм матрицы является (многозначной) функцией, обратной экспоненциальной матрице . ^[100] Другой пример - p -адический логарифм , функция, обратная p -адической экспоненте . Оба определены через ряд Тейлора, аналогично реальному случаю. ^[101] В контексте дифференциальной геометрии , то экспоненциальное отображение отображает касательное пространство в точке в коллекторе в окрестностиэтой точки. Его обратное также называется логарифмической (или логарифмической) картой. ^[102]

В контексте конечных групп возведение в степень дается многократным умножением одного элемента группы b на себя. Дискретный логарифм представляет собой целое число п решение уравнения

${\displaystyle b^{n}=x,\,}$

где x - элемент группы. Возведение в степень может быть эффективным, но считается, что дискретный логарифм очень трудно вычислить в некоторых группах. Эта асимметрия имеет важные приложения в криптографии с открытым ключом , например, в обмене ключами Диффи – Хеллмана , подпрограмме, которая позволяет защищенный обмен криптографическими ключами по незащищенным информационным каналам. ^[103] Логарифм Зеха связан с дискретным логарифмом в мультипликативной группе ненулевых элементов конечного поля . ^[104]

Другие логарифмические обратные функции включают двойной логарифм ln (ln ( x )), супер- или гипер-4-логарифм (небольшая вариация которого в информатике называется повторным логарифмом ), W-функцию Ламберта и логит . Они являются функциями, обратными двойной экспоненциальной функции , тетрации , f ( w ) = we ^w , ^[105] и логистической функции , соответственно. ^[106]

Понятия, связанные с данным [ править ]

С точки зрения теории групп , тождество log ( cd ) = log ( c ) + log ( d ) выражает групповой изоморфизм между положительными действительными числами при умножении и действительными числами при сложении. Логарифмические функции - единственные непрерывные изоморфизмы между этими группами. ^[107] Посредством этого изоморфизма мера Хаара ( мера Лебега ) dx на вещественных числах соответствует мере Хаара dx / x на положительных вещественных числах. ^[108]Неотрицательные числа имеют не только умножение, но и сложение, и образуют полукольцо , называемое вероятностным полукольцом ; это фактически полуполе . Затем логарифм преобразует умножение в сложение (логарифмическое умножение) и берет сложение в логарифмическое сложение ( LogSumExp ), давая изоморфизм полуколец между полукольцом вероятности и полукольцом журнала .

Логарифмические одноформы df / f появляются в комплексном анализе и алгебраической геометрии как дифференциальные формы с логарифмическими полюсами . ^[109]

Полилогарифм является функция определяется

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$

Он связан с натуральным логарифмом соотношением Li ₁ ( z ) = −ln (1 - z ) . Кроме того, Li _s (1) совпадает с дзета-функцией Римана ζ ( s ) . ^[110]

См. Также [ править ]

• Кологарифм
• Десятичная экспонента (dex)
• Экспоненциальная функция
• Указатель логарифмических статей
• Логарифмическая запись

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]