Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Математическая экономика - это применение математических методов для представления теорий и анализа проблем экономики . По соглашению, эти прикладные методы выходят за рамки простой геометрии, такой как дифференциальное и интегральное исчисление , разностные и дифференциальные уравнения , матричная алгебра , математическое программирование и другие вычислительные методы . [1] [2] Сторонники этого подхода утверждают, что он позволяет формулировать теоретические отношения со строгостью, общностью и простотой. [3]

Математика позволяет экономистам формировать осмысленные, проверяемые предложения по широкому кругу сложных предметов, которые труднее выразить неформально. Кроме того, язык математики позволяет экономистам делать конкретные положительные утверждения по спорным или спорным предметам, которые были бы невозможны без математики. [4] Большая часть экономической теории в настоящее время представлена ​​в терминах математических экономических моделей , набора стилизованных и упрощенных математических соотношений, призванных прояснить предположения и последствия. [5]

Широкие возможности включают:

  • проблемы оптимизации в отношении целевого равновесия, будь то домашнее хозяйство, коммерческая фирма или разработчик политики
  • статический (или равновесный ) анализ, в котором экономическая единица (например, домохозяйство) или экономическая система (например, рынок или экономика ) моделируются как не меняющиеся
  • сравнительная статика в отношении перехода от одного равновесия к другому, вызванного изменением одного или нескольких факторов
  • динамический анализ, отслеживающий изменения в экономической системе с течением времени, например, в результате экономического роста . [2] [6] [7]

Формальное экономическое моделирование началось в XIX веке с использования дифференциального исчисления для представления и объяснения экономического поведения, такого как максимизация полезности , раннее экономическое применение математической оптимизации . Экономика как дисциплина стала более математической в ​​течение первой половины 20 века, но введение новых и обобщенных методов в период Второй мировой войны , как и в теории игр , значительно расширило бы использование математических формулировок в экономике. [8] [7]

Такая быстрая систематизация экономической науки встревожила критиков этой дисциплины, а также некоторых известных экономистов. Джон Мейнард Кейнс , Роберт Хейльбронер , Фридрих Хайек и другие критиковали широкое использование математических моделей человеческого поведения, утверждая, что некоторые человеческие решения несводимы к математике.

История [ править ]

Использование математики в целях социального и экономического анализа восходит к 17 веку. Затем, в основном в немецких университетах, появился стиль обучения, который касался конкретно подробного представления данных, связанных с государственным управлением. Готфрид Ахенуолл читал лекции таким образом, придумав термин « статистика» . В то же время небольшая группа профессоров в Англии разработала метод «рассуждений на основе цифр о вещах, относящихся к правительству» и назвала эту практику политической арифметикой . [9] Сэр Уильям Петти подробно писал о вопросах, которые позже будут интересовать экономистов, таких как налогообложение, скорость обращения денег инационального дохода , но хотя его анализ был числовым, он отвергал абстрактную математическую методологию. Использование Петти подробных числовых данных (наряду с Джоном Граунтом ) на какое-то время повлияло бы на статистиков и экономистов, хотя работы Петти в значительной степени игнорировались английскими учеными. [10]

Математизация экономики всерьез началась в 19 веке. Экономический анализ того времени в основном составлял то, что позже было названо классической экономикой . Предметы обсуждались и обходились без них с помощью алгебраических средств, но исчисление не использовалось. Что еще более важно, до работы Иоганна Генриха фон Тюнена « Изолированное государство» в 1826 году экономисты не разрабатывали явных и абстрактных моделей поведения, чтобы применить инструменты математики. Модель использования сельскохозяйственных угодий Тюнена представляет собой первый пример маржинального анализа. [11] Работа Тюнена была в основном теоретической, но он также собирал эмпирические данные, чтобы попытаться поддержать свои обобщения. По сравнению со своими современниками Тюнен строил экономические модели и инструменты, а не применял предыдущие инструменты к новым проблемам. [12]

Между тем, новая когорта ученых, обученных математическим методам физических наук, обратилась к экономике, пропагандируя и применяя эти методы к своему предмету [13], и сегодня описывается как переходящая от геометрии к механике . [14] В их число входил В.С. Джевонс, который в 1862 г. представил статью по «общей математической теории политической экономии», в которой был дан план использования теории предельной полезности в политической экономии. [15] В 1871 году он опубликовал «Принципы политической экономии»., заявляя, что предмет как наука «должен быть математическим просто потому, что имеет дело с величинами». Джевонс ожидал, что только сбор статистических данных о ценах и количествах позволит изучаемому предмету стать точной наукой. [16] Другие предшествовали и следовали за расширением математических представлений экономических проблем .[17]

Маржиналисты и корни неоклассической экономики [ править ]

Равновесные количества как решение двух функций реакции в дуополии Курно. Каждая функция реакции выражается в виде линейного уравнения, зависящего от требуемого количества.

Огюстен Курно и Леон Вальрас аксиоматически построили инструменты дисциплины вокруг полезности, утверждая, что индивиды стремились максимизировать свою полезность через выбор таким образом, чтобы это можно было описать математически. [18] В то время считалось, что полезность можно измерить в единицах, известных как утилит . [19] Курно, Вальрас и Фрэнсис Исидро Эджворты считаются предшественниками современной математической экономики. [20]

Огюстен Курно [ править ]

Курно, профессор математики, в 1838 году разработал математический подход к дуополии - рыночному состоянию, определяемому конкуренцией между двумя продавцами. [20] Это лечение конкуренции, впервые опубликованное в исследованиях в математических принципы богатства , [21] называется Курно дуополии . Предполагается, что оба продавца имели равный доступ на рынок и могли производить свои товары бесплатно. Кроме того, предполагается, что оба товара однородны.. Каждый продавец будет варьировать свой выпуск в зависимости от выпуска другого, а рыночная цена будет определяться общим поставленным количеством. Прибыль для каждой фирмы будет определяться путем умножения их выпуска на рыночную цену за единицу продукции . Дифференциация функции прибыли по количеству, поставляемому для каждой фирмы, оставила систему линейных уравнений, совместное решение которых дало равновесные количество, цену и прибыль. [22] Вклад Курно в математизацию экономики десятилетиями игнорировался, но в конечном итоге оказал влияние на многих маржиналистов . [22] [23] Модели дуополии и олигополии Курно также представляют собой одну из первых формулировокнекооперативные игры . Сегодня решение может быть дано как равновесие по Нэшу, но работа Курно опередила современную теорию игр более чем на 100 лет. [24]

Леон Вальрас [ править ]

В то время как Курно предложил решение для того, что позже будет называться частичным равновесием, Леон Вальрас попытался формализовать обсуждение экономики в целом с помощью теории общего конкурентного равновесия . Поведение каждого субъекта экономики будет рассматриваться как со стороны производства, так и со стороны потребления. Первоначально Вальрас представил четыре отдельные модели обмена, каждая из которых рекурсивно включалась в следующую. Решение полученной системы уравнений (как линейных, так и нелинейных) является общим равновесием. [25] В то время нельзя было выразить общее решение для системы сколь угодно большого числа уравнений, но попытки Вальраса привели к двум известным результатам в экономике. Первый - это закон Вальраса, а второй - принципtâtonnement . В то время метод Вальраса считался в высшей степени математическим, и Эджворт подробно прокомментировал этот факт в своем обзоре Éléments d'économie politique pure (Элементы чистой экономики). [26]

Закон Вальраса был введен как теоретический ответ на проблему определения решений в общем равновесии. Его нотация отличается от современной нотации, но может быть построена с использованием более современной нотации суммирования. Вальрас предполагал, что в равновесии все деньги будут потрачены на все товары: каждый товар будет продан по рыночной цене на этот товар, и каждый покупатель потратит свой последний доллар на корзину товаров. Исходя из этого предположения, Вальрас мог затем показать, что если бы было n рынков и n-1 очищенных (достигающих состояния равновесия), то n-й рынок также очистился бы. Это проще всего визуализировать с помощью двух рынков (которые в большинстве текстов рассматриваются как рынок товаров и рынок денег). Если один из двух рынков достиг состояния равновесия, никаких дополнительных товаров (или, наоборот,деньги) может входить или выходить на втором рынке, поэтому он также должен находиться в состоянии равновесия. Вальрас использовал это утверждение, чтобы перейти к доказательству существования решений для общего равновесия, но сегодня оно обычно используется для иллюстрации клиринга на денежных рынках на уровне бакалавриата.[27]

Tâtonnement (грубо говоря, по-французски « нащупывание» ) должен был служить практическим выражением вальрасианского общего равновесия. Вальрас абстрагировался от рынка как аукциона товаров, на котором аукционист называл цены, а участники рынка ожидали, пока каждый из них не сможет удовлетворить свои личные резервные цены на желаемое количество (помня здесь, что это аукцион по всем товарам, поэтому у каждого есть своя цена). резервная цена для желаемой корзины товаров). [28]

Сделки могут происходить только тогда, когда все покупатели будут удовлетворены данной рыночной ценой. По этой цене рынок «очистится» - не будет ни избытка, ни дефицита. Слово tâtonnement используется для описания направлений, в которых рынок пытается нащупать равновесие, устанавливая высокие или низкие цены на различные товары, пока цена не будет согласована для всех товаров. Хотя процесс кажется динамичным, Вальрас представил только статическую модель, поскольку никакие транзакции не будут происходить, пока все рынки не будут в равновесии. На практике очень немногие рынки работают таким образом. [29]

Фрэнсис Исидро Эджворт [ править ]

Edgeworth ввел математические элементы экономики в явном виде в математических экстрасенсов: Эссе по применению математики к моральному наук , опубликованные в 1881. [30] Он принял Джереми Бентам «s felicific исчисление к экономическому поведению, благодаря чему результат каждого решения будет превращается в изменение полезности. [31] Используя это предположение, Эджворт построил модель обмена на трех предположениях: индивиды эгоистичны, индивиды действуют так, чтобы максимизировать полезность, и индивиды «свободны восстанавливать отношения с другим независимо от ... любой третьей стороны». [32]

Edgeworth поле отображения кривой контракта на экономику с двумя участниками. На современном языке, называемое «ядром» экономики, существует бесконечное множество решений на кривой для экономик с двумя участниками [33]

Для двух индивидов набор решений, при которых оба индивида могут максимизировать полезность, описывается кривой контракта на так называемой « коробке Эджворта» . Технически построение решения проблемы Эджворта для двух лиц не было разработано графически до 1924 года Артуром Лайоном Боули . [34] Контрактная кривая ящика Эджворта (или, в более общем смысле, для любого набора решений проблемы Эджворта для большего числа участников) упоминается как ядро экономики. [35]

