Магнитный момент

Электромагнетизм
Статьи о

Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Магнитный момент магнитная сила и ориентация магнита или другого объекта , который производит магнитное поле . Примеры объектов, обладающих магнитным моментом, включают: контуры электрического тока (например, электромагниты ), постоянные магниты, элементарные частицы (например, электроны ), различные молекулы и многие астрономические объекты (например, множество планет , некоторые луны , звезды и т. Д.) .

Точнее, термин магнитный момент обычно относится к магнитному дипольному моменту системы , компоненту магнитного момента, который может быть представлен эквивалентным магнитным диполем : северный и южный магнитные полюсы, разделенные очень небольшим расстоянием. Компонента магнитного диполя достаточно для достаточно маленьких магнитов или для достаточно больших расстояний. Члены более высокого порядка (такие как магнитный квадрупольный момент ) могут потребоваться в дополнение к дипольному моменту для протяженных объектов.

Магнитный дипольный момент объекта легко определить в терминах крутящего момента, который объект испытывает в данном магнитном поле. То же приложенное магнитное поле создает большие крутящие моменты на объектах с большими магнитными моментами. Сила (и направление) этого крутящего момента зависит не только от величины магнитного момента, но и от его ориентации относительно направления магнитного поля. Следовательно, магнитный момент можно рассматривать как вектор . Направление магнитного момента указывает с юга на северный полюс магнита (внутри магнита).

Магнитное поле магнитного диполя пропорционально его магнитному дипольному моменту. Дипольная составляющая магнитного поля объекта симметрична относительно направления его магнитного дипольного момента и уменьшается как куб, обратный расстоянию от объекта.

Определение, единицы и измерения [ править ]

Определение [ править ]

Магнитный момент можно определить как вектор, связывающий выравнивающий момент на объекте от внешнего магнитного поля с самим вектором поля. Отношения задаются: ^[1]

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}

где $τ$ - крутящий момент, действующий на диполь, $B$ - внешнее магнитное поле, $m$ - магнитный момент.

Это определение основано на том, как в принципе можно измерить магнитный момент неизвестного образца. Для токовой петли это определение приводит к тому, что величина магнитного дипольного момента равна произведению тока на площадь петли. Кроме того, это определение позволяет рассчитать ожидаемый магнитный момент для любого известного макроскопического распределения тока.

Альтернативное определение полезно для термодинамических расчетов магнитного момента. В этом определении магнитный дипольный момент системы представляет собой отрицательный градиент ее внутренней энергии $U int по$ отношению к внешнему магнитному полю:

{\ displaystyle \ mathbf {m} = - {\ hat {\ mathbf {x}}} {\ frac {\ partial U _ {\ rm {int}}} {\ partial B_ {x}}} - {\ hat { \ mathbf {y}}} {\ frac {\ partial U _ {\ rm {int}}} {\ partial B_ {y}}} - {\ hat {\ mathbf {z}}} {\ frac {\ partial U_ {\ rm {int}}} {\ partial B_ {z}}}.}

Обычно внутренняя энергия включает в себя энергию собственного поля системы плюс энергию внутренней работы системы. Например, для атома водорода в состоянии 2p во внешнем поле энергия собственного поля пренебрежимо мала, поэтому внутренняя энергия по существу является собственной энергией состояния 2p, которая включает кулоновскую потенциальную энергию и кинетическую энергию электрона. Энергия поля взаимодействия между внутренними диполями и внешними полями не является частью этой внутренней энергии. ^[2]

Единицы [ править ]

Единицей измерения магнитного момента в основных единицах Международной системы единиц (СИ) является А · м ² , где А - ампер (базовая единица измерения тока в системе СИ), а м - метр (базовая единица измерения расстояния в системе СИ). Эта единица имеет эквиваленты в других производных единицах СИ, включая: ^[3]^[4]

{\text{A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}={\frac {{\text{N}}{\cdot }{\text{m}}}{\text{T}}}={\frac {\text{J}}{\text{T}}},

где N - ньютон (производная единица силы в системе СИ), T - тесла (производная единица измерения плотности магнитного потока в системе СИ), а Дж - джоуль (производная единица энергии в системе СИ ). ^[5] Хотя крутящий момент (Н · м) и энергия (Дж) эквивалентны по размерам, крутящий момент никогда не выражается в единицах энергии. ^[6]

В системе CGS существует несколько различных наборов единиц электромагнетизма, основными из которых являются ESU , Gaussian и EMU . Среди них есть две альтернативные (неэквивалентные) единицы магнитного дипольного момента:

1{\text{ statA}}{\cdot }{\text{cm}}^{2}=3.33564095\times 10^{-14}{\text{ A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}

(ESU)

1\;{\frac {\text{erg}}{\text{G}}}=10^{-3}{\text{ A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}

(Гауссовский и EMU),

где statA - статамперы , cm - сантиметры , erg - эрг , а G - гаусс . Отношение этих двух неэквивалентных единиц CGS (EMU / ESU) равно скорости света в свободном пространстве , выраженной в см ⋅ с ^-1 .

Все формулы в этой статье верны в единицах СИ ; их может потребоваться изменить для использования в других системах единиц. Например, в единицах СИ контур тока с током $I$ и областью $А$ имеет магнитный момент $IA$ (см. Ниже), но в единицах Гаусса магнитный момент равен $Я / c$ .

Другие устройства для измерения магнитного дипольного момента включают магнетон Бора и ядерный магнетон .

