Сила Лоренца

Сила Лоренца, действующая на быстро движущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере . Траектории положительного и отрицательного заряда изгибаются в противоположных направлениях.

В физике (особенно в электромагнетизме ) сила Лоренца (или электромагнитная сила ) представляет собой комбинацию электрической и магнитной сил, действующих на точечный заряд, из-за электромагнитных полей . На частицу заряда q, движущуюся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B, действует сила

${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

(в единицах СИ ^{[1] [2]} ). Он говорит, что электромагнитная сила, действующая на заряд q, представляет собой комбинацию силы, действующей в направлении электрического поля E, пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к ​​магнитному полю B и скорость заряда v , пропорциональная величине поля, заряда и скорости. Варианты этой основной формулы описывают магнитную силу на проводе с током (иногда называемую силой Лапласа ), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея).) и сила, действующая на движущуюся заряженную частицу.

Историки предполагают, что закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла , опубликованной в 1865 году. ^[3] Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году, ^[4] определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы. ^[5]

Закон силы Лоренца как определение E и B [ править ]

Во многих учебниках лечения классического электромагнетизма, сила закона Лоренца используется в качестве определения электрических и магнитных полей E и B . ^{[6] [7] [8]} Чтобы быть конкретным, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F на пробном заряде в данный момент и время является определенной функцией его заряда q и скорости v , которая может быть параметризована точно двумя векторами E и B в функциональной форме :

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

Это справедливо даже для частиц , приближающихся к скорости света (то есть, величина из об = | об | ≈ с ). ^[9] Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическое поле» и «магнитное поле». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно того, какую силу испытательный заряд получит, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий силу.

Как определение E и B , сила Лоренца является только определением в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B , которые изменит электромагнитную силу, которую он испытывает. ^{[ необходима цитата ]} Вдобавок, если заряд испытывает ускорение, как если бы его заставляли двигаться по кривой траектории, он испускает излучение, которое заставляет его терять кинетическую энергию. См., Например, тормозное излучение и синхротронный свет . Эти эффекты возникают как в результате прямого воздействия (так называемой силы реакции излучения).) и косвенно (воздействуя на движение близлежащих зарядов и токов).

Уравнение [ править ]

Заряженная частица [ править ]

Сила F, действующая на частицу с электрическим зарядом q с мгновенной скоростью v из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B , определяется выражением (в единицах СИ ^[1] ): ^[10]

где × - векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). Что касается декартовых компонентов, у нас есть:

${\displaystyle F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),}$

${\displaystyle F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),}$

${\displaystyle F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).}$

В общем, электрическое и магнитное поля зависят от положения и времени. Следовательно, явно сила Лоренца может быть записана как:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$

в которой r - вектор положения заряженной частицы, t - время, а точка - производная по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации, что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B в соответствии с правилом правой руки (подробно, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v, а затем изгибаются так, чтобы указывать в направлении B , тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).

Член q E называется электрической силой , а член q ( v × B ) - магнитной силой . ^[11] Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы ^[12] с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу), которой дано другое (нестандартное) название. В этой статье не будет следовать этой номенклатуре: В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, которая действует на провод с током в магнитном поле. В этом контексте это также называется силой Лапласа .

Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу, то есть скорость, с которой линейный импульс передается от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице. Эта сила

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} }$.

Обратите внимание, что магнитное поле не влияет на мощность, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

Непрерывное распределение заряда [ править ]

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает следующий вид:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}$

где - сила, действующая на небольшой кусочек зарядового распределения с зарядом . Если обе части этого уравнения разделить на объем этого небольшого фрагмента распределения заряда , результат будет следующим:${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathrm {d} q}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}$

где - плотность силы (сила на единицу объема) и - плотность заряда (заряд на единицу объема). Далее, плотность тока, соответствующая движению зарядового континуума, равна${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!}$

так что непрерывный аналог уравнения ^[13]

Полная сила - это объемный интеграл по распределению заряда:

${\displaystyle \mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V.\,\!}$

Исключив и , используя уравнение Максвелла , и манипулирование с использованием теоремы векторного анализа , эта форма уравнения может быть использована для получения тензора напряжений Максвелла , в свою очередь , это может быть объединена с вектором Пойнтинга , чтобы получить тензор электромагнитного стресса-энергию T используется в общей теории относительности . ^[13]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

В терминах и другой способ записать силу Лоренца (на единицу объема) - это ^[13]${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,\!}$

где есть скорость света и ∇ · обозначает дивергенции тензорного поля . Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда. Подробнее см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма .${\displaystyle c}$

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$.

Если мы разделим полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, мы получим, что плотность силы Лоренца равна

${\displaystyle \mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}})\times \mathbf {B} }$.

