Математическая модель

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Математическая модель»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Математическая модель представляет собой описание системы , используя математические понятия и язык . Процесс разработки математической модели называется математическим моделированием . Математические модели используются в естественных науках (таких как физика , биология , науки о Земле , химия ) и инженерных дисциплинах (таких как информатика , электротехника ), а также в нефизических системах, таких как социальные науки (например, экономика ,психология , социология , политология ). Математические модели также используются в музыке , ^[1] лингвистике ^[2] и философии (например, интенсивно в аналитической философии ).

Модель может помочь объяснить систему и изучить эффекты различных компонентов, а также сделать прогнозы относительно поведения.

Элементы математической модели [ править ]

Математические модели могут принимать различные формы, включая динамические системы , статистические модели , дифференциальные уравнения или теоретико-игровые модели . Эти и другие типы моделей могут пересекаться, при этом данная модель включает в себя множество абстрактных структур. В общем, математические модели могут включать логические модели . Во многих случаях качество научной области зависит от того, насколько хорошо математические модели, разработанные с теоретической стороны, согласуются с результатами повторяемых экспериментов. Несогласие между теоретическими математическими моделями и экспериментальными измерениями часто приводит к важным достижениям по мере разработки более совершенных теорий.

В физических науках традиционная математическая модель содержит большинство из следующих элементов:

1. Основные уравнения
2. Дополнительные подмодели
   1. Определение уравнений
   2. Материальные уравнения
3. Допущения и ограничения
   1. Начальные и граничные условия.
   2. Классические связи и кинематические уравнения

Классификации [ править ]

Математические модели обычно состоят из отношений и переменных . Взаимосвязи могут быть описаны операторами , такими как алгебраические операторы, функции, дифференциальные операторы и т. Д. Переменные - это абстракции представляющих интерес системных параметров , которые могут быть определены количественно . Для математических моделей можно использовать несколько критериев классификации в зависимости от их структуры:

• Линейный или нелинейный: если все операторы в математической модели демонстрируют линейность , полученная математическая модель определяется как линейная. В противном случае модель считается нелинейной. Определение линейности и нелинейности зависит от контекста, и линейные модели могут иметь в себе нелинейные выражения. Например, в статистической линейной модели предполагается, что связь линейна по параметрам, но может быть нелинейной по параметрам-предикторам. Точно так же дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно записать с помощью линейных дифференциальных операторов , но при этом в нем могут быть нелинейные выражения. В математическом программированииМодель, если целевые функции и ограничения представлены полностью линейными уравнениями , то модель рассматривается как линейная модель. Если одна или несколько целевых функций или ограничений представлены нелинейным уравнением, тогда модель известна как нелинейная модель.
  Линейная структура подразумевает, что проблема может быть разложена на более простые части, которые можно обрабатывать независимо и / или анализировать в другом масштабе, и полученные результаты останутся действительными для исходной проблемы после перекомпоновки и изменения масштаба.
  Нелинейность даже в довольно простых системах часто ассоциируется с такими явлениями, как хаос и необратимость.. Хотя есть исключения, нелинейные системы и модели, как правило, труднее изучать, чем линейные. Обычным подходом к нелинейным задачам является линеаризация , но это может быть проблематично, если кто-то пытается изучить такие аспекты, как необратимость, которые сильно связаны с нелинейностью.
• Статический по сравнению с динамическим: динамическая модель объясняет зависящих от времени изменений в состоянии системы, в то время как статический (или стационарный) модель рассчитывает систему в равновесии, и , следовательно , не зависит от времени. Динамические модели обычно представлены дифференциальными уравнениями или разностными уравнениями .
• Явные и неявные: если все входные параметры общей модели известны, а выходные параметры могут быть рассчитаны с помощью конечной серии вычислений, модель называется явной . Но иногда известны выходные параметры, и соответствующие входные данные должны быть решены с помощью итерационной процедуры, такой как метод Ньютона или метод Бройдена . В таком случае говорят, что модель неявная . Например, физические свойства реактивного двигателя, такие как площадь сечения турбины и сопла, могут быть явно рассчитаны с учетом расчетного термодинамического цикла. (расхода воздуха и топлива, давления и температуры) при определенных условиях полета и настройке мощности, но рабочие циклы двигателя при других условиях полета и настройках мощности не могут быть явно рассчитаны на основе постоянных физических свойств.
• Дискретный по сравнению с непрерывным: A дискретной модель обрабатывает объекты как дискретные, такие , как частицы в молекулярной модели или состояния в статистической модели ; в то время как непрерывная модель представляет объекты непрерывным образом, такие как поле скоростей жидкости в трубопроводах, температуры и напряжения в твердом теле, а также электрическое поле, которое непрерывно применяется ко всей модели из-за точечного заряда.
• Детерминированный против вероятностного (стохастического): детерминированная модель, в которой каждый набор переменных состояний однозначно определяются параметрами модели и множества предыдущих состояний этих переменных; следовательно, детерминированная модель всегда работает одинаково для данного набора начальных условий. И наоборот, в стохастической модели, обычно называемой « статистической моделью », присутствует случайность, и состояния переменных описываются не уникальными значениями, а скорее распределениями вероятностей .
• Дедуктивные, индуктивные, или плавающей: дедуктивное модель представляет собой логическую структуру на основе теории. Индуктивная модель возникает на основе эмпирических данных и их обобщений. Плавающая модель не опирается ни на теорию, ни на наблюдения, а просто вызывает ожидаемую структуру. Применение математики в социальных науках за пределами экономики подвергалось критике за необоснованность моделей. ^[3] Применение теории катастроф в науке характеризуется как плавающая модель. ^[4]
• Стратегические и нестратегические модели, используемые в теории игр , различаются в том смысле, что они моделируют агентов с несовместимыми стимулами, такими как конкурирующие виды или участники аукциона. Стратегические модели предполагают, что игроки являются автономными лицами, принимающими решения, которые рационально выбирают действия, которые максимизируют их целевую функцию. Ключевой проблемой использования стратегических моделей является определение и вычисление концепций решения, таких как равновесие по Нэшу . Интересным свойством стратегических моделей является то, что они отделяют рассуждения о правилах игры от рассуждений о поведении игроков. ^[5]

