Модель, обычно обозначаемая как уравнение Луджиато – Лефевера (LLE), была сформулирована в 1987 году Луиджи Луджиато и Рене Лефевер [1] как парадигма для спонтанного формирования паттернов в нелинейных оптических системах. [2] [3] [4] Узоры возникают в результате взаимодействия когерентного поля, которое вводится в резонансный оптический резонатор, со средой Керра , заполняющей полость.
Это же уравнение управляет двумя типами рисунков: стационарные рисунки, возникающие в плоскостях, ортогональных по отношению к направлению распространения света ( поперечные рисунки ), и рисунки, которые образуются в продольном направлении ( продольные рисунки ), движутся вдоль полости со скоростью света в среде и вызывают последовательность импульсов на выходе из резонатора.
Случай с продольными паттернами неразрывно связан с феноменом « гребенки частот Керра » в микрорезонаторах, обнаруженным в 2007 году Тобиасом Киппенбергом и его сотрудниками [5] , который вызвал очень живой интерес, особенно из-за того, что он открыл прикладные возможности.
Уравнение
На рисунке 1 показан световой луч, распространяющийся в направление, в то время как а также - поперечные направления. Если предположить, что электрическое поле как, где обозначает время, линейно поляризовано и, следовательно, может рассматриваться как скаляр, мы можем выразить его в терминах медленно меняющейся нормализованной комплексной огибающей этим способом
где - частота светового луча, вводимого в полость, и скорости света в среде Керра , заполняющей полость. Для определенности рассмотрим кольцевой резонатор (рис. 2) очень высокого качества (резонатор High-Q).
В исходном LLE [1] предполагается, что конверт не зависит от продольной переменной (т.е. равномерно по полости), так что . Уравнение гласит
( 1 )
где а также , нормализованные временные и пространственные переменные, т. е. , , , с участием скорость распада резонатора или ширина линии резонатора, длина дифракции в резонаторе. - параметр расстройки резонатора, где частота резонатора, ближайшая к . В правой части уравнения ( 1 ) - нормированная амплитуда входного поля, которое вводится в резонатор, второй - член затухания, третий - член расстройки, четвертый - кубический нелинейный член, учитывающий среду Керра, последний член с поперечным Лапласиан описывает дифракцию в параксиальном приближении. Предполагаются условия самофокусировки.
Мы называем уравнение ( 1 ) поперечным LLE. Несколькими годами позже [1] была сформулирована продольная LLE, в которой дифракция заменена дисперсией. [6] [7] В этом случае предполагается, что конверт не зависит от поперечных переменных а также , чтобы . Продольный LLE читается
( 2 )
с участием , где зависит, в частности, от параметра дисперсии во втором порядке. Предполагаются условия аномального рассеивания. Важным моментом является то, что однаждыполучается путем решения уравнения ( 2 ), необходимо вернуться к исходным переменным и заменить от , так что -зависимое стационарное решение (стационарный образец) становится движущейся схемой (со скоростью ).
С математической точки зрения LLE представляет собой управляемое, затухающее, расстроенное нелинейное уравнение Шредингера .
Поперечный LLE ( 1 ) находится в 2D с пространственной точки зрения. В конфигурации волновода зависит только от одной пространственной переменной, скажем , а поперечный лапласиан заменяется на и один имеет поперечный LLE в 1D. Продольный LLE ( 2 ) эквивалентен поперечному LLE в 1D.
В некоторых работах, посвященных продольному случаю, рассматривается дисперсия за пределами второго порядка, так что уравнение ( 2 ) включает также члены с производными порядка выше второго по.
Единые стационарные решения. Связь с оптической бистабильностью . Четырехволновое смешение и формирование рисунка .
Остановимся на случае, когда конверт постоянна, т.е. на стационарных решениях, не зависящих от всех пространственных переменных. Отбрасывая все производные в уравнениях ( 1 ) и ( 2 ) и взяв квадрат модуля, получаем стационарное уравнение
( 3 )
Если построить стационарную кривую как функция , когда получим кривую, подобную показанной на рис.3.