где: - плотность бесплатного заряда; - плотность поляризации ; - плотность свободного тока; и - плотность намагниченности . Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем. Плотность связанной мощности равна${\displaystyle \rho _{f}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} }$.

Уравнение в единицах cgs [ править ]

Вышеупомянутые формулы используют единицы СИ, которые наиболее распространены среди экспериментаторов, техников и инженеров. В cgs-гауссовых единицах , которые несколько более распространены среди физиков-теоретиков, а также среди экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right).}$

где c - скорость света . Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку имеет следующие соотношения: ^[1]

${\displaystyle q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$

где ε ₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ ₀ - проницаемость вакуума . На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна оцениваться из контекста.

История [ править ]

Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Было высказано предположение, что сила на магнитных полюсах Иоганном Тобиасом Майером и другими в 1760 г. ^[14] и электрически заряженные объекты Генри Кавендишем в 1762 г. ^[15] подчиняются закону обратных квадратов . Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон , используя торсионные весы , смог окончательно экспериментально показать, что это правда. ^[16] Вскоре после открытия в 1820 году Ганса Христиана Эрстедачто на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально разработать формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока. ^{[17] [18]} Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей. ^[19]

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея , в частности его идея силовых линий , которая позже получила полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом . ^[20] С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений поля можно определить форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам, ^[3] хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны силам на движущиеся заряженные объекты. Дж. Дж. Томсонбыл первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, с точки зрения свойств объекта и внешних полей. Заинтересованный в определении электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах , Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал силу, действующую на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, как ^[5]

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Томсон вывел правильную основную форму формулы, но из-за некоторых просчетов и неполного описания тока смещения перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине. Оливер Хевисайд изобрел современные векторные обозначения и применил их к полевым уравнениям Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильной форме магнитной силы на движущемся заряженном объекте. ^{[5] [21] [22]} Наконец, в 1895 году ^{[4] [23]} Хендрик Лоренцвывел современную форму формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады в общую силу как электрического, так и магнитного полей. Лоренц начал с отказа от максвелловских описаний эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц проводил различие между материей и светоносным эфиром и стремился применить уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию Хевисайда уравнений Максвелла для неподвижного эфира и применяя лагранжевую механику (см. Ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона силы, который теперь носит его имя. ^{[24] [25]}

Траектории частиц из-за силы Лоренца [ править ]

Во многих случаях , представляющих практический интерес, движение в магнитном поле в качестве электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме ) можно рассматривать как суперпозицию сравнительно быстро круговое движение вокруг точки называется направляющий центр и а относительно медленный дрейф этой точки. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может приводить к электрическим токам или химическому разделению.

Значение силы Лоренца [ править ]

В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей. ^{[10] [26]} Закон силы Лоренца описывает эффект E и Bна точечном заряде, но такие электромагнитные силы - не вся картина. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца - это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами - другое.

В реальных материалах сила Лоренца неадекватна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B, но и создают эти поля. Сложные уравнения переноса должны быть решены , чтобы определить время и пространственную характеристику зарядов, например, уравнение Больцмана или уравнение Фоккера-Планка или уравнений Навье-Стокса . Например, см. Магнитогидродинамику , гидродинамику , электрогидродинамику , сверхпроводимость , звездную эволюцию.. Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, отношения Грина – Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .

Сила на токоведущем проводе [ править ]

Когда провод, по которому проходит электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу на проводе (иногда называемую силой Лапласа ). Комбинируя приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение: ^[27]

${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }$

где ℓ является вектором, величина которого длина проволоки, и направление которого вдоль провода, выровнены с направлением обычного тока заряда потоком I .

Если провод не прямой, а изогнутый, силу, действующую на него, можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому отрезку провода d ℓ , а затем сложив все эти силы путем интегрирования . Формально результирующая сила, действующая на неподвижный жесткий провод, по которому проходит постоянный ток I, равна

${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }$

Это чистая сила. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если проволока не совсем жесткая.

Одним из применений этого является закон силы Ампера , который описывает, как два токоведущих провода могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля другого. Подробнее читайте в статье: Закон силы Ампера .

EMF [ править ]

Компонент магнитной силы ( q v × B ) силы Лоренца отвечает за двигательную электродвижущую силу (или двигательную ЭДС ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. Термин «двигательная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода.