Эджворт приложил немало усилий, чтобы настоять на том, чтобы математические доказательства подходили для всех экономических школ. Находясь у руля The Economic Journal , он опубликовал несколько статей, критикующих математическую строгость конкурирующих исследователей, в том числе Эдвина Роберта Андерсона Селигмана , известного скептика математической экономики. [36] Статьи были посвящены разным налоговым случаям.и отзывы производителей. Эджворт заметил, что монополия, производящая товар, который имеет совместное предложение, но не совместный спрос (например, первый класс и эконом-класс в самолете, если самолет летит, оба комплекта сидений летают вместе с ним) может фактически снизить цену, которую увидит покупатель одного из двух товаров, если был применен налог. Здравый смысл и более традиционный численный анализ, казалось, указывали на абсурд. Селигман настаивал, что результаты, достигнутые Эджвортом, были причудой его математической формулировки. Он предположил, что предположение о непрерывной функции спроса и бесконечно малом изменении налога привело к парадоксальным прогнозам. Гарольд Хотеллингпозже показал, что Эджворт был прав и что тот же результат («снижение цены в результате налогообложения») мог произойти с прерывистой функцией спроса и значительными изменениями налоговой ставки. [37]

Современная математическая экономика [ править ]

С конца 1930-х годов для развития экономической теории был развернут целый ряд новых математических инструментов из дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений, выпуклых множеств и теории графов, аналогично новым математическим методам, ранее применявшимся в физике. [8] [38] Позже этот процесс описывали как переход от механики к аксиоматике . [39]

Дифференциальное исчисление [ править ]

Вильфредо Парето проанализировал микроэкономику , рассматривая решения экономических субъектов как попытки изменить определенное распределение товаров на другое, более предпочтительное распределение. Тогда наборы распределений можно рассматривать как эффективные по Парето (оптимальное по Парето - эквивалентный термин), когда между участниками не может происходить обменов, которые могли бы улучшить положение хотя бы одного человека без ухудшения положения любого другого человека. [40] Доказательство Парето обычно ассоциируется с вальрассовским равновесием или неофициально приписывается гипотезе Адама Смита о невидимой руке . [41] Скорее, заявление Парето было первым формальным утверждением того, что будет известно какпервая фундаментальная теорема экономики благосостояния . [42] В этих моделях отсутствовали неравенства следующего поколения математической экономики.

В историческом трактате « Основы экономического анализа» (1947) Пол Самуэльсон определил общую парадигму и математическую структуру во многих областях предмета, опираясь на предыдущую работу Альфреда Маршалла . Фонды взяли математические концепции из физики и применили их к экономическим проблемам. Этот широкий взгляд (например, сравнение принципа Ле Шателье с татонированием) определяет фундаментальную предпосылку математической экономики: системы экономических субъектов можно моделировать, а их поведение описывать так же, как и любую другую систему. Это расширение последовало за работой маржиналистов прошлого века и значительно расширило ее. Самуэльсон подошел к проблемам применения максимизации индивидуальной полезности по совокупным группам с помощью сравнительной статики , которая сравнивает два различных состояния равновесия после экзогенного изменения переменной. Этот и другие методы, описанные в книге, легли в основу математической экономики ХХ века. [7] [43]

Линейные модели [ править ]

Ограниченные модели общего равновесия были сформулированы Джоном фон Нейманом в 1937 году. [44] В отличие от более ранних версий, модели фон Неймана имели ограничения в виде неравенства. Для своей модели расширяющейся экономики фон Нейман доказал существование и единственность равновесия, используя свое обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке . Модель фон Неймана расширяющейся экономики рассматривала пучок матриц  A - λ B с неотрицательными матрицами  A и B ; фон Нейман искал векторы вероятностей p и  q и положительное число  λ , которое решало бы  уравнение дополнительности

p T  ( A - λ  B ) q = 0 ,

наряду с двумя системами неравенства, выражающими экономическую эффективность. В этой модели ( транспонированный ) вектор вероятности p представляет цены на товары, а вектор вероятности q представляет «интенсивность», с которой будет идти производственный процесс. Уникальное решение λ представляет собой темп роста экономики, равный процентной ставке . Доказательство существования положительного темпа роста и доказательство того, что темп роста равен процентной ставке, были замечательными достижениями даже для фон Неймана. [45] [46] [47] Результаты фон Неймана рассматривались как частный случай линейного программирования., где в модели фон Неймана используются только неотрицательные матрицы. [48] Изучение модели расширяющейся экономики фон Неймана продолжает интересовать экономистов-математиков, интересующихся вычислительной экономикой. [49] [50] [51]

Экономика затрат-выпуска [ править ]

В 1936 году экономист российского происхождения Василий Леонтьев построил свою модель анализа затрат-выпуска на основе таблиц «материального баланса», составленных советскими экономистами, которые сами следовали более ранним работам физиократов . В своей модели, описывающей систему производства и процессов спроса, Леонтьев описал, как изменения спроса в одном секторе экономики будут влиять на производство в другом. [52] На практике Леонтьев оценил коэффициенты своих простых моделей, чтобы ответить на экономически интересные вопросы. В экономике производства«Леонтьевские технологии» производят продукцию с использованием постоянных пропорций затрат, независимо от цены на них, что снижает ценность моделей Леонтьева для понимания экономики, но позволяет относительно легко оценивать их параметры. В отличие от модели фон Неймана расширяющейся экономики позволяет выбирать методы , но коэффициенты должны быть оценены для каждой технологии. [53] [54]

Математическая оптимизация [ править ]

Красная точка в направлении z как максимум для параболоидной функции входов (x, y)

В математике математическая оптимизация (или оптимизация, или математическое программирование) относится к выбору лучшего элемента из некоторого набора доступных альтернатив. [55] В простейшем случае, задача оптимизации включает в себя максимизации или минимизации в реальную функции путем выбора входных значений функции и вычисления соответствующих значений функции. Процесс решения включает выполнение общих необходимых и достаточных условий оптимальности . Для задач оптимизации используются специальные обозначенияможет использоваться как для функции, так и для ее входных данных. В более общем смысле оптимизация включает в себя поиск наилучшего доступного элемента некоторой функции в заданной области и может использовать множество различных методов вычислительной оптимизации . [56]

Экономика тесно связана с достаточно оптимизацией с помощью агентов в экономике , что влиятельная определение Relatedly описывает Экономику ква науки как «изучение человеческого поведения как отношения между целями и ограниченными средствами» с альтернативным использованием. [57] Проблемы оптимизации проходят через современную экономику, многие из которых имеют явные экономические или технические ограничения. В микроэкономике проблема максимизации полезности и двойная проблема - проблема минимизации расходов для заданного уровня полезности - являются проблемами экономической оптимизации. [58] Теория утверждает, что потребители максимизируют свою полезность с учетом бюджетных ограничений и того, что фирмы максимизируют свою прибыль с учетом их производственных функций , затрат на вводимые ресурсы и рыночного спроса . [59]

Экономическое равновесие изучается в теории оптимизации как ключевой компонент экономических теорем, которые в принципе можно проверить на эмпирических данных. [7] [60] Новые разработки произошли в динамическом программировании и оптимизации моделирования с учетом риска и неопределенности , включая приложения к теории портфелей , экономике информации и теории поиска . [59]

Оптимальности свойство для всей рыночной системы может быть сформулировано в математических терминах, как и в формулировке два основных теорем экономики благосостояния [61] и в модели Эрроу-Дебре от общего равновесия (также обсуждаются ниже ). [62] Если говорить более конкретно, то многие проблемы поддаются аналитическому (шаблонному) решению. Многие другие могут быть достаточно сложными, чтобы требовать численных методов решения с помощью программного обеспечения. [56] Третьи сложны, но достаточно просты, чтобы позволить вычислимые методы решения, в частности вычислимое общее равновесие.модели для всей экономики. [63]

Линейное и нелинейное программирование глубоко повлияло на микроэкономику, которая ранее рассматривала только ограничения равенства. [64] Многие из экономистов-математиков, получивших Нобелевские премии по экономике, провели заметные исследования с использованием линейного программирования: Леонид Канторович , Леонид Гурвич , Тьяллинг Купманс , Кеннет Дж. Эрроу , Роберт Дорфман , Пол Самуэльсон и Роберт Солоу . [65] И Канторович, и Купманс признали, что Джордж Б. Данцигзаслужили разделить свою Нобелевскую премию по линейному программированию. Экономисты, проводившие исследования в области нелинейного программирования, также получили Нобелевскую премию, в частности Рагнар Фриш в дополнение к Канторовичу, Гурвицу, Купмансу, Эрроу и Самуэльсону.

Линейная оптимизация [ править ]

Линейное программирование было разработано для помощи в распределении ресурсов в фирмах и отраслях в 1930-х годах в России и в 1940-х годах в США. Во время переброски по воздуху в Берлин (1948 г.) линейное программирование использовалось для планирования доставки грузов, чтобы предотвратить голод в Берлине после советской блокады. [66] [67]

Нелинейное программирование [ править ]

Расширение нелинейной оптимизации с ограничениями в виде неравенств было достигнуто в 1951 году Альбертом У. Такером и Гарольдом Куном , которые рассмотрели проблему нелинейной оптимизации :

Minimize ( ) при условии i ( ) ≤ 0 и j ( ) = 0, где
( . ) - минимизируемая функция
i ( . ) (= 1, ...,) - функции ограничений неравенства
j ( . ) ( = 1, ..., ) - функции ограничений типа равенства.

Допуская ограничения неравенства, подход Куна – Такера обобщил классический метод множителей Лагранжа , который (до этого) допускал только ограничения типа равенства. [68] Подход Куна – Таккера вдохновил на дальнейшие исследования лагранжевой двойственности, включая рассмотрение ограничений в виде неравенства. [69] [70] Теория двойственности нелинейного программирования особенно удовлетворительная при применении к выпуклым минимизации проблемам, которые пользуются выпуклой-аналитической теорией двойственности в Фенхеле и Рокфеллер ; эта выпуклая двойственность особенно сильна для многогранных выпуклых функций, например, возникающие в линейном программировании . Лагранжева двойственность и выпуклый анализ используются ежедневно при исследовании операций , при планировании работы электростанций, планировании производственных графиков для заводов и маршрутизации авиакомпаний (маршруты, полеты, самолеты, экипажи). [70]

Вариационное исчисление и оптимальное управление [ править ]

Экономическая динамика допускает изменения экономических переменных с течением времени, в том числе в динамических системах . Проблема поиска оптимальных функций для таких изменений изучается в вариационном исчислении и в теории оптимального управления . Перед Второй мировой войной Фрэнк Рэмси и Гарольд Хотеллинг использовали для этой цели вариационное исчисление.