Кривая -образный и имеется интервал значений где есть три стационарных состояния. Однако состояния, лежащие в сегменте с отрицательным наклоном, являются нестабильными, поэтому в этом интервале существуют два сосуществующих устойчивых стационарных состояния: это явление называется оптической бистабильностью . [8] Если входная интенсивность увеличивается, а затем уменьшается, покрывается цикл гистерезиса.
Если говорить о модах пустого резонатора, то в случае однородных стационарных решений, описываемых уравнением ( 3 ), электрическое поле является одномодовым, что соответствует режиму частоты квазирезонансный с входной частотой .
В поперечной конфигурации уравнения ( 1 ) в случае этих стационарных решений E соответствует одномодовая плоская волна с участием , где а также - поперечные компоненты волнового вектора, точно так же, как входное поле .
Кубическая керровская нелинейность уравнений ( 1 ) и ( 2 ) приводит к четырехволновому смешению (FWM), которое может генерировать другие моды, так что огибающаяотображает пространственную картину: в поперечной плоскости в случае уравнения ( 1 ), вдоль полости в случае уравнения ( 2 ).
Поперечные картины и солитоны резонатора
В поперечном случае уравнения ( 1 ) картина возникает из-за взаимодействия FWM и дифракции. FWM может вызвать, например, процессы, в которых пары фотонов с поглощаются, и одновременно система излучает пары фотонов с , а также , таким образом, чтобы сохранялась полная энергия фотонов и их полный импульс (рис. 4).
Фактически в игру вступают и другие процессы FWM, так что предполагает конфигурацию гексагонального узора [9] (см. рис.5).
Шаблон отображает упорядоченный массив пиков интенсивности. Также возможно генерировать изолированные пики интенсивности [10] , которые называются солитонами резонатора (см. Рис. 6). Поскольку солитоны резонатора можно «записывать» и «стирать» один за другим в поперечной плоскости, как на классной доске, они представляют большой интерес для приложений оптической обработки информации и телекоммуникаций.
Продольные картины и солитоны резонатора
В продольном случае уравнения ( 2 ) закономерности возникают из-за взаимодействия между FWM и дисперсией. FWM может вызвать, например, процессы, в которых пары фотонов продольной моды квазирезонансны с поглощаются, и одновременно система излучает пары фотонов, соответствующие модам резонатора, симметрично смежным с квазирезонансной модой, таким образом, что сохраняется полная энергия фотона, а также полный продольный импульс фотона.
На рис. 7 показан пример образованных рисунков, которые проходят вдоль полости и выходят из нее. Как и в поперечном случае, также в продольной конфигурации могут генерироваться одиночные или множественные солитоны керровской полости; На рис. 8 показан случай солитона с одним резонатором, который циркулирует в резонаторе и генерирует на выходе последовательность узких импульсов. Такие солитоны впервые наблюдались в волоконном резонаторе. [11]
Важно отметить, что неустойчивость, которая порождает продольные структуры и солитоны резонатора в LLE, является частным случаем многомодовой неустойчивости оптической бистабильности, предсказанной Бонифачо и Лугиато в [12] и впервые экспериментально наблюдаемой в [13].
Микрорезонаторные частотные гребенки Керра и солитоны резонатора
Гребни с оптическими частотами представляют собой равноудаленный набор лазерных частот, которые можно использовать для подсчета световых циклов. Этот метод, предложенный Теодором Хеншем [14] и Джоном Холлом [15] с использованием лазеров с синхронизацией мод , привел к множеству применений. В работе [5] продемонстрирована реализация широкополосных оптических частотных гребенок, использующих моды шепчущей галереи, активируемые непрерывным лазерным полем, инжектируемым в высокодобротный микрорезонатор, заполненный средой Керра, что приводит к FWM. С тех пор частотные гребенки Керра (KFC), ширина полосы которых может превышать октаву с частотой повторения в диапазоне частот от микроволнового до ТГц, были созданы в большом количестве микрорезонаторов; обзоры на эту тему см., например, в [16] [17]. Они предлагают значительный потенциал для миниатюризации и фотонной интеграции в масштабе чипа, а также для снижения мощности. Сегодня генерация KFC - это зрелая область, и эта технология была применена в нескольких областях, включая когерентную связь, спектроскопию, атомные часы, а также лазерную локацию и калибровку астрофизического спектрометра.