Измерение [ править ]

Магнитные моменты объектов обычно измеряются с помощью устройств, называемых магнитометрами , хотя не все магнитометры измеряют магнитный момент: вместо этого некоторые из них сконфигурированы для измерения магнитного поля . Однако, если магнитное поле, окружающее объект, известно достаточно хорошо, то магнитный момент можно рассчитать на основе этого магнитного поля.

Отношение к намагничиванию [ править ]

Магнитный момент - это величина, которая описывает магнитную силу всего объекта. Однако иногда полезно или необходимо знать, какая часть чистого магнитного момента объекта создается определенной частью этого магнита. Поэтому полезно определить поле намагничивания $M$ как:

\mathbf {M} ={\frac {\mathbf {m} _{\Delta V}}{V_{\Delta V}}},

где $т Δ V$ и $V Δ V$ являются магнитный дипольный момент и объем достаточно малой части магнита $Δ V$ . Это уравнение часто представляется с использованием производных обозначений, так что

\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} V}},

где $d m$ - элементарный магнитный момент, а $d V$ - элемент объема . Таким образом, чистый магнитный момент магнита $m$ равен

\mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V,

где тройной интеграл означает интегрирование по объему магнита . Для равномерного намагничивания (где величина и направление $M$ одинаковы для всего магнита (например, для прямого стержневого магнита) последнее уравнение упрощается до:

\mathbf {m} =\mathbf {M} V,

где $V$ - объем стержневого магнита.

Однако намагниченность часто не указывается в качестве параметра материала для коммерчески доступных ферромагнитных материалов. Вместо этого в списке указывается остаточная магнитная индукция (или остаточная намагниченность), обозначенная как $B r$ . Формула, необходимая в этом случае для вычисления $m$ в (единицах A⋅m ² ), следующая :

\mathbf {m} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} _{\rm {r}}V

,

куда:

$B r$ - остаточная магнитная индукция , выраженная в теслах .
$V$ - объем магнита (в м ³ ).
$μ 0$ - проницаемость вакуума (4π × 10 ⁻⁷ Гн / м ). ^[7]

Модели [ править ]

Предпочтительное классическое объяснение магнитного момента со временем изменилось. До 1930-х годов учебники объясняли этот момент с помощью гипотетических точечных магнитных зарядов. С тех пор большинство определили это в терминах амперских токов. ^[8] В магнитных материалах, причина магнитного момента является спином и орбитальным состояние импульса из электронов , и варьирует в зависимости от того , атомов в одной области выровнены с атомами в другом.

Модель магнитного полюса [ править ]

Электростатический аналог магнитного момента: два противоположных заряда, разделенных конечным расстоянием.

Источники магнитных моментов в материалах могут быть представлены полюсами по аналогии с электростатикой . Иногда это называют моделью Гилберта. ^[9] В этой модели небольшой магнит моделируется парой магнитных полюсов равной величины, но противоположной полярности . Каждый полюс является источником магнитной силы, которая ослабевает с расстоянием. Поскольку магнитные полюса всегда идут парами, их силы частично нейтрализуют друг друга, потому что, пока один полюс тянет, другой отталкивается. Это подавление является наибольшим, когда полюса расположены близко друг к другу, то есть когда стержневой магнит короткий. Таким образом, магнитная сила, создаваемая стержневым магнитом в данной точке пространства, зависит от двух факторов: силы $p$ его полюсов (сила магнитного полюса ) и разделяющий их вектор . Магнитный дипольный момент $m$ связан с фиктивными полюсами соотношением ^[8] $\mathrm {\boldsymbol {\ell }}$

\mathbf {m} =p\,\mathrm {\boldsymbol {\ell }} \,.

Он указывает в направлении с юга на северный полюс. Аналогию с электрическими диполями не следует заходить слишком далеко, потому что магнитные диполи связаны с угловым моментом (см. Связь с угловым моментом ). Тем не менее магнитные полюса очень полезны для магнитостатических расчетов, особенно в приложениях к ферромагнетикам . ^[8] Практикующие с использованием магнитного полюса подход , как правило представляют собой магнитное поле с помощью безвихревого поля $Н$ , по аналогии с электрическим полем $E$ .

Модель петли Ампера [ править ]

Модель петли Ампера: текущая петля (кольцо), которая входит на страницу в точке x и выходит в точке, создает

B-

поле (линии). Северный полюс находится справа, а южный - слева.

После того, как Ганс Кристиан Эрстед обнаружил, что электрические токи создают магнитное поле, а Андре-Мари Ампер обнаружил, что электрические токи притягивают и отталкивают друг друга, как магниты, было естественным предположить, что все магнитные поля создаются петлями электрического тока. В этой модели, разработанной Ампером, элементарный магнитный диполь, из которого состоят все магниты, представляет собой достаточно малую амперовую петлю тока I. Дипольный момент этой петли равен

\mathbf {m} =I{\boldsymbol {S}},

где $S$ - площадь петли. Направление магнитного момента - это направление, нормальное к области, окружающей ток, в соответствии с направлением тока с использованием правила правой руки.

Локализованные текущие дистрибутивы [ править ]

Момент плоского тока, имеющего величину

I

и охватывающего область

S

{\boldsymbol {\mu }}

Магнитный дипольный момент может быть рассчитан для локализованного (не простирающегося до бесконечности) распределения тока, предполагая, что мы знаем все задействованные токи. Обычно, вывод начинается с мультипольным разложения в векторном потенциале . Это приводит к определению магнитного дипольного момента как:

\mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} \,{\rm {d}}V,

где × - векторное векторное произведение , $r$ - вектор положения, $j$ - плотность электрического тока, а интеграл - это объемный интеграл. ^[10] Когда плотность тока в интеграле заменяется петлей тока I в плоскости, охватывающей область S, тогда объемный интеграл становится линейным интегралом, а результирующий дипольный момент становится

\mathbf {m} =I\mathbf {S} ,

таким образом определяется магнитный дипольный момент для амперовской петли.