Строительство [ править ]

В бизнесе и инженерии математические модели могут использоваться для максимизации определенного результата. Рассматриваемая система потребует определенных входов. Система , касающиеся входы к выходам зависит от других переменных тоже: переменных решений , переменных состояний , экзогенных переменных и случайных величин .

Переменные решения иногда называют независимыми переменными. Экзогенные переменные иногда называют параметрами или константами . Переменные не независимы друг от друга, поскольку переменные состояния зависят от решения, входных, случайных и экзогенных переменных. Кроме того, выходные переменные зависят от состояния системы (представленного переменными состояния).

Цели и ограничения системы и ее пользователей могут быть представлены как функции выходных переменных или переменных состояния. Эти целевые функции будут зависеть от точки зрения пользователя модели. В зависимости от контекста целевая функция также известна как индекс производительности , поскольку она представляет собой некоторую меру интереса для пользователя. Хотя количество целевых функций и ограничений, которые может иметь модель, не ограничено, использование или оптимизация модели становится более сложной (в вычислительном отношении) по мере увеличения числа.

Например, экономисты часто применяют линейную алгебру при использовании моделей затрат-выпуска . Сложные математические модели с множеством переменных можно объединить с помощью векторов, в которых один символ представляет несколько переменных.

Априорная информация [ править ]

Проблемы математического моделирования часто подразделяются на модели черного или белого ящика в зависимости от объема доступной априорной информации о системе. Модель черного ящика - это система, о которой нет априорной информации. Модель белого ящика (также называемая стеклянным ящиком или прозрачным ящиком) - это система, в которой доступна вся необходимая информация. Практически все системы находятся где-то между моделями черного ящика и белого ящика, поэтому эта концепция полезна только в качестве интуитивно понятного руководства для принятия решения о том, какой подход выбрать.