Ключевым толчком к этим разработкам стала реализация солитонов резонатора Керра в микрорезонаторах [18], открывшая возможность использования солитонов резонатора Керра в фотонных интегральных микрорезонаторах.
Продольный LLE ( 2 ) дает пространственно-временную картину вовлеченных явлений, но со спектральной точки зрения его решения соответствуют KFC. Связь между темой оптического KFC и LLE была теоретически развита в [18] [19] [20] [21] [22]. Эти авторы показали, что LLE (или обобщения, включая дисперсионные члены более высокого порядка) является моделью, которая описывает создание KFC и может предсказывать их свойства при изменении параметров системы. Спонтанное образование пространственных структур и солитонов, движущихся вдоль полости, описываемой LLE, является пространственно-временным эквивалентом частотных гребенок и определяет их свойства. Довольно идеализированные условия, принятые в формулировке LLE, особенно условие высокой добротности, были полностью материализованы впечатляющим технологическим прогрессом, который произошел за это время в области фотоники и привел, в частности, к открытию KFC.
Квантовые аспекты
Два фотона, которые, как показано на рисунке 4, испускаются в симметрично наклоненных направлениях в процессе FWM, находятся в состоянии квантовой запутанности : они точно коррелированы, например, по энергии и импульсу. Этот факт является фундаментальным для квантовых аспектов оптических структур. Например, разница между интенсивностями двух симметричных лучей сжимается, т.е. проявляются колебания ниже уровня дробового шума; [23] продольный аналог этого явления наблюдался экспериментально в KFC. [24] В свою очередь, такие квантовые аспекты являются базовыми для области квантовой визуализации . [25] [26]
Обзорные статьи
Для обзоров по предмету LLE см. Также. [27] [28] [29]
Смотрите также
- Четырехволновое смешение
- Частотная гребенка
- Гребенка частоты Керра
- Нелинейное уравнение Шредингера
- Оптическая бистабильность
- Формирование паттерна
Рекомендации
- ^ a b c Лугиато, Луизиана; Лефевер Р. (1987). «Пространственные диссипативные структуры в пассивных оптических системах». Письма с физическим обзором . 58 (21): 2209–2211. Bibcode : 1987PhRvL..58.2209L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.58.2209 . PMID 10034681 .
- ^ Тьюринг, AM. (1952). «Химические основы морфогенеза» . Философские труды Лондонского королевского общества B: Биологические науки . 237 (641): 37–72. Bibcode : 1952RSPTB.237 ... 37T . DOI : 10,1098 / rstb.1952.0012 .
- ^ Nicolis, G .; Пригожин И. (1977). Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через колебания . Вили, Нью-Йорк. ISBN 978-0471024019.
- ^ Хакен, Х. (1983). Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через колебания . Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-3-642-88338-5.
- ^ а б Del'Haye, P .; Schliesser, A .; Arcizet, O .; Wilken, T .; Holzwarth, R .; Киппенберг, Т.Дж. (2007). «Генерация оптических частотных гребенок из монолитного микрорезонатора». Природа . 450 (7173): 1214–1217. arXiv : 0708.0611 . Bibcode : 2007Natur.450.1214D . DOI : 10,1038 / природа06401 . PMID 18097405 . S2CID 4426096 .
- ^ Haelterman, M .; Trillo, S .; Вабниц, С. (1992). «Диссипативная модуляционная неустойчивость в нелинейном диспергирующем кольцевом резонаторе». Оптика Коммуникации . 91 (5–6): 401–407. Bibcode : 1992OptCo..91..401H . DOI : 10.1016 / 0030-4018 (92) 90367-Z .