После работы Ричарда Беллмана по динамическому программированию и английского перевода в 1962 году более ранней работы Л. Понтрягина и др . [71] теория оптимального управления стала более широко использоваться в экономике при решении динамических проблем, особенно в отношении равновесия экономического роста и устойчивость экономических систем [72] , учебным примером которых является оптимальное потребление и сбережение . [73] Существенное различие между детерминированными и стохастическими моделями управления. [74] К другим приложениям теории оптимального управления относятся, например, финансы, материально-производственные запасы и производство. [75]

Функциональный анализ [ править ]

Именно в процессе доказательства существования оптимального равновесия в его 1937 модели экономического роста , что Джон фон Нейман ввел функциональные аналитические методы включают топологию в экономической теории, в частности, теории неподвижных точек через его обобщение фиксированного Брауэра точечная теорема . [8] [44] [76] Следуя программе фон Неймана, Кеннет Эрроу и Жерар Дебре сформулировали абстрактные модели экономического равновесия, используя выпуклые множества и теорию неподвижной точки. Представляя модель Эрроу – Дебрев 1954 г. они доказали существование (но не единственность) равновесия, а также доказали, что каждое равновесие Вальраса эффективно по Парето ; в общем, равновесия не обязательно должны быть уникальными. [77] В своих моделях ( «первобытный») векторное пространство , представленное в количестве , в то время как «двойной» векторное пространство представлено цены . [78]

В России математик Леонид Канторович разработал экономические модели в частично упорядоченных векторных пространствах , которые подчеркнули двойственность между количеством и ценами. [79] Канторович переименовал цены в «объективно определенные оценки», которые были сокращены на русском языке как «o. O. O.», Ссылаясь на сложность обсуждения цен в Советском Союзе. [78] [80] [81]

Даже в конечных измерениях концепции функционального анализа пролили свет на экономическую теорию, особенно в разъяснении роли цен как нормальных векторов для гиперплоскости, поддерживающей выпуклое множество, представляющее возможности производства или потребления. Однако проблемы описания оптимизации во времени или в условиях неопределенности требуют использования бесконечномерных функциональных пространств, поскольку агенты выбирают между функциями или случайными процессами . [78] [82] [83] [84]

Дифференциальный спад и подъем [ править ]

Работа Джона фон Неймана по функциональному анализу и топологии открыла новые горизонты в математике и экономической теории. [44] [85] Это также оставило продвинутую математическую экономику с меньшим количеством приложений дифференциального исчисления. В частности, теоретики общего равновесия использовали общую топологию , выпуклую геометрию и теорию оптимизации больше, чем дифференциальное исчисление, потому что подход дифференциального исчисления не смог установить существование равновесия.

Однако упадок дифференциального исчисления не следует преувеличивать, потому что дифференциальное исчисление всегда использовалось в аспирантуре и в приложениях. Более того, дифференциальное исчисление вернулось на высшие уровни математической экономики, теории общего равновесия (GET), как это практикуется « GET-множеством » (юмористическое обозначение, придуманное Жаком Дрезом ). Однако в 1960-х и 1970-х годах Жерар Дебре и Стивен Смейл возродили использование дифференциального исчисления в математической экономике. В частности, они смогли доказать существование общего равновесия, в котором предыдущие авторы потерпели неудачу, благодаря своей новой математике: категория Бэра изобщая топология и лемма Сарда из дифференциальной топологии . Другие экономисты, связанные с использованием дифференциального анализа, включают Эгберта Диркера, Андреу Мас-Колелла и Ива Баласко . [86] [87] Эти достижения изменили традиционное повествование об истории математической экономики, вслед за фон Нейманом, который праздновал отказ от дифференциального исчисления.

Теория игр [ править ]

Джон фон Нейман, работая с Оскаром Моргенштерном над теорией игр , открыл новые математические основы в 1944 году, распространив функциональные аналитические методы, связанные с выпуклыми множествами и топологической теорией неподвижной точки, на экономический анализ. [8] [85] Таким образом, их работа позволила избежать традиционного дифференциального исчисления , для которого оператор максимума не применялся к недифференцируемым функциям. Продолжая работу фон Неймана в области кооперативной теории игр, теоретики игр Ллойд С. Шепли , Мартин Шубик , Эрве Мулен ,Нимрод Мегиддо , Бецалель Пелег оказали влияние на экономические исследования в политике и экономике. Например, исследования по ценам справедливых в кооперативных играх и ценностях справедливых для голосования игр привели к изменившимся правилам голосования в законодательных органах и для учета расходов в общественных работах. Например, теория кооперативных игр использовалась при проектировании системы распределения воды в Южной Швеции и для установления тарифов на выделенные телефонные линии в США.

Ранее неоклассическая теория была ограничена только диапазон исходов переговоров и в особых случаях, например , двусторонней монополии или по контракту кривой в поле Эджворта . [88] Результаты фон Неймана и Моргенштерна были столь же слабыми. Однако следуя программе фон Неймана, Джон Нэш использовал теорию неподвижной точки для доказательства условий, при которых проблема торга и некооперативные игры могут генерировать единственное равновесное решение. [89] Некооперативная теория игр была принята в качестве фундаментального аспекта экспериментальной экономики., [90] поведенческая экономика , [91] информационная экономика , [92] промышленная организация , [93] и политическая экономия . [94] Это также привело к возникновению предмета проектирования механизмов (иногда называемого теорией обратной игры), у которого есть частные и государственные приложения в отношении способов повышения экономической эффективности за счет стимулов для обмена информацией. [95]

В 1994 году Нэш, Джон Харсаньи и Рейнхард Селтен получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за их работу над некооперативными играми. Харшани и Селтен были награждены за работу над повторными играми . Позднее работа распространилась на вычислительные методы моделирования. [96]

Вычислительная экономика на основе агентов [ править ]

Вычислительная экономика на основе агентов (ACE) как названная область появилась сравнительно недавно, начиная с 1990-х годов, что касается опубликованных работ. Он изучает экономические процессы, включая экономику в целом , как динамические системы взаимодействующих агентов во времени. Как таковой, он падает в парадигме из сложных адаптивных систем . [97] В соответствующих моделях , основанных на агентах, агенты - это не реальные люди, а «вычислительные объекты, моделируемые как взаимодействующие в соответствии с правилами» ... », чьи микроуровневые взаимодействия создают новые шаблоны» в пространстве и времени. [98]Правила сформулированы для прогнозирования поведения и социальных взаимодействий на основе стимулов и информации. Теоретическое предположение о математической оптимизации рынков агентов заменяется менее ограничительным постулатом агентов с ограниченной рациональностью, адаптирующихся к рыночным силам. [99]

Модели ACE применяют численные методы анализа к компьютерному моделированию сложных динамических задач, для которых более традиционные методы, такие как формулировка теорем, могут не найти готового применения. [100] Начиная с заданных начальных условий, вычислительная экономическая система моделируется как развивающаяся с течением времени, поскольку составляющие ее агенты постоянно взаимодействуют друг с другом. В этом отношении ACE был охарактеризован как восходящий подход к изучению экономики. [101]В отличие от других стандартных методов моделирования, события ACE управляются исключительно начальными условиями, независимо от того, существуют ли равновесия или их можно вычислить. Однако моделирование ACE включает адаптацию, автономию и обучение агентов. [102] Она похожа на теорию игр и частично совпадает с ней как агентный метод моделирования социальных взаимодействий. [96] Другие аспекты подхода включают в себя такие стандартные экономические вопросы , как конкуренция и сотрудничество , [103] Структура рынка и промышленная организация , [104] транзакционные издержки , [105] экономика благосостояния [106]и дизайн механизмов , [95] информация и неопределенность , [107] и макроэкономика . [108] [109]

Считается, что этот метод извлекает выгоду из постоянного совершенствования методов моделирования в информатике и расширения возможностей компьютеров. Вопросы включают общие для экспериментальной экономики в целом [110] и для сравнения [111], а также для разработки общей основы для эмпирической проверки и решения открытых вопросов в агентном моделировании. [112] Конечная научная цель метода была описана как «проверка теоретических выводов против реальных данных таким образом, чтобы позволить эмпирически подтвержденным теориям накапливаться с течением времени, при этом работа каждого исследователя строится соответствующим образом на проделанной работе». перед". [113]

Математизация экономики [ править ]

Поверхность улыбки волатильности представляет собой трехмерную поверхность, на которой текущая рыночная подразумеваемая волатильность (ось Z) для всех опционов на нижнем уровне отображается в зависимости от цены исполнения и времени до погашения (оси X и Y). [114]

В течение 20 века статьи в «основных журналах» [115] по экономике почти исключительно писались экономистами из академических кругов . В результате большая часть материалов, передаваемых в этих журналах, относится к экономической теории, а «сама экономическая теория постоянно становилась все более абстрактной и математической». [116] Субъективная оценка математических методов [117], используемых в этих основных журналах, показала уменьшение количества статей, в которых не используются ни геометрические представления, ни математические обозначения, с 95% в 1892 г. до 5,3% в 1990 г. [118] Обзор десяти ведущих экономических журналов 2007 года показал, что только 5,8% статей, опубликованных в 2003 и 2004 годах, не содержали статистического анализа данных и не отображали математические выражения, которые были проиндексированы числами на полях страницы. [119]

Эконометрика [ править ]

В период между мировыми войнами достижения в области математической статистики и кадры математически подготовленных экономистов привели к эконометрике - так называли дисциплину развития экономики с помощью математики и статистики. В экономике «эконометрика» часто используется для статистических методов в экономике, а не математической экономики. Статистическая эконометрика включает применение линейной регрессии и анализа временных рядов к экономическим данным.