Обычно предпочтительно использовать как можно больше априорной информации, чтобы сделать модель более точной. Поэтому модели белого ящика обычно считаются более простыми, потому что, если вы правильно использовали информацию, модель будет вести себя правильно. Часто априорная информация приходит в форме знания типа функций, относящихся к различным переменным. Например, если мы создадим модель того, как лекарство работает в системе человека, мы узнаем, что обычно количество лекарства в крови экспоненциально уменьшается.функция. Но у нас все еще остается несколько неизвестных параметров; как быстро распадается количество лекарства и каково начальное количество лекарства в крови? Таким образом, этот пример не является полностью моделью белого ящика. Эти параметры должны быть оценены с помощью некоторых средств, прежде чем можно будет использовать модель.

В моделях «черного ящика» пытаются оценить как функциональную форму отношений между переменными, так и числовые параметры этих функций. Используя априорную информацию, мы могли бы получить, например, набор функций, которые, вероятно, могли бы адекватно описать систему. Если нет априорной информации, мы попытаемся использовать функции как можно более общие, чтобы охватить все различные модели. Часто используемый подход для моделей черного ящика - это нейронные сети, которые обычно не делают предположений о входящих данных. В качестве альтернативы можно использовать алгоритмы NARMAX (модель нелинейной авторегрессионной скользящей средней с внешними входными данными), которые были разработаны как часть идентификации нелинейных систем ^[6]может использоваться для выбора условий модели, определения структуры модели и оценки неизвестных параметров в присутствии коррелированного и нелинейного шума. Преимущество моделей NARMAX по сравнению с нейронными сетями состоит в том, что NARMAX создает модели, которые можно записать и связать с базовым процессом, тогда как нейронные сети создают непрозрачное приближение.

Субъективная информация [ править ]

Иногда бывает полезно включить субъективную информацию в математическую модель. Это может быть сделано на основе интуиции , опыта или мнения экспертов или на основе удобства математической формы. Байесовская статистика обеспечивает теоретическую основу для включения такой субъективности в строгий анализ: мы указываем априорное распределение вероятностей (которое может быть субъективным), а затем обновляем это распределение на основе эмпирических данных.

Примером того, когда такой подход может быть необходим, является ситуация, в которой экспериментатор слегка сгибает монету и подбрасывает ее один раз, фиксируя, выпадает ли она орлом, а затем получает задание предсказать вероятность того, что следующее подбрасывание выпадет орлом. После сгибания монеты истинная вероятность того, что монета выпадет орлом, неизвестна; поэтому экспериментатору нужно будет принять решение (возможно, посмотрев на форму монеты) о том, какое предварительное распределение использовать. Включение такой субъективной информации может быть важным для получения точной оценки вероятности.

Сложность [ править ]

В общем, сложность модели предполагает компромисс между простотой и точностью модели. Принцип «бритвы Оккама» особенно актуален для моделирования, его основная идея заключается в том, что среди моделей с примерно равной предсказательной силой наиболее желательной является простейшая. Хотя добавленная сложность обычно улучшает реализм модели, она может затруднить понимание и анализ модели, а также может создать вычислительные проблемы, включая численную нестабильность . Томас Кун утверждает, что по мере развития науки объяснения становятся все более сложными, прежде чем смена парадигмы предложит радикальное упрощение. ^[7]

Например, при моделировании полета самолета мы могли бы встроить каждую механическую часть самолета в нашу модель и, таким образом, получить модель системы почти белого цвета. Однако вычислительные затраты на добавление такого огромного количества деталей могут эффективно препятствовать использованию такой модели. Кроме того, неопределенность может увеличиться из-за чрезмерно сложной системы, потому что каждая отдельная часть вносит некоторую вариативность в модель. Поэтому обычно уместно сделать некоторые приближения, чтобы уменьшить модель до разумного размера. Инженеры часто могут принять некоторые приближения, чтобы получить более надежную и простую модель. Например, классическая механика Ньютона приближенная модель реального мира. Тем не менее, модели Ньютона вполне достаточно для большинства ситуаций обычной жизни, то есть до тех пор, пока скорости частиц намного ниже скорости света , и мы изучаем только макрочастицы.

Обратите внимание, что лучшая точность не обязательно означает лучшую модель. Статистические модели склонны к переоснащению, что означает, что модель слишком приспособлена к данным и потеряла способность обобщать новые события, которые ранее не наблюдались.