- ^ Brambilla, M .; Castelli, F .; Gatti, A .; Лугиато, Луизиана; Прати, Ф. (1993). «Неустойчивости и уменьшение квантового шума при нелинейно-оптическом смешивании». SUSSP Proceedings . 41 : 115–136.
- ^ Гиббс, HM (1985). Оптическая бистабильность: управление светом светом . Academic Press, Inc., Орландо, Флорида. ISBN 978-0122819407.
- ^ Гомила, Д .; Jacobo, A .; Матиас, Массачусетс; Колет, П. (2007). «Фазово-пространственная структура двумерных возбудимых локализованных структур» (PDF) . Physical Review E . 75 (2): 026217. arXiv : nlin / 0703011 . Bibcode : 2007PhRvE..75b6217G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.75.026217 . hdl : 10261/6146 . PMID 17358415 . S2CID 38460064 .
- ^ Скрогги, Эй Джей; Ферт, Вирджиния; McDonald s, GS; Тлиди, М .; Лугиато, Луизиана; Лефевер Р. (1994). «Формирование рисунка в пассивной полости Керра». Хаос, солитоны и фракталы . 4 (8–9): 1323–1354. Bibcode : 1994CSF ..... 4.1323S . CiteSeerX 10.1.1.594.1475 . DOI : 10.1016 / 0960-0779 (94) 90084-1 .
- ^ Лев, Ф .; Coen, S .; Kockaert, P .; Горза, ИП; Emplit, P .; Хельтерман, М. (2010). «Солитоны временного резонатора в одномерных средах Керра как биты в полностью оптическом буфере». Природа Фотоника . 4 (7): 471–476. Bibcode : 2010NaPho ... 4..471L . DOI : 10.1038 / nphoton.2010.120 .
- ^ Bonifacio, R .; Лугиато, Л.А. (1978). «Неустойчивости когерентного поглотителя в кольцевой полости». Lettere al Nuovo Cimento . 21 (15): 510–516. DOI : 10.1007 / bf02763162 . S2CID 120619908 .
- ^ Сегард, Б .; Маке, Б. (1988). «Самоимпульсный режим при собственной оптической бистабильности с двухуровневыми молекулами». Письма с физическим обзором . 60 (5): 412–415. Bibcode : 1988PhRvL..60..412S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.60.412 . PMID 10038540 .
- ^ Удем, Т .; Holzwarth, R .; Хэнш Т. Т.В. (2002). «Метрология оптических частот». Природа . 416 (6877): 233–237. Bibcode : 2002Natur.416..233U . DOI : 10.1038 / 416233a . hdl : 11858 / 00-001M-0000-000F-C239-D . PMID 11894107 . S2CID 4416086 .
- ^ Джонс, диджей; Diddams, SA; Ранка, JK; Stentz, A .; Винделер, RS; Холл, JL; Курдифф, СТ (2000). «Управление фазой несущей и огибающей фемтосекундных лазеров с синхронизацией мод и прямой оптический синтез частоты» . Наука . 288 (5466): 635–639. Bibcode : 2000Sci ... 288..635J . DOI : 10.1126 / science.288.5466.635 . PMID 10784441 .
- ^ Herr, T .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т.Дж. (2015). "Глава 6: Диссипативные солитоны Керра в оптических микрорезонаторах". В Грелу, Филипп (ред.). Нелинейная динамика оптического резонатора: от микрорезонаторов до волоконных лазеров . Wiley ‐ VCH Verlag GmbH. С. 129–162. arXiv : 1508.04989 . DOI : 10.1002 / 9783527686476.ch6 . ISBN 9783527413324.
- ^ Chembo, YK (2016). «Керровские оптические гребенки частот: теория, приложения и перспективы» . Нанофотоника . 5 (2): 214–230. Bibcode : 2016Nanop ... 5 ... 13С . DOI : 10,1515 / nanoph-2016-0013 .