Практики , использующие текущая модель цикла , как правило , представляют магнитное поле с помощью соленоидального поля $B$ , аналогично электростатического поля $D$ .

Магнитный момент соленоида [ править ]

Изображение соленоида

Обобщением вышеупомянутой токовой петли является катушка или соленоид . Его момент - это векторная сумма моментов отдельных поворотов. Если у соленоида $N$ одинаковых витков (однослойная обмотка) и векторная площадь $S$ ,

\mathbf {m} =NI\mathbf {S} .

Квантовая механическая модель [ править ]

При вычислении магнитных моментов материалов или молекул на микроскопическом уровне часто удобно использовать третью модель магнитного момента, которая использует линейную зависимость между угловым моментом и магнитным моментом частицы. Хотя это соотношение легко развить для макроскопических токов с использованием модели ампериановой петли (см. Ниже ), ни модель магнитного полюса, ни модель амперианской петли в действительности не отражают то, что происходит на атомном и молекулярном уровнях. На этом уровне квантовая механикадолжны быть использованы. К счастью, линейная зависимость между магнитным дипольным моментом частицы и ее угловым моментом все еще сохраняется; хотя для каждой частицы он разный. Кроме того, необходимо проявлять осторожность, чтобы различать собственный угловой момент (или спин ) частицы и орбитальный угловой момент частицы. Подробнее см. Ниже .

Воздействие внешнего магнитного поля [ править ]

Крутящий момент [ править ]

Крутящий момент $τ$ на объекте, имеющем магнитный дипольный момент $m$ в однородном магнитном поле $B,$ равен:

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B}

.

Это действительно в настоящий момент из-за любого локализованного распределения тока при условии, что магнитное поле однородно. Для неоднородного B уравнение также справедливо для крутящего момента относительно центра магнитного диполя при условии, что магнитный диполь достаточно мал. ^[11]

Электрон, ядро или атом, помещенные в однородное магнитное поле, будут прецессировать с частотой, известной как частота Лармора . См. Резонанс .

Сила в момент [ править ]

Магнитный момент во внешнем магнитном поле имеет потенциальную энергию $U$ :

U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B}

В случае, когда внешнее магнитное поле неоднородно, на сам магнитный момент будет действовать сила, пропорциональная градиенту магнитного поля . Есть два выражения для силы, действующей на магнитный диполь, в зависимости от того, является ли модель диполя токовой петлей или двумя монополями (аналогично электрическому диполю). ^[12] Сила, полученная в случае модели токовой петли, равна

\mathbf {F} _{\text{loop}}=\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right)

.

В случае использования пары монополей (т.е. модели электрического диполя) сила равна

\mathbf {F} _{\text{dipole}}=\left(\mathbf {m} \cdot \nabla \right)\mathbf {B}

.

И одно можно выразить через отношение

\mathbf {F} _{\text{loop}}=\mathbf {F} _{\text{dipole}}+\mathbf {m} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)

.

Во всех этих выражениях $m$ - это диполь, а $B$ - магнитное поле в его положении. Обратите внимание, что при отсутствии токов или изменяющихся во времени электрических полей $\nabla \times B = 0$ и два выражения согласуются.

Магнетизм [ править ]

Кроме того, приложенное магнитное поле может изменить магнитный момент самого объекта; например, намагничивая его. Это явление известно как магнетизм . Приложенное магнитное поле может перевернуть магнитные диполи, из которых состоит материал, вызывая как парамагнетизм, так и ферромагнетизм . Кроме того, магнитное поле может влиять на токи, которые создают магнитные поля (например, атомные орбиты), что вызывает диамагнетизм .

Воздействие на окружающую среду [ править ]

Магнитное поле магнитного момента [ править ]

Силовые линии магнитного поля вокруг «магнитостатического диполя». Сам магнитный диполь расположен в центре фигуры, если смотреть сбоку, и направлен вверх.

Любая система, обладающая чистым магнитным дипольным моментом $m,$ будет создавать дипольное магнитное поле (описанное ниже) в пространстве, окружающем систему. В то время как чистое магнитное поле, создаваемое системой, также может иметь мультипольные компоненты более высокого порядка , они будут убывать с расстоянием быстрее, так что только дипольная составляющая будет доминировать в магнитном поле системы на больших расстояниях от нее.

Магнитное поле магнитного диполя зависит от силы и направления магнитного момента магнита, но уменьшается в виде куба расстояния, так что: $\mathbf {m}$

{\mathbf {H} }({\mathbf {r} })={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right),

где - магнитное поле, создаваемое магнитом, и - вектор от центра магнитного диполя до места измерения магнитного поля. Обратный кубический характер этого уравнения легче увидеть, если выразить вектор местоположения как произведение его величины на единичный вектор в его направлении ( ), так что: $\mathbf {H}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =|\mathbf {r} |\mathbf {\hat {r}}$

\mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}.

Эквивалентные уравнения для магнитного поля такие же, за исключением мультипликативного множителя μ ₀ = $\mathbf {B}$ 4 π × 10 ⁻⁷ Гн / м , где μ ₀ называется проницаемостью вакуума . Например:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}.