Рагнар Фриш придумал слово «эконометрика» и помог основать Эконометрическое общество в 1930 году и журнал Econometrica в 1933 году. [120] [121] Студент Фриша, Трюгве Хаавельмо опубликовал «Вероятностный подход в эконометрике» в 1944 году, где он утверждал такой точный статистический анализ можно использовать в качестве инструмента для проверки математических теорий об экономических субъектах с данными из сложных источников. [122] Эта связь статистического анализа систем с экономической теорией была также провозглашена Комиссией Коулза (ныне Фонд Коулза ) на протяжении 1930-х и 1940-х годов. [123]

Корни современной эконометрики можно проследить до американского экономиста Генри Л. Мура . Мур изучал продуктивность сельского хозяйства и попытался подогнать изменяющиеся значения продуктивности для участков кукурузы и других культур к кривой, используя различные значения эластичности. Мур допустил несколько ошибок в своей работе: некоторые из-за его выбора моделей, а некоторые из-за ограничений в использовании математики. Точность моделей Мура также была ограничена плохими данными по национальным счетам в Соединенных Штатах в то время. Хотя его первые модели производства были статичными, в 1925 году он опубликовал динамическую модель «подвижного равновесия», предназначенную для объяснения бизнес-циклов - это периодическое изменение кривых спроса и предложения от чрезмерной коррекции теперь известно как модель паутины.. Более формальный вывод этой модели был позже сделан Николасом Калдором , которому в значительной степени приписывают ее описание. [124]

Заявление [ править ]

Модель IS / LM - это кейнсианская макроэкономическая модель, предназначенная для прогнозирования пересечения «реальной» экономической деятельности (например, расходов, доходов , нормы сбережений) и решений, принимаемых на финансовых рынках ( предпочтение денежной массы и ликвидности ). Эта модель больше не широко преподается на уровне выпускников, но широко используется на курсах макроэкономики для студентов. [125]

Большая часть классической экономики может быть представлена ​​в простых геометрических терминах или элементарных математических обозначениях. Математическая экономика, однако, традиционно использует исчисление и матричную алгебру в экономическом анализе, чтобы делать убедительные утверждения, которые были бы более трудными без таких математических инструментов. Эти инструменты являются предпосылками для формального изучения не только математической экономики, но и современной экономической теории в целом. Экономические проблемы часто связаны с таким количеством переменных, что математика - единственный практический способ их решения. Альфред Маршалл утверждал, что каждую экономическую проблему, которую можно количественно оценить, аналитически выразить и решить, следует рассматривать с помощью математической работы.[126]

Экономика становится все более зависимой от математических методов, а математические инструменты, которые она использует, стали более сложными. В результате математика стала значительно более важной для профессионалов в области экономики и финансов. Для поступления в аспирантуру как по экономике, так и по финансам требуется сильная подготовка студентов по математике, и по этой причине они привлекают все большее количество математиков . Прикладные математики применяют математические принципы к практическим задачам, таким как экономический анализ и другие вопросы, связанные с экономикой, и многие экономические проблемы часто определяются как интегрированные в область прикладной математики. [18]

Эта интеграция является результатом формулирования экономических проблем в виде стилизованных моделей с четкими предположениями и фальсифицируемыми прогнозами. Это моделирование может быть неформальным или прозаично, как это было в Адама Смита «s Богатство народов , или это может быть формальным, строгим и математическим.

Вообще говоря, формальные экономические модели можно разделить на стохастические или детерминированные, а также на дискретные или непрерывные. На практическом уровне количественное моделирование применяется ко многим областям экономики, и несколько методологий развивались более или менее независимо друг от друга. [127]

  • Стохастические модели формулируются с использованием случайных процессов . Они моделируют экономически наблюдаемые значения с течением времени. Большая часть эконометрики основана на статистике для формулирования и проверки гипотез об этих процессах или оценки их параметров. Между мировыми войнами Герман Вольд разработал представление стационарных случайных процессов в терминах авторегрессионных моделей и детерминистской тенденции. Уолд и Ян Тинберген применили анализ временных рядов к экономическим данным. Современные исследования статистики временных рядов рассматривают дополнительные формулировки стационарных процессов, такие как модели авторегрессионного скользящего среднего . Более общие модели включают модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) и обобщенные модели ARCH ( GARCH ).
  • Нестохастические математические модели могут быть чисто качественными (например, модели, участвующие в каком-либо аспекте теории социального выбора ) или количественными (включая рационализацию финансовых переменных, например, с помощью гиперболических координат и / или определенных форм функциональных отношений между переменными). В некоторых случаях экономические прогнозы модели просто утверждают направление движения экономических переменных, и поэтому функциональные отношения используются только в качественном смысле: например, если цена товара увеличивается, то спрос на этот товар будет уменьшаться. . Для таких моделей экономисты часто используют двумерные графики вместо функций.
  • Иногда используются качественные модели . Одним из примеров является качественное сценарное планирование, в котором разыгрываются возможные будущие события. Другой пример - нечисловой анализ дерева решений. Качественные модели часто страдают от недостатка точности.

Пример: влияние снижения корпоративного налога на заработную плату [ править ]

Большая привлекательность математической экономики состоит в том, что она привносит определенную строгость в экономическое мышление, особенно в отношении острых политических тем. Например, во время обсуждения эффективности снижения корпоративного налога для повышения заработной платы рабочих простая математическая модель оказалась полезной для понимания рассматриваемых вопросов.

В качестве интеллектуального упражнения профессор Грег Мэнкью из Гарвардского университета поставил следующую задачу : [128]

У открытой экономики есть производственная функция , где объем производства на одного работника и капитал на одного работника. Запас капитала регулируется таким образом, чтобы предельный продукт капитала после уплаты налогов был равен экзогенно заданной мировой процентной ставке ... Насколько снижение налогов приведет к увеличению заработной платы?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы следуем за Джоном Х. Кокрейном из Гуверовского института . [129] Предположим, что у открытой экономики есть производственная функция :

Где переменные в этом уравнении:
  • это общий выпуск
  • это производственная функция
  • это общий основной капитал
  • общий трудовой запас

Стандартный выбор для производственной функции - производственная функция Кобба-Дугласа :

где - коэффициент производительности, принимаемый за константу. Снижение корпоративного налога в этой модели эквивалентно налогу на капитал. С помощью налогов фирмы стремятся максимизировать:
где - ставка налога на капитал, - заработная плата на одного работника и - экзогенная процентная ставка. Тогда условия оптимальности первого порядка принимают вид :
Следовательно, из условий оптимальности следует, что:
Определите общие налоги . Это означает, что налоги на одного работника составляют:
Тогда изменение налогов в расчете на одного работника с учетом налоговой ставки составит:
Чтобы найти изменение заработной платы, мы дифференцируем второе условие оптимальности для заработной платы на одного работника, чтобы получить:
Предполагая, что процентная ставка зафиксирована на уровне , мы можем дифференцировать первое условие оптимальности процентной ставки, чтобы найти:
На данный момент давайте сосредоточимся только на статическом эффекте снижения налога на капитал, так что . Если мы подставим это уравнение в уравнение для изменения заработной платы относительно налоговой ставки, то мы обнаружим, что:
Таким образом, статический эффект снижения налога на капитал для заработной платы:
Основываясь на модели, кажется возможным, что мы можем добиться повышения заработной платы рабочего больше, чем сумма снижения налогов. Но это учитывает только статический эффект, и мы знаем, что динамический эффект необходимо учитывать. В динамической модели мы можем переписать уравнение для изменения налогов на одного работника в зависимости от налоговой ставки следующим образом:
Вспоминая это , мы имеем следующее:
Используя производственную функцию Кобба-Дугласа, мы имеем следующее:
Таким образом, динамическое воздействие снижения налога на капитал на заработную плату:
Если взять , то динамический эффект снижения налогов на капитал на заработную плату будет даже больше, чем статический эффект. Более того, при наличии положительных внешних факторов для накопления капитала влияние снижения налога на заработную плату будет больше, чем в модели, которую мы только что построили. Важно отметить, что результатом является комбинация:
  1. Стандартный результат, что в небольшой открытой экономике рабочая сила несет 100% небольшого подоходного налога с капитала.
  2. Тот факт, что, начиная с положительной ставки налога, бремя увеличения налога превышает сбор доходов из-за чистой потери первого порядка.

Этот результат, показывающий, что при определенных допущениях, снижение корпоративного налога может повысить заработную плату рабочих больше, чем упущенная выгода, не означает, что величина верна. Скорее, он предлагает основу для анализа политики, которая не основана на махании рукой. Если предположения разумны, то модель является приемлемым приближением к реальности; в противном случае следует разработать более совершенные модели.

Производственная функция CES [ править ]

Теперь предположим, что вместо производственной функции Кобба-Дугласа у нас есть более общая производственная функция постоянной эластичности замещения (CES) :

где ; это эластичность замещения между капиталом и трудом. Соответствующее количество, которое мы хотим вычислить, это , которое может быть получено как:
Следовательно, мы можем использовать это, чтобы обнаружить, что:
Следовательно, согласно общей модели CES, динамическое влияние снижения налога на капитал на заработную плату составляет:
Мы восстанавливаем решение Кобба-Дугласа, когда . Когда , а это имеет место, когда существуют совершенные заменители, мы обнаруживаем, что - нет никакого влияния изменений в налогах на капитал на заработную плату. И когда , что имеет место, когда существуют идеальные дополнения, мы обнаруживаем, что снижение налогов на капитал увеличивает заработную плату ровно на один доллар.

Критика и защита [ править ]

Адекватность математики для качественной и сложной экономики [ править ]

Фридрих Хайек утверждал, что использование формальных методов демонстрирует научную точность, которая должным образом не учитывает информационные ограничения, с которыми сталкиваются реальные экономические агенты. [130]

В интервью 1999 года историк экономики Роберт Хейлбронер заявил: [131]

Я предполагаю, что научный подход начал проникать и вскоре доминировать в профессии за последние двадцать-тридцать лет. Отчасти это произошло из-за «изобретения» различных видов математического анализа и, действительно, значительных его усовершенствований. Это эпоха, когда у нас есть не только больше данных, но и более изощренное их использование. Таким образом, существует сильное ощущение, что это наука, нагруженная данными, и предприятие, нагруженное данными, которое в силу чистых чисел, простых уравнений и внешнего вида страницы журнала имеет определенное сходство с наукой. . . Это центральное занятие выглядит научным. Я это понимаю. Я думаю, что это правда. Это приближается к универсальному закону. Но походить на науку - это не значит быть наукой.

Хейльбронер заявил, что «часть / большая часть экономической науки не является по своей природе количественной и поэтому не поддается математическому изложению». [132]

Проверка прогнозов математической экономики [ править ]

Философ Карл Поппер обсудил научное положение экономики в 1940-х и 1950-х годах. Он утверждал, что математическая экономика страдает тавтологией. Другими словами, поскольку экономика стала математической теорией, математическая экономика перестала полагаться на эмпирическое опровержение, а скорее полагалась на математические доказательства и опровержения. [133] Согласно Попперу, фальсифицируемые предположения могут быть проверены путем экспериментов и наблюдений, в то время как фальсифицируемые допущения могут быть исследованы математически на предмет их последствий и их согласованности с другими предположениями. [134]

Разделяя озабоченность Поппера относительно предположений в экономике в целом, а не только в математической экономике, Милтон Фридман заявил, что «все предположения нереалистичны». Фридман предложил судить об экономических моделях по их прогнозным характеристикам, а не по соответствию их предположений и реальности. [135]

Математическая экономика как форма чистой математики [ править ]

Что касается математической экономики, Дж. М. Кейнс писал в The General Theory : [136]

Большая ошибка символических псевдоматематических методов формализации системы экономического анализа ... в том, что они явно предполагают строгую независимость между задействованными факторами и теряют свою убедительность и авторитет, если эта гипотеза отвергается; тогда как в обычном дискурсе, где мы не слепо манипулируем и все время знаем, что мы делаем и что означают эти слова, мы можем держать «в затылке» необходимые резервы, квалификации и корректировки, которые мы будем иметь сделать позже, таким образом, чтобы мы не могли держать сложные частные дифференциалы «позади» нескольких страниц алгебры, предполагающих, что все они исчезают. Слишком большая часть недавних «математических» экономических теорий - это просто выдумки, столь же неточные, как и исходные предположения, на которых они основаны,которые позволяют автору упустить из виду сложности и взаимозависимости реального мира в лабиринте претенциозных и бесполезных символов.