- ^ а б Herr, T .; Brasch, V .; Jost, JD; Wang, CY; Кондратьев НМ; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т.Дж. (2014). «Временные солитоны в оптических микрорезонаторах». Природа Фотоника . 8 (2): 145–152. arXiv : 1211.0733 . Bibcode : 2014NaPho ... 8..145H . DOI : 10.1038 / nphoton.2013.343 . S2CID 118546909 .
- ^ Мацко, А.Б .; Савченков А.А.; Liang, W .; Ильченко ВС; Зайдель, Д .; Малеки, Л. (2011). «Частотные гребенки Керра с синхронизацией режима». Письма об оптике . 36 (15): 2845–7. Bibcode : 2011OptL ... 36.2845M . DOI : 10.1364 / OL.36.002845 . PMID 21808332 .
- ^ Herr, T .; Brasch, V .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т.Дж. (2012). «Солитонная синхронизация мод в оптических микрорезонаторах». Arxiv : 1211.0733v1 [ physics.optics ] (Arxiv версия Ref.18)CS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ Chembo, YK; Менюк, ЧР (2013). "Пространственно-временной формализм Лугиато-Лефевера для генерации гребенки Керра в резонаторах типа шепчущей галереи". Physical Review . 87 (5): 053852. arXiv : 1210.8210 . Bibcode : 2013PhRvA..87e3852C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.87.053852 . S2CID 16050188 .
- ^ Coen, S .; Randle, HG; Сильвестр, Т .; Эркинтало, М. (2013). «Моделирование частотных гребенок Керра с охватом октавы с использованием обобщенной модели Луджиато Лефевера среднего поля». Письма об оптике . 38 (1): 37–39. arXiv : 1211.1697 . Bibcode : 2013OptL ... 38 ... 37С . DOI : 10.1364 / OL.38.000037 . PMID 23282830 . S2CID 7248349 .
- ^ Лугиато, Луизиана; Кастелли, Ф. (1992). «Квантовое шумоподавление в пространственной диссипативной структуре». Письма с физическим обзором . 68 (22): 3284–3286. Bibcode : 1992PhRvL..68.3284L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.68.3284 . PMID 10045663 .
- ^ Dutt, A .; Люк, К .; Manipatruni, S .; Гаэта, Алабама; Nussenzveig, P .; Липсон, М. (2015). «Встроенное оптическое сжатие». Применена физическая проверка . 3 (4): 044005. arXiv : 1309.6371 . Bibcode : 2015PhRvP ... 3d4005D . DOI : 10.1103 / PhysRevApplied.3.044005 . S2CID 16013174 .
- ^ Gatti, A .; Brambilla, E .; Лугиато, Лос-Анджелес (2008). Вольф, Э. (ред.). Квантовая визуализация . Прогресс в оптике . LI . С. 251–348. DOI : 10.1016 / S0079-6638 (07) 51005-X . ISBN 9780444532114.
- ^ Колобов М.И. (1999). «Пространственное поведение неклассического света». Обзоры современной физики . 71 (5): 1539–1589. Bibcode : 1999RvMP ... 71.1539K . DOI : 10.1103 / RevModPhys.71.1539 .
- ^ Лугиато, Луизиана; Prati, F .; Брамбилла, М. (2015). «Глава 28: Модель Лугиато Лефевера». Нелинейные оптические системы . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9781107477254.032 . ISBN 9781107477254.
- ^ Castelli, F .; Brambilla, M .; Gatti, M .; Prati, F .; Лугиато, Лос-Анджелес (2017). «LLE, формирование паттернов и новый последовательный источник» (PDF) . Европейский физический журнал D . 71 (4): 84. Bibcode : 2017EPJD ... 71 ... 84C . DOI : 10.1140 / epjd / e2017-70754-1 . hdl : 2434/502714 . S2CID 126088543 .
- ^ Лугиато, Луизиана; Prati, F .; Городецкий, М.Л .; Киппенберг, Т.Дж. "От LLE до солитонных гребенок Керра на основе микрорезонатора". Философские труды Королевского общества Лондона A .