Силы между двумя магнитными диполями [ править ]

Как обсуждалось ранее, сила, прилагаемая дипольной петлей с моментом $m 1$ к другой с моментом $m 2,$ равна

\mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),

где $B 1$ - магнитное поле, обусловленное моментом $m 1$ . Результат вычисления градиента: ^[13]^[14]

\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left(\mathbf {m} _{2}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+\mathbf {m} _{1}(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})-5{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})\right),

где $r̂$ - единичный вектор, направленный от магнита 1 к магниту 2, а $r$ - расстояние. Эквивалентное выражение ^[14]

\mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left(({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{1})\times \mathbf {m} _{2}+({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{2})\times \mathbf {m} _{1}-2{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})+5{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{1})\cdot ({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{2})\right).

Сила, действующая на $m 1,$ находится в противоположном направлении.

Крутящий момент одного магнитного диполя на другом [ править ]

Крутящий момент магнита 1 на магните 2 равен

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.

Теория, лежащая в основе магнитных диполей [ править ]

Магнитное поле любого магнита можно смоделировать серией членов, для которых каждый член более сложен (имеет более мелкие угловые детали), чем предыдущий. Первые три члена этой серии называются монополем (представлен изолированным северным или южным магнитным полюсом), диполем (представлен двумя равными и противоположными магнитными полюсами) и квадруполем (представлен четырьмя полюсами, которые вместе образуют два равных и противоположных полюса). диполи). Величина магнитного поля для каждого члена уменьшается с расстоянием прогрессивно быстрее, чем предыдущий член, так что на достаточно больших расстояниях первый ненулевой член будет доминировать.

Для многих магнитов первым ненулевым членом является магнитный дипольный момент. (На сегодняшний день изолированных магнитных монополей экспериментально не обнаружено.) Магнитный диполь - это предел либо токовой петли, либо пары полюсов, поскольку размеры источника уменьшаются до нуля при сохранении постоянного момента. Поскольку эти ограничения применяются только к полям, удаленным от источников, они эквивалентны. Однако эти две модели дают разные прогнозы для внутреннего поля (см. Ниже).

Магнитные потенциалы [ править ]

Традиционно уравнения для магнитного дипольного момента (и члены более высокого порядка) выводятся из теоретических величин, называемых магнитными потенциалами ^{[15], с} которыми проще иметь дело с математической точки зрения, чем с магнитными полями.

В модели магнитного полюса соответствующим магнитным полем является размагничивающее поле . Поскольку размагничивающая часть по определению не включает в себя часть, обусловленную свободными токами, существует такой магнитный скалярный потенциал , что $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$

{\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi

.

В модели амперной петли релевантным магнитным полем является магнитная индукция . Поскольку магнитных монополей не существует, существует магнитный векторный потенциал такой, что $\mathbf {B}$

\mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }.

Оба этих потенциала могут быть рассчитаны для любого произвольного распределения тока (для модели амперной петли) или распределения магнитного заряда (для модели магнитного заряда) при условии, что они ограничены достаточно малой областью, чтобы дать:

{\begin{aligned}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} V',\\\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} V',\end{aligned}}

где - плотность тока в модели амперной петли, - плотность напряженности магнитного полюса по аналогии с плотностью электрического заряда, который приводит к электрическому потенциалу, а интегралы - это объемные (тройные) интегралы по составляющим координатам . Знаменатели этого уравнения могут быть расширены с помощью мультипольного разложения, чтобы получить ряд членов, которые имеют большую степень расстояний в знаменателе. Следовательно, первый ненулевой член будет доминировать на больших расстояниях. Первый ненулевой член векторного потенциала: $\mathbf {j}$ $\rho$ $\mathbf {r} '$

\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}},

где находится: $\mathbf {m}$

\mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} \,{\rm {d}}V,

где × - векторное векторное произведение , $r$ - вектор положения, $j$ - плотность электрического тока, а интеграл - это объемный интеграл.

С точки зрения магнитного полюса, первый ненулевой член скалярного потенциала равен

\psi (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}.

Его можно представить в терминах плотности напряженности магнитного полюса, но более полезно выразить в терминах поля намагничивания как: $\mathbf {m}$

\mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V.

В обоих уравнениях используется один и тот же символ, поскольку они дают эквивалентные результаты вне магнита. $\mathbf {m}$

Внешнее магнитное поле, создаваемое магнитным дипольным моментом [ править ]

Следовательно, плотность магнитного потока для магнитного диполя в модели амперной петли равна

\mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right).

Кроме того, напряженность магнитного поля равна $\mathbf {H}$

{\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right).

Внутреннее магнитное поле диполя [ править ]

Магнитное поле токовой петли

Две модели диполя (токовая петля и магнитные полюса) дают одинаковые предсказания для магнитного поля вдали от источника. Однако внутри области источника они дают разные прогнозы. Магнитное поле между полюсами (см. Определение магнитного полюса на рисунке ) находится в направлении, противоположном магнитному моменту (который указывает от отрицательного заряда к положительному), в то время как внутри токовой петли оно находится в том же направлении (см. Рисунок Направо). Пределы этих полей также должны быть разными, поскольку источники сжимаются до нулевого размера. Это различие имеет значение только в том случае, если дипольный предел используется для расчета полей внутри магнитного материала. ^[8]

Если магнитный диполь формируется путем уменьшения и уменьшения токовой петли, но при сохранении постоянства произведения тока и площади, ограничивающее поле равно

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].

В отличие от выражений из предыдущего раздела, этот предел верен для внутреннего поля диполя. ^[8]^[16]

Если магнитный диполь сформирован путем взятия «северного полюса» и «южного полюса», приведения их все ближе и ближе друг к другу, но при сохранении постоянного произведения заряда магнитного полюса и расстояния, то ограничивающее поле будет ^[8]

\mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].