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники - нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, приводящим к индуцированной ЭДС, как описано уравнением Максвелла – Фарадея (одно из четырех современных уравнений Максвелла ). ^[28]

Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно, ЭДС - это скорость изменения магнитного потока через провод. (Это закон индукции Фарадея, см. Ниже .) Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. ^[28] Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы координат к другой, часть соленоидального векторного поля E- поля может полностью или частично измениться на B -поле или наоборот . ^[29]

Сила Лоренца и закон индукции Фарадея [ править ]

Учитывая петлю из провода в магнитном поле , закон индукции Фарадея утверждает, что наведенная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$

куда

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$

- магнитный поток через петлю, B - магнитное поле, Σ ( t ) - поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ ( t ), в момент времени t , d A - бесконечно малый элемент вектора площади Σ ( t ) ( величина - это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление ортогонально этому участку поверхности).

Знак ЭДС определяется законом Ленца . Обратите внимание, что это справедливо не только для неподвижного провода, но и для подвижного провода.

Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и уравнения Максвелла можно использовать для вывода закона Фарадея .

Пусть Σ ( t ) - движущийся провод, движущийся вместе без вращения и с постоянной скоростью v, а Σ ( t ) - внутренняя поверхность провода. ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ ( t ) определяется выражением ^[30]

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$

куда

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$

- электрическое поле, а d ℓ - бесконечно малый векторный элемент контура ∂Σ ( t ).

NB: И d ℓ, и d A имеют двусмысленность знака; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки , как описано в статье Теорема Кельвина – Стокса .

Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла – Фарадея :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\ .}$

Уравнение Максвелла – Фарадея также можно записать в интегральной форме с помощью теоремы Кельвина – Стокса . ^[31]

Итак, у нас есть уравнение Максвелла Фарадея:

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm {d} t}}$

и закон Фарадея,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$

Эти два эквивалента, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и div B = 0, получаем

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

и используя уравнение Максвелла Фарадея,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

поскольку это справедливо для любого положения провода, это означает, что,

${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$

Закон индукции Фарадея выполняется независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, движущейся или деформирующейся, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. Смотрите неприменимость закона Фарадея .

Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ _B, соединяющий петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если B- поле изменяется в зависимости от положения, и петля перемещается в место с другим B- полем, Φ _B изменится. В качестве альтернативы, если цикл изменяет ориентацию по отношению к B - поля, тем B ⋅ d дифференциальный элемент будет меняться из - за различного угла между B и D. A , также меняется Ф _B . В качестве третьего примера, если часть схемы проходит через однородный, не зависящий от времени B-поле, а другая часть схемы остается неподвижной, поток, связывающий всю замкнутую цепь, может изменяться из-за сдвига во взаимном положении составных частей схемы со временем (поверхность ∂Σ ( t ) зависит от времени). Во всех трех случаях, закон индукции Фарадея затем предсказывает EMF , порожденное изменением Ф _B .

Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E неконсервативно, когда магнитное поле B изменяется во времени, и не выражается как градиент скалярного поля и не подчиняется теореме градиента, поскольку его вращение не равно нулю. ^{[30] [32]}

Сила Лоренца в терминах потенциалов [ править ]

В E и B поля могут быть заменены магнитного векторного потенциала А и ( скаляр ) электростатический потенциал ф по

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

где ∇ - градиент, ∇⋅ - дивергенция, ∇ × - ротор .

Сила становится

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$

Используя тождество для тройного продукта, это можно переписать как,

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$

(Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости должны рассматриваться как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на , а не на ; таким образом, нет необходимости использовать обозначение индекса Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя цепное правило, общая производная от :${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$

так что приведенное выше выражение становится:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right]}$.

При v = ẋ уравнение можно записать в удобную форму Эйлера – Лагранжа

куда

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$

и

${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}}$.

Сила Лоренца и аналитическая механика [ править ]

Лагранжиан для заряженной частицы с массой т и зарядом д в электромагнитном поле , эквивалентно описывает динамику частицы с точкой зрения его энергии , а не сил , действующих на него. Классическое выражение дается следующим образом: ^[33]

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$

где A и ϕ - потенциальные поля, как указано выше. Величину можно представить как потенциальную функцию, зависящую от скорости. ^[34] Используя уравнения Лагранжа, можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведенное выше.${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

Вывод силы Лоренца из классического лагранжиана (единицы СИ)

Для А поля, частица двигается со скоростью V = R имеет потенциальный импульс , так что его потенциальная энергия . Для поля ϕ потенциальная энергия частицы равна .${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }$${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$ Тогда полная потенциальная энергия равна: ${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$ а кинетическая энергия равна: ${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$ отсюда лагранжиан: ${\displaystyle L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$ ${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+q({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-q\phi }$ Уравнения Лагранжа: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}}$ (то же самое для y и z ). Итак, вычисление частных производных: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}\\&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right)\\&=m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)\\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$ приравнивая и упрощая: ${\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}}$ аналогично для направлений y и z . Следовательно, силовое уравнение: ${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}$

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, поэтому она не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!}$

Действие - это релятивистская длина дуги пути частицы в пространстве-времени , минус вклад потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который квантово-механически является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.