Защита математической экономики [ править ]

В ответ на эту критику Пол Самуэльсон утверждал, что математика - это язык, повторяя тезис Джозайи Уилларда Гиббса . В экономике язык математики иногда необходим для представления существенных проблем. Более того, математическая экономика привела к концептуальному прогрессу в экономике. [137] В частности, Самуэльсон привел пример микроэкономики , написав, что «немногие люди достаточно изобретательны, чтобы понять [ее] более сложные части ... не прибегая к языку математики, в то время как большинство обычных людей могут сделать это довольно легко с помощью помощь математики ". [138]

Некоторые экономисты заявляют, что математическая экономика заслуживает поддержки, как и другие формы математики, особенно ее соседи в области математической оптимизации и математической статистики и все в большей степени в теоретической информатике . Математическая экономика и другие математические науки имеют историю, в которой теоретические достижения регулярно способствовали реформе более прикладных отраслей экономики. В частности, по программе Джона фон НейманаТеория игр теперь обеспечивает основу для описания большей части прикладной экономики, от теории статистических решений (как «игры против природы») и эконометрики до теории общего равновесия и промышленной организации. В последнее десятилетие, с появлением Интернета, экономисты-математики, эксперты по оптимизации и ученые-информатики работали над проблемами ценообразования для онлайн-услуг - в своем вкладе они использовали математику из теории кооперативных игр, недифференцируемой оптимизации и комбинаторных игр.

Роберт М. Солоу пришел к выводу, что математическая экономика является основной « инфраструктурой » современной экономики:

Экономика больше не является предметом разговора для дам и джентльменов. Это стало технической темой. Как и любой технический предмет, он привлекает некоторых людей, которых больше интересует техника, чем предмет. Это очень плохо, но может быть неизбежно. В любом случае не обманывайте себя: техническое ядро ​​экономики - это необходимая инфраструктура для политической экономии. Вот почему, если вы обратитесь к [справочнику по современной экономике] в поисках просвещения о сегодняшнем мире, вы попадете в техническую экономику, или историю, или вообще ни к чему. [139]

Экономисты-математики [ править ]

К известным экономистам-математикам относятся следующие.

19 век [ править ]

20 век [ править ]

См. Также [ править ]

  • Эконофизика
  • Математические финансы

Ссылки [ править ]

