В математической теории случайных матриц , с распределением МАРЧЕНКО-Пастуром или закона Марченко-Пастуром , описывает асимптотическое поведение сингулярных значений больших прямоугольных случайных матриц . Теорема названа в честь украинских математиков Владимира Марченко и Леонида Пастура, которые доказали этот результат в 1967 году.
Если обозначает случайная матрица, элементы которой являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со средним 0 и дисперсией , позволять
и разреши быть собственные из(рассматриваются как случайные величины ). Наконец, рассмотрим случайную меру
Теорема . Предположить, что так что соотношение . потом(в слабой * топологии в распределении ), где
а также
с участием
Закон Марченко – Пастура также возникает как свободный закон Пуассона в свободной теории вероятностей, имеющий норму и размер прыжка .
Кумулятивная функция распределения
Используя те же обозначения, кумулятивная функция распределения имеет вид
где а также .
Некоторые трансформации этого закона
Преобразование Коши (отрицательное по отношению к преобразованию Стилтьеса ), когда, дан кем-то
Это дает -преобразование:
Приложение к корреляционным матрицам
Применительно к корреляционным матрицам а также что приводит к оценке
Поэтому часто предполагается, что собственные значения корреляционных матриц меньше, чем случайно, а значения выше, чем являются важными общими факторами. Например, получение корреляционной матрицы годового ряда (т. Е. 252 торговых дня) из 10 доходностей акций приведет к отображению. Из 10 собственных значений корреляционной матрицы только значения выше 1,43 будут считаться значимыми.
Смотрите также
Рекомендации
- Götze, F .; Тихомиров, А. (2004). «Скорость сходимости по вероятности к закону Марченко – Пастура» . Бернулли . 10 (3): 503–548. DOI : 10.3150 / Bj / 1089206408 .
- Марченко, В.А.; Пастур, Лос-Анджелес (1967). «Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц» [Распределение собственных значений для некоторых наборов случайных матриц]. Мат. Сб. НС. 72 (114: 4): 507–536. DOI : 10.1070 / SM1967v001n04ABEH001994 . Ссылка на pdf русскоязычной версии в свободном доступе
- Nica, A .; Спайчер, Р. (2006). Лекции по комбинаторике свободной теории вероятностей . Cambridge Univ. Нажмите. С. 204 , 368. ISBN 0-521-85852-6. Ссылка на бесплатную загрузку Еще один сайт в бесплатном доступе
- Zhang, W .; Abreu, G .; Inamori, M .; Санада, Ю. (2011). «Алгоритмы зондирования спектра с помощью конечных случайных матриц». Транзакции IEEE по коммуникациям . 60 (1): 164–175. DOI : 10.1109 / TCOMM.2011.112311.100721 .
- Эппс, Бренден; Кривицкий, Эрик М. (2019). «Разложение по сингулярным значениям зашумленных данных: искажение режима». Эксперименты с жидкостями . 60 (8): 1–30. DOI : 10.1007 / s00348-019-2761-у .