Эти поля связаны соотношением $B = μ 0 (H + M)$ , где $M (r) = m δ (r)$ - намагниченность .

Связь с угловым моментом [ править ]

Магнитный момент имеет тесную связь с угловым моментом, называемый гиромагнитным эффектом . Этот эффект выражен в макроскопическом масштабе в эффекте Эйнштейна – де Гааза , или «вращении за счет намагничивания», и обратном ему, эффекте Барнетта или «намагничивании за счет вращения». ^[1] Кроме того, крутящий момент, приложенный к относительно изолированному магнитному диполю, такому как атомное ядро, может вызвать его прецессию (вращение вокруг оси приложенного поля). Это явление используется в ядерном магнитном резонансе .

Рассмотрение магнитного диполя как токовой петли выявляет тесную связь между магнитным моментом и угловым моментом. Поскольку частицы, создающие ток (вращаясь вокруг петли), имеют заряд и массу, как магнитный момент, так и угловой момент увеличиваются с увеличением скорости вращения. Отношение этих двух называется гиромагнитным соотношением или так, что: ^[17]^[18] $\gamma$

\mathbf {m} =\gamma \,\mathbf {L} ,

где - угловой момент частицы или частиц, создающих магнитный момент. $\mathbf {L}$

В модели ампериановой петли, которая применяется для макроскопических токов, гиромагнитное отношение составляет половину отношения заряда к массе . Это можно показать следующим образом. Угловой момент движущейся заряженной частицы определяется как:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mu \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,

где $μ$ - масса частицы, а $v$ - скорость частицы . Следовательно, угловой момент очень большого числа заряженных частиц, составляющих ток, равен:

\mathbf {L} =\iiint _{V}\,\mathbf {r} \times (\rho \mathbf {v} )\,{\rm {d}}V\,,

где $ρ$ - массовая плотность движущихся частиц. Условно направление перекрестного произведения задается правилом правой руки . ^[19]

Это похоже на магнитный момент, создаваемый очень большим количеством заряженных частиц, составляющих этот ток:

\mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\,\mathbf {r} \times (\rho _{Q}\mathbf {v} )\,{\rm {d}}V\,,

где и - плотность заряда движущихся заряженных частиц. $\mathbf {j} =\rho _{Q}\mathbf {v}$ $\rho _{Q}$

Сравнение двух уравнений приводит к:

\mathbf {m} ={\frac {e}{2\mu }}\,\mathbf {L} \,,

где - заряд частицы, - масса частицы. $e$ $\mu$

Несмотря на то, что атомные частицы нельзя точно описать как орбитальные (и вращающиеся) зарядовые распределения с однородным отношением заряда к массе, эту общую тенденцию можно наблюдать в атомном мире, так что:

\mathbf {m} =g\,{\frac {e}{2\mu }}\,\mathbf {L} ,

где g- фактор зависит от частицы и конфигурации. Например, $g-$ фактор для магнитного момента электрона, вращающегося вокруг ядра, равен единице, в то время как $g-$ фактор для магнитного момента электрона, обусловленного его собственным угловым моментом ( спином ), немного больше 2. $g-$ фактор атомов и молекул должны учитывать орбитальный и собственный моменты его электронов, а также, возможно, собственный момент его ядер.

В атомном мире угловой момент ( спин ) частицы является целым числом (или полуцелый в случае спина) кратно восстановленной постоянной Планка $ħ$ . Это является основой для определения магнитного момента единицы магнетона Боры (предполагая , что отношение заряда к массе от электрона ) и ядерного магнетон (предполагается , что отношение заряда к массе от протона ). См. Более подробные сведения о магнитном моменте электрона и магнетоне Бора .

Атомы, молекулы и элементарные частицы [ править ]

По сути, вклад в магнитный момент любой системы может происходить от источников двух видов: движение электрических зарядов , таких как электрические токи ; и внутренняя магнетизм из элементарных частиц , таких как электрон .

Вклады источников первого рода можно вычислить, зная распределение всех электрических токов (или, альтернативно, всех электрических зарядов и их скоростей) внутри системы, используя приведенные ниже формулы. С другой стороны, величина собственного магнитного момента каждой элементарной частицы - это фиксированное число, часто измеряемое экспериментально с большой точностью. Например, магнитный момент любого электрона измеряется как−9,284 764 × 10 ⁻²⁴ Дж / Тл . ^[20] направление магнитного момента любой элементарной частицы полностью определяются направлением его спины , с отрицательным значением , указывающим , что магнитный момент любого электрона антипараллелен его спиной.

Чистый магнитный момент любой системы - это векторная сумма вкладов от одного или обоих типов источников. Например, магнитный момент атома водорода-1 (легчайшего изотопа водорода, состоящего из протона и электрона) представляет собой векторную сумму следующих вкладов:

собственный момент электрона,
орбитальное движение электрона вокруг протона,
собственный момент протона.

Точно так же магнитный момент стержневого магнита представляет собой сумму вносящих вклад магнитных моментов, которые включают собственный и орбитальный магнитные моменты неспаренных электронов материала магнита и ядерные магнитные моменты.