  1. ^ Разработано в классификационных кодах JEL , математических и количественных методах JEL: C подкатегории .
  2. ^ а б Чан, Альфа С .; Кевин Уэйнрайт (2005). Фундаментальные методы математической экономики . МакГроу-Хилл Ирвин. С. 3–4. ISBN 978-0-07-010910-0. ТОС.
  3. Перейти ↑ Debreu, Gérard ([1987] 2008). «математическая экономика», раздел II, Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Абстрактный. Переиздано с изменениями от 1986 г., "Теоретико модели: Математическая форма и экономическое содержание", Эконометрика , 54 (6), стр. 1259 -1270.
  4. Перейти ↑ Varian, Hal (1997). «Какая польза от экономической теории?» в A. D'Autume и J. Cartelier, ред., Экономика становится твердой наукой? , Эдвард Элгар. Предварительная публикация PDF. Проверено 1 апреля 2008.
  5. ^ • Как и в Справочнике по математической экономике , ссылки на 1-ю главы:
         Эрроу, Кеннет Дж. И Майкл Д. Интрилигатор, изд. (1981), т. 1
         _____ (1982). т. 2
         _____ (1986). v. 3
         Hildenbrand, Werner , and Hugo Sonnenschein , ed. (1991). т. 4.
       • Дебре, Жерар (1983). Математическая экономика: двадцать статей Жерара Дебре , содержание .
       • Глейстер, Стивен (1984). Математические методы для экономистов , 3-е изд., Блэквелл. Содержание.
       • Такаяма, Акира (1985).Математическая экономика , 2-е изд. Кембридж. Описание и содержание .
       • Майкл Картер (2001). Основы математической экономики , MIT Press. Описание и содержание .
  6. Перейти ↑ Chiang, Alpha C. (1992). Элементы динамической оптимизации , Waveland. TOC и Amazon.com ссылка на внутреннюю часть, первая стр.
  7. ^ a b c d Самуэльсон, Пол (1947) [1983]. Основы экономического анализа . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-31301-9.
  8. ^ a b c d • Дебре, Жерар ([1987] 2008 г.). "математическая экономика", Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Абстрактный. Переиздано с изменениями от 1986 г., "Теоретико модели: Математическая форма и экономическое содержание", Эконометрика , 54 (6), стр. 1259 -1270.
       • фон Нейман, Джон и Оскар Моргенштерн (1944). Теория игр и экономического поведения . Издательство Принстонского университета.
  9. ^ Шумпетер, JA (1954). Элизабет Б. Шумпетер (ред.). История экономического анализа . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 209–212. ISBN 978-0-04-330086-2. OCLC  13498913 .
  10. ^ Шумпетер (1954) стр. 212-215
  11. ^ Шнидер, Эрих (1934). «Иоганн Генрих фон Тюнен». Econometrica . 2 (1): 1–12. DOI : 10.2307 / 1907947 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907947 . OCLC 35705710 .   
  12. ^ Шумпетер (1954) стр. 465-468
  13. ^ Филип Мировски , 1991. «Когда, как и почему математическое выражение в истории экономического анализа», Журнал экономических перспектив , 5 (1) стр. 145-157. [ постоянная мертвая ссылка ]
  14. ^ Вайнтрауб, Э. Рой (2008). «Математика и экономика», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  15. Перейти ↑ Jevons, WS (1866). «Краткое изложение общей математической теории политической экономии», журнал Королевского статистического общества , XXIX (июнь), стр. 282–87. Читайте в разделе F Британской ассоциации, 1862 г. PDF.
  16. ^ Джевонс, У. Стэнли (1871). Принципы политической экономии, стр. 4, 25 . Макмиллан. Теория политической экономии, jevons 1871.
  17. ^ См. Предисловие к работе Ирвинга Фишера 1897 года «Краткое введение в исчисление бесконечно малых»: разработано специально для помощи в чтении математической экономики и статистики .
  18. ^ а б Шейла К., Доу (1999-05-21). «Использование математики в экономике» . ESRC Общественный семинар по математике . Бирмингем : Совет по экономическим и социальным исследованиям . Проверено 6 июля 2008 .
  19. ^ В то время как концепция кардинальности потеряла популярность в неоклассической экономике , различия между кардинальной полезностью и порядковой полезностью для большинства приложений незначительны.
  20. ^ a b Никола, Пьер Карло (2000). Основное направление математической экономики в 20 веке . Springer. п. 4. ISBN 978-3-540-67084-1. Проверено 21 августа 2008 .
  21. ^ Огюстен Курно (1838, tr. 1897) Исследования математических принципов богатства . Ссылки на описание и главы.
  22. ^ a b Hotelling, Гарольд (1990). «Стабильность в конкуренции» . В Дарнелле, Адриан К. (ред.). Сборник статей по экономике Гарольда Хотеллинга . Springer. С. 51, 52. ISBN 978-3-540-97011-8. OCLC  20217006 . Проверено 21 августа 2008 .
  23. ^ "Антуан Огюстен Курно, 1801-1877" . Сайт "История экономической мысли" . Новая школа социальных исследований. Архивировано из оригинала на 2000-07-09 . Проверено 21 августа 2008 .
  24. ^ Гиббонс, Роберт (1992). Теория игр для экономистов-прикладников . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 14, 15. ISBN 978-0-691-00395-5.
  25. ^ Никола, стр. 9–12
  26. Эджворт, Фрэнсис Исидро (5 сентября 1889 г.). "Математическая теория политической экономии: обзор Леона Вальраса, Чистые экономические элементы" (PDF) . Природа . 40 (1036): 434–436. DOI : 10.1038 / 040434a0 . ISSN 0028-0836 . S2CID 21004543 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 апреля 2003 года . Проверено 21 августа 2008 .   
  27. ^ Николсон, Уолтер; Снайдер, Кристофер, стр. 350-353.
  28. ^ Диксон, Роберт. «Закон Вальраса и макроэкономика» . Справочник по закону Вальраса . Департамент экономики Мельбурнского университета. Архивировано из оригинала 17 апреля 2008 года . Проверено 28 сентября 2008 .
  29. ^ Диксон, Роберт. «Формальное доказательство закона Вальраса» . Справочник по закону Вальраса . Департамент экономики Мельбурнского университета. Архивировано из оригинала на 30 апреля 2008 года . Проверено 28 сентября 2008 .
  30. ^ Рима, Ингрид Х. (1977). «Неоклассицизм и инакомыслие 1890-1930 гг.» . В Вайнтрауб, Сидней (ред.). Современная экономическая мысль . Университет Пенсильвании Press. С. 10, 11. ISBN 978-0-8122-7712-8.
  31. ^ Heilbroner, Роберт Л. (1999) [1953]. Мирские философы (седьмое изд.). Нью-Йорк: Саймон и Шустер. С. 172–175, 313. ISBN 978-0-684-86214-9.
  32. ^ Эджворт, Фрэнсис Исидро (1961) [1881]. Математическая психика . Лондон: Кеган Пол [AM Келли]. С. 15–19.
  33. ^ Никола, стр. 14, 15, 258-261
  34. ^ Боули, Артур Лайон (1960) [1924]. Математические основы экономики: вводный трактат . Оксфорд: Кларендон Пресс [Келли].
  35. Перейти ↑ Gillies, DB (1969). «Решения общих игр с ненулевой суммой» . Такер, AW; Люс, Р. Д. (ред.). Вклад в теорию игр . Анналы математики . 40 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . С. 47–85. ISBN 978-0-691-07937-0.
  36. ^ Мосс, Лоуренс С. (2003). «Дебаты Селигмана-Эджворта об анализе налоговой нагрузки: появление математической экономики, 1892–1910». История политической экономии . 35 (2): 207, 212, 219, 234–237. DOI : 10.1215 / 00182702-35-2-205 . ISSN 0018-2702 . 
  37. ^ Hotelling, Гарольд (1990). «Заметка о налоговом феномене Эджворта и дополнительном условии профессора Гарвера о функциях спроса» . В Дарнелле, Адриан К. (ред.). Сборник статей по экономике Гарольда Хотеллинга . Springer. С. 94–122. ISBN 978-3-540-97011-8. OCLC  20217006 . Проверено 26 августа 2008 .
  38. ^ Херстейн, IN (октябрь 1953). «Некоторые математические методы и приемы в экономике» . Квартал прикладной математики . 11 (3): 249–262. DOI : 10.1090 / QAM / 60205 . ISSN 1552-4485 . [Стр. 249-62 .
  39. ^ • Вайнтрауб, Э. Рой (2008). «Математика и экономика», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
       • _____ (2002). Как экономика стала математической наукой . Издательство Университета Дьюка. Описание и превью .
  40. ^ Николсон, Уолтер; Снайдер, Кристофер (2007). «Общее равновесие и благосостояние». Промежуточная микроэкономика и ее приложения (10-е изд.). Томпсон. стр. 364, 365. ISBN 978-0-324-31968-2.
  41. ^ Jolink, Альберт (2006). «Что случилось с Вальрасом?». In Backhaus, Juergen G .; Макс, Дж. А. Ганс (ред.). От Вальраса до Парето . Европейское наследие в экономике и социальных науках. IV . Springer. С. 69–80. DOI : 10.1007 / 978-0-387-33757-9_6 . ISBN 978-0-387-33756-2.
       • Блауг, Марк (2007). «Фундаментальные теоремы современной экономики благосостояния в исторической перспективе» . История политической экономии . 39 (2): 186–188. DOI : 10.1215 / 00182702-2007-001 . ISSN 0018-2702 . S2CID 154074343 .  
  42. Blaug (2007), стр. 185, 187
  43. ^ Метцлер, Ллойд (1948). «Обзор основ экономического анализа ». Американский экономический обзор . 38 (5): 905–910. ISSN 0002-8282 . JSTOR 1811704 .  
  44. ^ a b c Нойман, Дж. фон (1937). «Uber ein ökonomisches Gleichungssystem und ein Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes», Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums , 8, стр. 73–83, переведено и опубликовано в 1945-46 гг., Как «Модель общего равновесия», Review of Economic Studies , 13, стр. С. 1–9.
  45. ^ Для того чтобы эта проблема имела единственное решение, достаточно, чтобы неотрицательные матрицы  A и  B удовлетворяли условию неприводимости , обобщающему условие теоремы Перрона – Фробениуса о неотрицательных матрицах, которая рассматривает (упрощенную) проблему собственных значений
    A - λ I q = 0 ,
    где неотрицательная матрица A должна быть квадратной, а диагональная матрица I является единичной матрицей . Условие несводимости фон Неймана было названо гипотезой «китов и спорщиков » Дэвидом Чамперноуном, который дал словесный и экономический комментарий к английскому переводу статьи фон Неймана. Гипотеза фон Неймана подразумевала, что каждый экономический процесс использует положительное количество каждого экономического блага. Более слабые условия «неприводимости» были даны Дэвидом Гейлом и Джоном Кемени , Оскаром Моргенштерном и Джеральдом Л. Томпсоном в 1950-х, а затем Стивеном М. Робинсоном в 1970-х.  
  46. ^ Дэвид Гейл. Теория линейных экономических моделей . Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1960.
  47. ^ Моргенштерн, Оскар ; Томпсон, Джеральд Л. (1976). Математическая теория расширяющейся и сокращающейся экономики . Lexington Books. Лексингтон, Массачусетс: DC Heath and Company. С. xviii + 277.
  48. ^ Александр Шрайвер , Теория линейного и целочисленного программирования . John Wiley & sons, 1998, ISBN 0-471-98232-6 . 
  49. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл (1967). Монотонные процессы выпуклого и вогнутого типа . Воспоминания Американского математического общества. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. i + 74.
       • Рокафеллар, RT (1974). «Выпуклая алгебра и двойственность в динамических моделях производства». В Йозефе Лозе; Мария Лоз (ред.). Математические модели в экономике (Proc. Sympos. And Conf. Von Neumann Models, Warsaw, 1972) . Амстердам: Северная Голландия и Польская Adademy of Sciences (PAN). С. 351–378.
       • Rockafellar, RT (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
  50. ^ Кеннет Эрроу , Пол Самуэльсон , Харсаньи , Сидни Afriat , Джеральд Л. Томпсон и Калдор . (1989). Мохаммед Доре; Сухмой Чакраварти; Ричард Гудвин (ред.). Джон фон Нейман и современная экономика . Оксфорд: Кларендон. п. 261.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  51. Глава 9.1 «Модель роста фон Неймана» (страницы 277–299): Yinyu Ye . Алгоритмы внутренней точки: теория и анализ . Вайли. 1997 г.
  52. ^ Скрепанти, Эрнесто; Заманьи, Стефано (1993). Очерк истории экономической мысли . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . С. 288–290. ISBN 978-0-19-828370-6. OCLC  57281275 .
  53. ^ Дэвид Гейл . Теория линейных экономических моделей . Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1960.
  54. ^ Моргенштерн, Оскар ; Томпсон, Джеральд Л. (1976). Математическая теория расширяющейся и сокращающейся экономики . Lexington Books. Лексингтон, Массачусетс: Д. К. Хит и компания. С. xviii + 277.
  55. ^ « Природа математического программирования », Глоссарий по математическому программированию , INFORMS Computing Society.