Вывод силы Лоренца из релятивистского лагранжиана (единицы СИ)

Уравнения движения, полученные путем экстремизации действия ( обозначения см. В матричном исчислении ): ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}\,}$ такие же, как уравнения движения Гамильтона : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\partial \over \partial \mathbf {r} }\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)\,\!}$ оба эквивалентны неканонической форме: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}\right)=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).\,\!}$ Эта формула представляет собой силу Лоренца, представляющую скорость, с которой электромагнитное поле добавляет частице релятивистский импульс.

Релятивистская форма силы Лоренца [ править ]

Ковариантная форма силы Лоренца [ править ]

Тензор поля [ править ]

Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1) , сила Лоренца для заряда q может быть записана в ковариантной форме ^[35] :

где p ^α - четырехмерный импульс , определяемый как

${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,,}$

τ собственное время частицы, F ^сф контравариантным электромагнитный тензор

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

а U - ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right)\,,}$

в котором

${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

- фактор Лоренца .

Поля преобразуются в систему, движущуюся с постоянной относительной скоростью:

${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$

где Λ ^μ _α - тензор преобразования Лоренца .

Перевод в векторную нотацию [ править ]

Компонента α = 1 ( x -компонента) силы равна

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$

Подставляя компоненты ковариантного электромагнитного тензора F, получаем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$

Используя компоненты ковариантных четырехскоростных выходов

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}}$

Расчет для α = 2 , 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает аналогичные результаты, поэтому объединение 3 уравнений в одно:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,,}$

и поскольку дифференциалы по координатному времени dt и собственному времени dτ связаны между собой фактором Лоренца,

${\displaystyle dt=\gamma (v)d\tau \,,}$

так что мы приходим к

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,.}$

Это в точности закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p является релятивистским выражением,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$

Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA) [ править ]

Электрические и магнитные поля зависят от скорости наблюдателя , так что релятивистская форма силового закона Лоренца лучше всего может проявляться начиная с координатно-независимого выражения для электромагнитных и магнитных полей , а также произвольное время, направление, . Это может быть решено с помощью пространственно-временной алгебры (или геометрической алгебры пространств-времени), типа алгебры Клиффорд , определенного на псевдо-евклидово пространства , ^[36] , как${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}}$

и

${\displaystyle i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$представляет собой бивектор пространства-времени (ориентированный плоский сегмент, точно так же, как вектор является ориентированным линейным сегментом), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих ускорениям (вращения в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-пространства) . Скалярное произведение с вектором вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как произведение клина создает тривектор (в пространственной алгебре), который дуален вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость задается (временными) изменениями вектора времени-положения , где${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle v={\dot {x}}}$

${\displaystyle v^{2}=1,}$

(что показывает наш выбор метрики), а скорость равна

${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$

Правильная (инвариант - неадекватный термин, потому что никакое преобразование не было определено) форма закона силы Лоренца просто

Обратите внимание, что порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично. При таком расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности [ править ]

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой и зарядом , движущейся в пространстве с метрическим тензором и электромагнитным полем , задается как${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle F_{ab}}$

${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

где ( берется вдоль траектории), и .${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$${\displaystyle dx^{a}}$${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

Уравнение также можно записать как

${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

где - символ Кристоффеля (метрической связности без кручения в общей теории относительности), или как${\displaystyle \Gamma _{abc}}$

${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

где - ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения).${\displaystyle D}$

Приложения [ править ]

Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:

• Циклотроны и другие ускорители частиц с круговым движением
• Масс-спектрометры
• Фильтры скорости
• Магнетроны
• Велосиметрия с помощью силы Лоренца

В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила возникает во многих устройствах, включая:

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Пронумерованные ссылки частично относятся к приведенному ниже списку.

• Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью Л. (2006). Лекции Фейнмана по физике (3 т.) . Пирсон / Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-9047-2.: том 2.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, [Нью-Джерси]: Прентис-Холл. ISBN 0-13-805326-X.
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк, [NY]: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон У., младший (2004). Физика для ученых и инженеров с современной физикой . Бельмонт, [Калифорния]: Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-40846-X.
• Средницки, Марк А. (2007). Квантовая теория поля . Кембридж, [Англия]; Нью-Йорк [NY]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86449-7.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме силы Лоренца .

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: силой Лоренца.

• Сила Лоренца (демонстрация)
• Закон Фарадея: Танкерсли и Моска
• Заметки из физики и астрономии HyperPhysics в Университете штата Джорджия ; см. также домашнюю страницу
• Интерактивный Java-апплет по магнитному отклонению пучка частиц в однородном магнитном поле Вольфганга Бауэра
• Формула силы Лоренца на стене прямо напротив дома Лоренца в центре Лейдена