Магнитный момент атома [ править ]

Для атома отдельные электронные спины складываются, чтобы получить общий спин, и отдельные орбитальные угловые моменты складываются, чтобы получить общий орбитальный угловой момент. Затем эти два суммируются с использованием связи по угловому моменту, чтобы получить общий угловой момент. Для атома без ядерного магнитного момента величина дипольного момента атома равна ^[21] ${\mathfrak {m}}_{\text{atom}}$

{\mathfrak {m}}_{\text{atom}}=g_{\rm {J}}\,\mu _{\rm {B}}\,{\sqrt {j\,(j+1)\,}}

где $j$ - квантовое число полного углового момента , $g$ _J - g- фактор Ланде , а $μ$ _B - магнетон Бора . Тогда составляющая этого магнитного момента вдоль направления магнитного поля равна ^[22]

{\mathfrak {m}}_{{\text{atom}},z}=-m\,g_{\rm {J}}\,\mu _{\rm {B}}~

.

Отрицательный знак возникает из-за того, что электроны имеют отрицательный заряд.

Целое число $м$ (не следует путать с моментом, ) называется магнитным квантовым числом или экваториальное квантовое число, которое может принимать любой из $2$ $J$ $+ 1$ значения: ^[23] ${\mathfrak {m}}$

-j,\ -(j-1),\ \cdots ,\ -1,\ 0,\ +1,\ \cdots ,\ +(j-1),\ +j~

.

Из-за углового момента динамика магнитного диполя в магнитном поле отличается от динамики электрического диполя в электрическом поле. Поле действительно оказывает крутящий момент на магнитный диполь, стремясь выровнять его с полем. Однако крутящий момент пропорционален скорости изменения углового момента, поэтому происходит прецессия : изменяется направление вращения. Такое поведение описывается уравнением Ландау – Лифшица – Гильберта : ^[24]^[25]

{\frac {1}{\gamma }}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {m} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma m}}\mathbf {m} \times {\frac {{\rm {d}}\mathbf {m} }{{\rm {d}}t}}

где $γ$ - гиромагнитное отношение , $m$ - магнитный момент, $λ$ - коэффициент затухания, а $H$ _eff - эффективное магнитное поле (внешнее поле плюс любое самоиндуцированное поле). Первый член описывает прецессию момента вокруг эффективного поля, а второй - это демпфирующий член, связанный с диссипацией энергии, вызванной взаимодействием с окружающей средой.

Магнитный момент электрона [ править ]

Электроны и многие элементарные частицы также обладают собственными магнитными моментами , объяснение которых требует квантово-механической обработки и связано с собственным угловым моментом частиц, как обсуждалось в статье Магнитный момент электрона . Именно эти внутренние магнитные моменты вызывают макроскопические эффекты магнетизма и другие явления, такие как электронный парамагнитный резонанс .

Магнитный момент электрона равен

\mathbf {m} _{\text{S}}=-{\frac {g_{\text{S}}\mu _{\text{B}}\mathbf {S} }{\hbar }},

где μ B - магнетон Бора , $S$ - спин электрона , а g- фактор $g$ _S равен 2 согласно теории Дирака , но из-за квантово-электродинамических эффектов в действительности он немного больше:2.002 319 304 36 . Отклонение от 2 известно как аномальный магнитный дипольный момент .

Снова важно отметить, что $m$ - отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому магнитный момент электрона антипараллелен спину. Это можно понять с помощью следующей классической картины: если мы представим, что спиновый угловой момент создается массой электрона, вращающейся вокруг некоторой оси, электрический ток, создаваемый этим вращением, циркулирует в противоположном направлении из-за отрицательного заряда электрона. ; такие токовые петли создают магнитный момент, антипараллельный спину. Следовательно, для позитрона (античастицы электрона) магнитный момент параллелен его спину.

Магнитный момент ядра [ править ]

Ядерная система - это сложная физическая система, состоящая из нуклонов, т. Е. Протонов и нейтронов . К квантово-механическим свойствам нуклонов, среди прочего, относится спин. Поскольку электромагнитные моменты ядра зависят от спина отдельных нуклонов, можно посмотреть на эти свойства с помощью измерений ядерных моментов, а точнее ядерного магнитного дипольного момента.

Наиболее распространенные ядра существуют в основном состоянии , хотя ядра некоторых изотопов имеют долгоживущие возбужденные состояния . Каждое энергетическое состояние ядра данного изотопа характеризуется четко определенным магнитным дипольным моментом, величина которого является фиксированным числом, часто измеряемым экспериментально с большой точностью. Это число очень чувствительно к индивидуальному вкладу нуклонов, и измерение или предсказание его значения может дать важную информацию о содержании ядерной волновой функции. Существует несколько теоретических моделей, которые предсказывают значение магнитного дипольного момента, и ряд экспериментальных методов, направленных на проведение измерений в ядрах по ядерной карте.

Магнитный момент молекулы [ править ]

Любая молекула имеет четко определенную величину магнитного момента, которая может зависеть от энергетического состояния молекулы . Обычно общий магнитный момент молекулы представляет собой комбинацию следующих вкладов в порядке их типичной силы:

магнитные моменты из-за его неспаренных электронных спинов ( парамагнитный вклад), если таковой имеется
орбитальное движение его электронов, которое в основном состоянии часто пропорционально внешнему магнитному полю ( диамагнитный вклад)
суммарный магнитный момент его ядерных спинов , который зависит от конфигурации ядерного спина .