  56. ^ a b Шмеддерс, Карл (2008). «численные методы оптимизации в экономике», Новый экономический словарь Палгрейва , 2-е издание, т. 6, стр. 138–57. Абстрактный.
  57. ^ Роббинс, Лайонел (1935, 2-е изд.). Эссе о природе и значении экономической науки , Macmillan, p. 16.
  58. ^ Блюм, Лоуренс Э. (2008). «двойственность», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Абстрактный.
  59. ^ a b Диксит, АК ([1976] 1990). Оптимизация в экономической теории , 2-е изд., Оксфорд. Описание и предварительный просмотр содержимого .
  60. ^ • Самуэльсон, Пол А., 1998. "Как Фундаменты стали", Журнал экономической литературы , 36 (3), стр. 1375 -1386.
       • _____ (1970). «Принципы максимума в аналитической экономике» , лекция Нобелевской премии.
  61. ^ • Аллан М. Фельдман (3008). "экономика благосостояния", Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
       • Мас-Колелл, Андре , Майкл Д. Уинстон и Джерри Р. Грин (1995), Микроэкономическая теория , глава 16. Oxford University Press, ISBN 0-19-510268-1 . Описание Архивировано 26 января 2012 г. на Wayback Machine и содержимое . 
  62. ^ • Геанакоплос, Джон ([1987] 2008). "Модель общего равновесия Эрроу – Дебре", Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
      • Эрроу, Кеннет Дж. И Жерар Дебре (1954). "Существование равновесия для конкурентной экономики", Econometrica 22 (3), стр. 265 -290.
  63. ^ • Шарф, Герберт Э. (2008). «вычисление общего равновесия», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Абстрактный.
      • Кублер, Феликс (2008). «вычисление общего равновесия (новые разработки)», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Абстрактный.
  64. ^ Никола, стр. 133
  65. ^ Дорфман, Роберт, Пол А. Самуэльсон и Роберт М. Солоу (1958). Линейное программирование и экономический анализ . Макгроу – Хилл. Ссылки на предварительный просмотр глав.
  66. ^ М. Падберг, Линейная оптимизация и расширения , второе издание, Springer-Verlag, 1999.
  67. ^ Данциг, Джордж Б. ([1987] 2008). «линейное программирование», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  68. ^ • Intriligator, Майкл Д. (2008). «Нелинейное программирование», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. ТОС .
       • Блюм, Лоуренс Э. (2008). «выпуклое программирование», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
       • Kuhn, HW ; Такер, А. В. (1951). «Нелинейное программирование». Труды 2-го симпозиума в Беркли . Беркли: Калифорнийский университет Press. С. 481–492.
  69. ^ Берцекас, Дмитрий П. (1999). Нелинейное программирование (второе изд.). Кембридж, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN 978-1-886529-00-7.
       • Вапнярский И.Б. (2001) [1994], "Множители Лагранжа" , Энциклопедия математики , EMS Press.
       • Ласдон, Леон С. (1970). Теория оптимизации для больших систем . Серия Macmillan в исследовании операций. Нью-Йорк: Компания Macmillan. С. xi + 523. Руководство по ремонту 0337317 . 
       • Ласдон, Леон С. (2002). Теория оптимизации для больших систем (переиздание 1970 Macmillan ed.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. Xiii + 523. Руководство по ремонту 1888251 . 
       • Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (1993). «XII Абстрактная двойственность для практиков». Алгоритмы выпуклого анализа и минимизации, Том II: Расширенная теория и методы расслоения . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 306 . Берлин: Springer-Verlag. С. 136–193 (и библиографические комментарии к стр. 334–335). ISBN 978-3-540-56852-0. Руководство по ремонту  1295240 .
  70. ^ a b Лемарешаль, Клод (2001). «Лагранжева релаксация». В Михаэле Юнгере; Денис Наддеф (ред.). Вычислительная комбинаторная оптимизация: документы из Весенней школы состоялись в Шлоссе Dagstuhl, 15-19 мая 2000 года . Конспект лекций по информатике. 2241 . Берлин: Springer-Verlag. С. 112–156. DOI : 10.1007 / 3-540-45586-8_4 . ISBN 978-3-540-42877-0. MR  1900016 .
  71. ^ Понтрягин, Л.С.; Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. (1962). Математическая теория оптимальных процессов . Нью-Йорк: Вили. ISBN 9782881240775.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  72. ^ • Зеликин, М.И. ([1987] 2008). «Принцип оптимальности Понтрягина», Новый экономический словарь Палгрейва , 2-е издание. Ссылка на предварительный просмотр.
       • Мартос, Бела (1987). «Контроль и координация экономической деятельности», The New Palgrave: экономический словарь . Ссылка на описание.
       • Брок, Вашингтон (1987). «Оптимальное управление и экономическая динамика», The New Palgrave: экономический словарь . Наброски .
       • Шелл, К., изд. (1967). Очерки теории оптимального экономического роста . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-19036-7.CS1 maint: extra text: authors list (link)]
  73. ^ Стоки, Нэнси Л. и Роберт Э. Лукас с Эдвардом Prescott (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике , Издательство Гарвардского университета, глава 5. Описания и ссылки для предварительного просмотра глав.
  74. ^ Malliaris, AG (2008). "стохастическое оптимальное управление", Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Резюме. Архивировано 18 октября 2017 г. в Wayback Machine .
  75. ^ Стрелка, кДж; Курц, М. (1970). Государственные инвестиции, норма прибыли и оптимальная налогово-бюджетная политика . Балтимор, Мэриленд: The Johns Hopkins Press. ISBN 978-0-8018-1124-1. Абстрактный. Архивировано 9 марта 2013 г. на Wayback Machine
       • Sethi, SP; Томпсон, GL (2000). Теория оптимального управления: приложения к менеджменту и экономике, второе издание . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-7923-8608-7.Прокрутите до ссылок предварительного просмотра глав .
  76. ^ Эндрю МакЛеннан, 2008. «Теоремы о неподвижной точке», Новый экономический словарь Палгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  77. ^ Вайнтрауб, Э. Рой (1977). «Теория общего равновесия» . В Вайнтрауб, Сидней (ред.). Современная экономическая мысль . Университет Пенсильвании Press. С. 107–109. ISBN 978-0-8122-7712-8.
       • Эрроу, Кеннет Дж .; Дебре, Жерар (1954). «Существование равновесия для конкурентоспособной экономики». Econometrica . 22 (3): 265–290. DOI : 10.2307 / 1907353 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907353 .  
  78. ^ a b c Канторович, Леонид и Виктор Полтерович (2008). «Функциональный анализ», под ред. С. Дурлауфа и Л. Блюма, Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Абстрактный. , изд., Palgrave Macmillan.
  79. Канторович, Л. В (1990). " " Мой путь в науке (предполагается доклад Московского математического общества) "[расширение российского математика. Surveys  42 (1987), вып. 2, стр. 233-270]". В Лев Дж. Лейфман (ред.). Функциональный анализ, оптимизация и математическая экономика: Сборник статей, посвященных памяти Леонида Витальевича Канторовича . Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press. С. 8–45. ISBN 978-0-19-505729-4. Руководство по ремонту  0898626 .
  80. ^ Страница 406: Поляк, Б. Т. (2002). «История математического программирования в СССР: Анализ явления (Глава 3 Пионер: Л. В. Канторович, 1912–1986, с. 405–407)». Математическое программирование . Серия  B . 91 (ISMP 2000, часть 1 (Атланта, Джорджия), номер 3). С. 401–416. DOI : 10.1007 / s101070100258 . MR 1888984 . 
  81. ^ «Леонид Витальевич Канторович - Призовая лекция (« Математика в экономике: достижения, трудности, перспективы »)» . Nobelprize.org . Дата обращения 12 декабря 2010 .
  82. ^ Алипрантис, Хараламбос Д .; Браун, Дональд Дж .; Буркиншоу, Оуэн (1990). Существование и оптимальность конкурентных равновесий . Берлин: Springer – Verlag. С. xii + 284. ISBN 978-3-540-52866-1. Руководство по ремонту  1075992 .
  83. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл . Сопряженная двойственность и оптимизация . Лекции, прочитанные в Университете Джона Хопкинса, Балтимор, штат Мэриленд, июнь 1973 г. Конференционный совет серии региональных конференций по прикладной математике по математическим наукам, № 16. Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, 1974. vi + 74 стр.
  84. ^ Лестер Г. Телсер и Роберт Л. Грейвс Функциональный анализ в математической экономике: оптимизация в бесконечных горизонтах 1972. University of Chicago Press, 1972, ISBN 978-0-226-79190-6 . 
  85. ^ a b Нойман, Джон фон и Оскар Моргенштерн (1944) Теория игр и экономического поведения , Принстон.
  86. ^ Mas-Colell, Андреу (1985). Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии Эконометрического общества. Кембридж UP. ISBN 978-0-521-26514-0. Руководство по ремонту  1113262 .
  87. ^ Ив Баласко . Основы теории общего равновесия , 1988, ISBN 0-12-076975-1 . 
  88. ^ Криди, Джон (2008). «Фрэнсис Исидро (1845–1926)», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  89. ^ • Нэш, Джон Ф., младший (1950). «Проблема переговоров», Econometrica , 18 (2), pp. 155–162 .
       • Серрано, Роберто (2008). «торг», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  90. ^ • Смит, Вернон Л. (1992). «Теория игр и экспериментальная экономика: старт и Ранние Влияния», в ER Вейнтраубе,ред. К истории теории игр , стр. 241- 282.
       • _____ (2001). «Экспериментальная экономика», Международная энциклопедия социальных и поведенческих наук , стр. 5100–5108. Аннотация по разделу. 1.1 и 2.1.
       • Плотт, Чарльз Р. и Вернон Л. Смит, изд. (2008). Справочник по результатам экспериментальной экономики , т. 1, Elsevier, часть 4, Игры, гл. 45-66 ссылок для предварительного просмотра.
       • Шубик, Мартин (2002). «Теория игр и экспериментальные игры», в Р. Ауманн и С. Харт, изд.,Справочник по теории игр с экономическими приложениями , Elsevier, т. 3, стр. 2327–2351. Аннотация .
  91. ^ Из Нового экономического словаря Пэлгрейва (2008), 2-е издание:
       • Гул, Фарук . «поведенческая экономика и теория игр». Абстрактный.
       • Камерер, Колин Ф. «Теория поведенческих игр». Абстрактный.
  92. ^ • Расмузен, Эрик (2007). Игры и информация , 4-е изд. Описание и ссылки для предварительного просмотра глав .
       • Ауманн Р. и С. Харт, изд. (1992, 2002). Справочник по теории игр с экономическими приложениями v. 1, ссылки в гл. 3-6 и т. 3, гл. 43 .
  93. ^ • Тироль, Жан (1988). Теория промышленной организации , MIT Press. Описание и ссылки на предварительный просмотр глав, стр. Vii-ix , «Общая организация», стр. 5-6 , и «Теория не-совместных игр: Руководство пользователя», гл. 11. С. 423-59 .
       • Багвелл, Кайл и Ашер Волински (2002). «Теория игр и промышленная организация», гл. 49, Справочник по теории игр с экономическими применениями , v. 3, стр. 1851 -1895.
  94. ^ • Шубик, Мартин (1981). "Модели и методы теории игр в политической экономии", в Справочнике по математической экономике , т. 1, стр. 285 [ мертвая ссылка ] -330.
  95. ^ a b Новый экономический словарь Пэлгрейва (2008), 2-е издание:
         Майерсон, Роджер Б. «Дизайн механизмов». Абстрактный.
         _____. "принцип откровения". Абстрактный.
         Сандхольм, Туомас. «вычисления в конструкции механизмов». Абстрактный.
       • Нисан, Ноам и Амир Ронен (2001). «Разработка алгоритмических механизмов», Игры и экономическое поведение , 35 (1-2), стр. 166–196 .
       • Нисан, Ноам и др ., Изд. (2007). Алгоритмическая теория игр , Cambridge University Press. Описание Архивировано 5 мая 2012 г. на Wayback Machine .
  96. ^ a b • Халперн, Джозеф Ю. (2008). «Информатика и теория игр», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
             • Шохам, Йоав (2008). "Computer Science and Game Theory", Communications of the ACM , 51 (8), pp. 75-79. Архивировано 26 апреля 2012 г. в Wayback Machine .
             • Рот, Элвин Э. (2002). «Экономист как инженер: теория игр, эксперименты и вычисления как инструменты для экономики дизайна», Econometrica , 70 (4), стр. 1341–1378 .
  97. ^ • Кирман, Алан (2008). «Экономика как сложная система», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
       • Tesfatsion, Leigh (2003). "Вычислительная экономика на основе агентов: моделирование экономик как сложных адаптивных систем", Информационные науки , 149 (4), стр. 262-268 .
  98. ^ Скотт Э. Пейдж (2008), «агент-ориентированные модели», Новый экономический словарь Палгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  99. ^ • Холланд, Джон Х. и Джон Х. Миллер (1991). «Искусственные адаптивные агенты в экономической теории», American Economic Review , 81 (2), стр. 365-370. Архивировано 05 января 2011 г. в Wayback Machine . 366.
       • Артур, У. Брайан , 1994. «Индуктивное мышление и ограниченная рациональность», American Economic Review , 84 (2), стр. 406-411 .
       • Шеллинг, Томас К. (1978 [2006]). Микромотивы и макробиология , Нортон. Описание Архивировано 2 ноября 2017 г. на Wayback Machine , превью .
       • Сарджент, Томас Дж. (1994). Ограниченная рациональность в макроэкономике , Оксфорд. Описание и ссылки на первую страницу для предварительного просмотра глав .
  100. ^ • Джадд, Кеннет Л. (2006). «Вычислительно-интенсивный анализ в экономике», Справочник по вычислительной экономике , т. 2, гл. 17, Введение, стр. 883. Стр. 881- 893. Предварительно опубликованный PDF .
       • _____ (1998). Численные методы в экономике , MIT Press. Ссылки на описание и превью глав .
  101. ^ • Tesfatsion, Leigh (2002). «Вычислительная экономика на основе агентов: растущая экономика снизу вверх», Искусственная жизнь , 8 (1), стр.55-82. Резюме и предварительная публикация PDF .
       • _____ (1997). «Как экономисты могут выжить», в WB Артур, С. Дурлауф и Д. Лейн, ред., Экономика как развивающаяся сложная система, II , стр. 533–564. Эддисон-Уэсли. Предварительно опубликованный PDF - файл .
  102. ^ Tesfatsion, Leigh (2006), "Вычислительная экономика, основанная на агентах: конструктивный подход к экономической теории", гл. 16, Справочник по вычислительной экономике , т. 2, часть 2, исследование ACE экономической системы. Резюме и предварительная публикация PDF .
  103. ^ Аксельрод, Роберт (1997). Сложность сотрудничества: агент-ориентированные модели конкуренции и сотрудничества , Принстон. Описание , содержание и предварительный просмотр .
  104. ^ • Леомбруни, Роберто и Маттео Ричиарди, изд. (2004), Промышленность и динамика труда: подход с использованием вычислительной экономики на основе агентов. World Scientific Publishing ISBN 981-256-100-5 . Описание Архивировано 27 июля 2010 г. на Wayback Machine и по ссылкам для предварительного просмотра глав.   • Эпштейн, Джошуа М. (2006). «Растущие адаптивные организации: вычислительный подход на основе агентов», в « Генеративная социальная наука: исследования в области вычислительного моделирования на основе агентов» , стр. 309 - [1] 344. Описание и аннотация . 
  105. ^ Klosa, Томас Б. и Барт Nooteboom , 2001. «Агентоснове затрат вычислительных транзакций Экономика», Журнал экономической динамики и управления 25 (3-4), стр. 503-52. Абстрактный.
  106. ^ Акстелл, Роберт (2005). «Сложность обмена», экономический журнал , 115 (504, особенности), стр. F193-F210 .
  107. ^ Sandholm, Туомас W., и Виктор Р. Lesser (2001). "Leveled Обязательства Контракты и стратегического Нарушение", Игры и экономическое поведение , 35 (1-2), стр. 212-270 .
  108. ^ • Дуршлаг, Дэвид , Питер Ховитт , Алан Кирман, Аксель Лейонхуфвуд и Перри Мерлинг (2008). "За DSGE модели:пути к эмпирическим Based Макроэкономика", American Economic Review , 98 (2), стр. 236 -240. Предварительно опубликованный PDF - файл .
       • Сарджент, Томас Дж. (1994). Ограниченная рациональность в макроэкономике , Оксфорд. Описание и ссылки на первую страницу для предварительного просмотра глав.
  109. ^ Tesfatsion, Leigh (2006), "Вычислительная экономика, основанная на агентах: конструктивный подход к экономической теории", гл. 16, Справочник по вычислительной экономике , т. 2, стр. 832–865. Резюме и предварительная публикация PDF .
  110. ^ Смит, Вернон Л. (2008). «Экспериментальная экономика», Новый экономический словарь Пэлгрейва , 2-е издание. Аннотация .
  111. ^ Даффи, Джон (2006). «Агент-ориентированные модели и эксперименты на человеке», гл. 19, Справочник по вычислительной экономике , т.2, стр. 949–101. Аннотация .
  112. ^ • Наматаме, Акира и Такао Терано (2002). «Заяц и черепаха: совокупный прогресс в агентном моделировании», в агентных подходах в сложных экономических и социальных системах . стр. 3- 14, IOS Press. Описание .
       • Фаджиоло, Джорджио, Алессио Монета и Пол Виндрам (2007). «Критическое Руководство по Эмпирической Проверке агентной модели в экономике: методологии, процедуру и открытых проблемы», Вычислительные экономики , 30, стр. 195 -226.
  113. ^ • Tesfatsion, Leigh (2006). "Агентно-вычислительная экономика: конструктивный подход к экономической теории", гл. 16, Справочник по вычислительной экономике , т. 2, [стр. 831–880] разд. 5. Резюме и предварительная публикация в формате PDF .
       • Джадд, Кеннет Л. (2006). «Вычислительно-интенсивный анализ в экономике», Справочник по вычислительной экономике , т. 2, гл. 17, стр. 881- 893. Pre-паб PDF .
       • Тесфацион, Ли и Кеннет Л. Джадд, изд. (2006). Handbook of Computational Economics , v. 2. Описание Архивировано 06марта2012 г. на Wayback Machine& и ссылки предварительного просмотра глав .
  114. ^ Брокгауз, Оливер; Фаркас, Майкл; Феррарис, Эндрю; Лонг, Дуглас; Оверхаус, Маркус (2000). Деривативы на акции и модели рыночного риска . Книги рисков. С. 13–17. ISBN 978-1-899332-87-8. Проверено 17 августа 2008 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  115. ^ Лайнер, Гейнс Х. (2002). «Основные журналы по экономике». Экономический запрос . 40 (1): 140. DOI : 10,1093 / е / 40.1.138 .
  116. ^ Стиглер, Джордж Дж . ; Стиглер, Стивен Дж .; Фридланд, Клэр (апрель 1995). «Журналы экономики» . Журнал политической экономии . 103 (2): 331–359. DOI : 10.1086 / 261986 . ISSN 0022-3808 . JSTOR 2138643 . S2CID 154780520 .   
  117. ^ Стиглер и др. проводил обзор журнальных статей в основных экономических журналах (по определению авторов, но подразумевающих, как правило, неспециализированные журналы) на протяжении ХХ века. Журнальные статьи, которые когда-либо использовали геометрическое представление или математическую нотацию, были отмечены как использующие этот уровень математики как «высший уровень математической техники». Авторы называют «словесными приемами» те, которые передают сюжет произведения без обозначений из геометрии , алгебры или математического анализа .
  118. ^ Стиглер и др., Стр. 342
  119. ^ Саттер, Дэниэл и Рекс Пески. «Где бы Адам Смит публиковал свои статьи сегодня ?: Практическое отсутствие исследований без математики в ведущих журналах» (май 2007 г.). [2]
  120. Перейти ↑ Arrow, Kenneth J. (апрель 1960). «Работа Рагнара Фриша, эконометриста». Econometrica . 28 (2): 175–192. DOI : 10.2307 / 1907716 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1907716 .  
  121. ^ Бьеркхольт Олав (июль 1995). "Рагнар Фриш, редактор Econometrica 1933-1954". Econometrica . 63 (4): 755–765. DOI : 10.2307 / 2171799 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1906940 .  
  122. ^ Ланге, Оскар (1945). «Объем и метод экономики». Обзор экономических исследований . 13 (1): 19–32. DOI : 10.2307 / 2296113 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296113 .  
  123. ^ Олдрич, Джон (январь 1989 г.). «Автономия». Oxford Economic Papers . 41 (1, История и методология эконометрики): 15–34. DOI : 10.1093 / oxfordjournals.oep.a041889 . ISSN 0030-7653 . JSTOR 2663180 .  
  124. ^ Эпштейн, Рой Дж. (1987). История эконометрики . Вклад в экономический анализ. Северная Голландия. С. 13–19. ISBN 978-0-444-70267-8. OCLC  230844893 .
  125. ^ Дуршлаг, Дэвид С. (2004). «Странная стойкость модели IS-LM». История политической экономии . 36 (Ежегодное приложение): 305–322. CiteSeerX 10.1.1.692.6446 . DOI : 10.1215 / 00182702-36-Suppl_1-305 . ISSN 0018-2702 . S2CID 6705939 .   
  126. ^ Brems, Ганс (октябрь 1975). «Маршалл по математике». Журнал права и экономики . 18 (2): 583–585. DOI : 10.1086 / 466825 . ISSN 0022-2186 . JSTOR 725308 .  
  127. ^ Frigg, R .; Хартман, С. (27 февраля 2006 г.). Эдвард Н. Залта (ред.). Модели в науке . Стэнфордская энциклопедия философии. Стэнфорд, Калифорния: Исследовательская лаборатория метафизики. ISSN 1095-5054 . Проверено 16 августа 2008 . 
  128. ^ «Блог Грега Мэнкью: Упражнение для моих читателей» . Проверено 7 августа 2019 .
  129. ^ Кокрейн, Джон Х. (2017-10-21). «Сварливый экономист: алгебра Грега» . Сварливый экономист . Проверено 7 августа 2019 .
  130. ^ Хайек, Фридрих (сентябрь 1945 г.). «Использование знаний в обществе». Американский экономический обзор . 35 (4): 519–530. JSTOR 1809376 . 
  131. ^ Хайльбронер, Роберт (май – июнь 1999 г.). "Конец мрачной науки?" . Журнал Challenge . Архивировано из оригинала на 2008-12-10.
  132. ^ Beed & Owen, 584
  133. Перейти ↑ Boland, LA (2007). «Семь десятилетий экономической методологии» . В IC Jarvie; К. Милфорд; DW Миллер (ред.). Карл Поппер: столетняя оценка . Лондон: Издательство Ashgate. п. 219. ISBN 978-0-7546-5375-2. Проверено 10 июня 2008 .
  134. ^ Бид, Клайв; Кейн, Оуэн (1991). «Что такое критика математизации экономики?». Киклос . 44 (4): 581–612. DOI : 10.1111 / j.1467-6435.1991.tb01798.x .
  135. ^ Фридман, Милтон (1953). Очерки позитивной экономики . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр.  30 , 33, 41. ISBN 978-0-226-26403-5.
  136. ^ Кейнс, Джон Мейнард (1936). Общая теория занятости, процента и денег . Кембридж: Макмиллан. п. 297. ISBN. 978-0-333-10729-4.
  137. ^ Пол А. Самуэльсон (1952). «Экономическая теория и математика - оценка», American Economic Review , 42 (2), стр. 56, 64-65 (нажмите + ).
  138. ^ DW Бушоу и RW Клауэр (1957). Введение в математическую экономику , стр. vii.
  139. Солоу, Роберт М. (20 марта 1988 г.). «Широкий, широкий мир богатства ( Нью-Палгрейв: экономический словарь . Под редакцией Джона Итвелла, Мюррея Милгейта и Питера Ньюмана. Четыре тома. 4 103 стр. Нью-Йорк: Stockton Press. 650 долларов)» . Нью-Йорк Таймс .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Альфа Чианг и Кевин Уэйнрайт, [1967] 2005. Фундаментальные методы математической экономики , МакГроу-Хилл Ирвин. Содержание.
  • Э. Рой Вайнтрауб , 1982. Математика для экономистов , Кембридж. Содержание .
  • Стивен Глейстер , 1984. Математические методы для экономистов , 3-е изд., Блэквелл. Содержание.
  • Акира Такаяма, 1985. Математическая экономика , 2-е изд. Кембридж. Содержание .
  • Нэнси Л. Стоки и Роберт Э. Лукас с Эдвардом Прескоттом , 1989. Рекурсивные методы в экономической динамике , Издательство Гарвардского университета. Desecription и глава-превью ссылки .
  • AK Dixit , [1976] 1990. Оптимизация в экономической теории , 2-е изд., Оксфорд. Описание и предварительный просмотр содержимого .
  • Кеннет Л. Джадд , 1998. Численные методы в экономике , MIT Press. Описание и ссылки для предварительного просмотра глав .
  • Майкл Картер, 2001. Основы математической экономики , MIT Press. Содержание .
  • Ференц Сидаровски и Шандор Мольнар, 2002. Введение в теорию матриц: с приложениями к бизнесу и экономике , World Scientific Publishing. Описание и превью .
  • Д. Уэйд Хэндс, 2004. Вводная математическая экономика , 2-е изд. Оксфорд. Содержание .
  • Джанкарло Гандольфо, [1997] 2009. Экономическая динамика , 4-е изд., Springer. Описание и превью .
  • Джон Стахурски, 2009. Экономическая динамика: теория и вычисления , MIT Press. Описание и превью .

Внешние ссылки [ править ]

  • Журнал математической экономики Цели и область применения
  • Математическая экономика и финансовая математика в Curlie
  • Erasmus Mundus Master QEM - Модели и методы количественной экономики , Модели и методы количественной экономики - QEM