Примеры молекулярного магнетизма [ править ]

Молекула дикислорода , O ₂ , проявляет сильный парамагнетизм из-за неспаренных спинов двух крайних электронов.
Молекула углекислого газа , CO ₂ , в основном проявляет диамагнетизм , гораздо более слабый магнитный момент электронных орбиталей, который пропорционален внешнему магнитному полю. Ядерный магнетизм магнитного изотопа, такого как ¹³ C или ¹⁷ O, будет вносить вклад в магнитный момент молекулы.
Молекула дигидрогена H ₂ в слабом (или нулевом) магнитном поле проявляет ядерный магнетизм и может находиться в пара- или орто- ядерной конфигурации спина.
Многие комплексы переходных металлов являются магнитными. Формула только для спина является хорошим первым приближением для высокоспиновых комплексов переходных металлов первого ряда . ^[26]

Количество неспаренных электронов	Только вращательный момент ( $μ B$ )
1	1,73
2	2,83
3	3,87
4	4,90
5	5,92

Элементарные частицы [ править ]

В атомной и ядерной физике греческий символ $μ$ представляет величину магнитного момента, часто измеряемого в магнетонах Бора или ядерных магнетонах , связанного с собственным спином частицы и / или с орбитальным движением частицы в системе. Значения собственных магнитных моментов некоторых частиц приведены в таблице ниже:

Собственные магнитные моменты и спины
некоторых элементарных частиц ^[27]
Название частицы (символ)	Магнитный дипольный момент (10 ⁻²⁷ Дж ⋅ T ⁻¹ )	Спиновое квантовое число ( безразмерное )
электрон (е ^- )	-9 284 0,764	1/2
протон (H ⁺ )	–0 014.106 067	1/2
нейтрон (n)	0 00-9,662 36	1/2
мюон (μ ^- )	0 0-44,904 478	1/2
дейтрон ( ² H ⁺ )	–0 004,330 7346	1
тритон ( ³ H ⁺ )	–0 015 046 094	1/2
гелион ( ³ He ⁺⁺ )	0 0-10,746 174	1/2
альфа-частица ( ⁴ He ⁺⁺ )	–0 00 0	0

Относительно связи между понятиями магнитного момента и намагниченности см. Намагниченность .

См. Также [ править ]

Электрический дипольный момент
Магнитный момент электрона
Магнитная восприимчивость
Магнитное диполь-дипольное взаимодействие
Момент (физика)
Магнитный момент нейтрона
Орбитальная намагниченность
Магнитный момент протона

Ссылки и примечания [ править ]

^ a b Cullity, BD; Грэм, компакт-диск (2008). Введение в магнитные материалы (2-е изд.). Wiley-IEEE Press . п. 103. ISBN 978-0-471-47741-9.
^ См., Например, Callen, Herbert B. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . п. 200 . ISBN 978-0-471-86256-7.где соответствующий $U$ равен $U [B e]$ .
^ «Магнитные единицы» . IEEE Magnetics . Проверено 19 февраля +2016 .
^ Мор, Питер Дж .; Ньюэлл, Дэвид Б.; Тейлор, Барри Н. (21 июля 2015 г.). «Рекомендуемые значения фундаментальных физических констант CODATA: 2014». Обзоры современной физики . 88 (3). arXiv : 1507.07956 . Bibcode : 2016RvMP ... 88c5009M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.88.035009 . S2CID 1115862 .
^ Международное бюро мер и весов (2019-05-20), Брошюра SI: Международная система единиц (SI) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, стр. 20-21
^ Международное бюро мер и весов (2019-05-20), Брошюра SI: Международная система единиц (SI) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, п. 23
^ "K&J Magnetics - Глоссарий" . www.kjmagnetics.com .
^ Б с д е е Браун, Уильям Фуллер, Jr. (1962). Магнитостатические принципы в ферромагнетизме . Северная Голландия .
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 258. ISBN 978-0-13-805326-0. OCLC 40251748 .
^ Джексон, Джон Дэвид (1975). «5.6 Магнитные поля локализованного распределения тока, магнитный момент». Классическая электродинамика . 2 . ISBN 978-0-471-43132-9.
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 257 . ISBN 978-0138053260.
^ Бойер, Тимоти Х. (1988). «Сила на магнитном диполе». Являюсь. J. Phys. 56 (8): 688–692. Bibcode : 1988AmJPh..56..688B . DOI : 10.1119 / 1.15501 .
^ Фурлани, Эдвард П. (2001). Постоянный магнит и электромеханические устройства: материалы, анализ, применение . Академическая пресса . п. 140. ISBN 978-0-12-269951-1.
^ a b Юнг, кВт; Ландекер, ПБ; Виллани, DD (1998). «Аналитическое решение для силы между двумя магнитными диполями» (PDF) . Магнитное и электрическое разделение . 9 : 39–52. DOI : 10.1155 / 1998/79537 . Проверено 24 ноября 2012 года .
^ Джексон, Джон Дэвид (1975). «5,6». Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471431329.
^ Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. п. 184 . ISBN 978-0-471-43132-9.
^ Крей, Уве; Оуэн, Энтони (2007). Основы теоретической физики . Springer . С. 151–152. ISBN 978-3-540-36804-5.
^ Бакстон, Ричард Б. (2002). Введение в функциональную магнитно-резонансную томографию . Издательство Кембриджского университета . п. 136. ISBN. 978-0-521-58113-4.
^ Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью (2006). Лекции Фейнмана по физике . 2 . С. 13–12. ISBN 978-0-8053-9045-2.
^ «CODATA Значение: магнитный момент электрона» . Physics.nist.gov .
^ Тилли, RJD (2004). Понимание твердых тел . Джон Вили и сыновья . п. 368. ISBN 978-0-470-85275-0.
^ Типлер, Пол Аллен; Ллевеллин, Ральф А. (2002). Современная физика (4-е изд.). Макмиллан . п. 310. ISBN 978-0-7167-4345-3.
Перейти ↑ Crowther, JA (1949). Ионы, электроны и ионизирующие излучения (8-е изд.). Лондон: Эдвард Арнольд. п. 270 .
^ Райс, Стюарт Алан (2004). Успехи химической физики . Вайли . стр. 208ff. ISBN 978-0-471-44528-9.
^ Штайнер, Маркус (2004). Микромагнетизм и электрическое сопротивление ферромагнитных электродов для устройств спиновой инжекции . Cuvillier Verlag. п. 6. ISBN 978-3-86537-176-8.
^ Фиггис, Б.Н.; Льюис, Дж. (1960). «Магнитохимия комплексных соединений» . В Lewis, J .; Уилкинс, Р.Г. (ред.). Современная координационная химия: принципы и методы . Нью-Йорк: Interscience. С. 405–407.
^ "Результаты поиска, соответствующие 'магнитному моменту ' " . CODATA рекомендованные на международном уровне значения фундаментальных физических констант . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 11 мая 2012 года .

Внешние ссылки [ править ]

Боутелл, Ричард (2009). « μ - Магнитный момент» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .

[Graham-1] Cullity, BD; Грэм, компакт-диск (2008). Введение в магнитные материалы (2-е изд.). Wiley-IEEE Press . п. 103. ISBN 978-0-471-47741-9.

[2] См., Например, Callen, Herbert B. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . п. 200 . ISBN 978-0-471-86256-7.где соответствующий $U$ равен $U [B e]$ .

[IEEEM-3] «Магнитные единицы» . IEEE Magnetics . Проверено 19 февраля +2016 .

[4] Мор, Питер Дж .; Ньюэлл, Дэвид Б.; Тейлор, Барри Н. (21 июля 2015 г.). «Рекомендуемые значения фундаментальных физических констант CODATA: 2014». Обзоры современной физики . 88 (3). arXiv : 1507.07956 . Bibcode : 2016RvMP ... 88c5009M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.88.035009 . S2CID 1115862 .

[5] Международное бюро мер и весов (2019-05-20), Брошюра SI: Международная система единиц (SI) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, стр. 20-21

[6] Международное бюро мер и весов (2019-05-20), Брошюра SI: Международная система единиц (SI) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, п. 23

[7] "K&J Magnetics - Глоссарий" . www.kjmagnetics.com .

[Brown62-8] Б с д е е Браун, Уильям Фуллер, Jr. (1962). Магнитостатические принципы в ферромагнетизме . Северная Голландия .

[9] Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 258. ISBN 978-0-13-805326-0. OCLC 40251748 .

[Jackson-10] Джексон, Джон Дэвид (1975). «5.6 Магнитные поля локализованного распределения тока, магнитный момент». Классическая электродинамика . 2 . ISBN 978-0-471-43132-9.

[11] Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 257 . ISBN 978-0138053260.

[12] Бойер, Тимоти Х. (1988). «Сила на магнитном диполе». Являюсь. J. Phys. 56 (8): 688–692. Bibcode : 1988AmJPh..56..688B . DOI : 10.1119 / 1.15501 .

[13] Фурлани, Эдвард П. (2001). Постоянный магнит и электромеханические устройства: материалы, анализ, применение . Академическая пресса . п. 140. ISBN 978-0-12-269951-1.

[Yung-14] Юнг, кВт; Ландекер, ПБ; Виллани, DD (1998). «Аналитическое решение для силы между двумя магнитными диполями» (PDF) . Магнитное и электрическое разделение . 9 : 39–52. DOI : 10.1155 / 1998/79537 . Проверено 24 ноября 2012 года .

[15] Джексон, Джон Дэвид (1975). «5,6». Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471431329.

[16] Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. п. 184 . ISBN 978-0-471-43132-9.

[Krey-17] Крей, Уве; Оуэн, Энтони (2007). Основы теоретической физики . Springer . С. 151–152. ISBN 978-3-540-36804-5.

[Buxton-18] Бакстон, Ричард Б. (2002). Введение в функциональную магнитно-резонансную томографию . Издательство Кембриджского университета . п. 136. ISBN. 978-0-521-58113-4.

[Feynman-19] Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью (2006). Лекции Фейнмана по физике . 2 . С. 13–12. ISBN 978-0-8053-9045-2.

[20] «CODATA Значение: магнитный момент электрона» . Physics.nist.gov .

[Tilley2-21] Тилли, RJD (2004). Понимание твердых тел . Джон Вили и сыновья . п. 368. ISBN 978-0-470-85275-0.

[Llewellyn-22] Типлер, Пол Аллен; Ллевеллин, Ральф А. (2002). Современная физика (4-е изд.). Макмиллан . п. 310. ISBN 978-0-7167-4345-3.

[Crowther-23] Перейти ↑ Crowther, JA (1949). Ионы, электроны и ионизирующие излучения (8-е изд.). Лондон: Эдвард Арнольд. п. 270 .

[Rice-24] Райс, Стюарт Алан (2004). Успехи химической физики . Вайли . стр. 208ff. ISBN 978-0-471-44528-9.

[Steiner-25] Штайнер, Маркус (2004). Микромагнетизм и электрическое сопротивление ферромагнитных электродов для устройств спиновой инжекции . Cuvillier Verlag. п. 6. ISBN 978-3-86537-176-8.

[26] Фиггис, Б.Н.; Льюис, Дж. (1960). «Магнитохимия комплексных соединений» . В Lewis, J .; Уилкинс, Р.Г. (ред.). Современная координационная химия: принципы и методы . Нью-Йорк: Interscience. С. 405–407.

[27] "Результаты поиска, соответствующие 'магнитному моменту ' " . CODATA рекомендованные на международном уровне значения фундаментальных физических констант . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 11 мая 2012 года .