Обучение и настройка [ править ]

Любая модель, не являющаяся чистым белым ящиком, содержит некоторые параметры, которые можно использовать для подгонки модели к системе, которую она предназначена для описания. Если моделирование выполняется с помощью искусственной нейронной сети или другого машинного обучения , оптимизация параметров называется обучением , а оптимизация гиперпараметров модели называется настройкой и часто использует перекрестную проверку . ^[8] В более традиционном моделировании с помощью явно заданных математических функций параметры часто определяются путем подбора кривой ^{[ необходима ссылка ]} .

Оценка модели [ править ]

Важнейшей частью процесса моделирования является оценка того, точно ли данная математическая модель описывает систему. На этот вопрос может быть трудно ответить, поскольку он включает несколько различных типов оценки.

Соответствие эмпирическим данным [ править ]

Обычно самая легкая часть оценки модели - это проверка того, соответствует ли модель экспериментальным измерениям или другим эмпирическим данным. В моделях с параметрами общий подход к проверке соответствия состоит в том, чтобы разделить данные на два непересекающихся подмножества: данные обучения и данные проверки. Данные обучения используются для оценки параметров модели. Точная модель будет точно соответствовать данным проверки, даже если эти данные не использовались для установки параметров модели. В статистике такая практика называется перекрестной проверкой .

Определение метрики для измерения расстояний между наблюдаемыми и прогнозируемыми данными - полезный инструмент для оценки соответствия модели. В статистике, теории принятия решений, а также некоторые экономические модели , функция потерь играет аналогичную роль.

Хотя проверить соответствие параметров довольно просто, может быть сложнее проверить правильность общей математической формы модели. В целом, было разработано больше математических инструментов для проверки соответствия статистических моделей, чем моделей, включающих дифференциальные уравнения . Иногда инструменты непараметрической статистики можно использовать для оценки того, насколько хорошо данные соответствуют известному распределению, или для создания общей модели, которая делает только минимальные предположения о математической форме модели.

Объем модели [ править ]

Оценка объема модели, то есть определение ситуаций, в которых она применима, может быть менее простой задачей. Если модель была построена на основе набора данных, необходимо определить, для каких систем или ситуаций известные данные являются «типичным» набором данных.

Вопрос о том, хорошо ли модель описывает свойства системы между точками данных, называется интерполяцией , а тот же вопрос для событий или точек данных за пределами наблюдаемых данных называется экстраполяцией .

В качестве примера типичных ограничений объема модели при оценке классической механики Ньютона мы можем отметить, что Ньютон проводил свои измерения без современного оборудования, поэтому он не мог измерить свойства частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света. Точно так же он не измерял движения молекул и других мелких частиц, а измерял только макрочастицы. Поэтому неудивительно, что его модель не очень хорошо экстраполируется на эти области, хотя его модели вполне достаточно для обычной физики жизни.

Философские соображения [ править ]

Многие типы моделирования неявно включают утверждения о причинно-следственной связи . Обычно (но не всегда) это верно для моделей, включающих дифференциальные уравнения. Поскольку цель моделирования - улучшить наше понимание мира, валидность модели зависит не только от ее соответствия эмпирическим наблюдениям, но и от ее способности экстраполировать на ситуации или данные, выходящие за рамки тех, что были изначально описаны в модели. Это можно рассматривать как различие между качественными и количественными прогнозами. Можно также утверждать, что модель бесполезна, если она не дает некоторого понимания, выходящего за рамки того, что уже известно из прямого исследования изучаемого явления.

Примером такой критики является аргумент о том, что математические модели теории оптимального кормодобывания не предлагают понимания, выходящего за рамки здравого смысла выводов эволюции и других основных принципов экологии. ^[9]

Значение в естественных науках [ править ]

Математические модели имеют большое значение в естествознании, особенно в физике . Физические теории почти всегда выражаются с помощью математических моделей.

На протяжении всей истории появлялось все больше и больше точных математических моделей. Законы Ньютона точно описывают многие повседневные явления, но в определенных пределах необходимо использовать теорию относительности и квантовую механику .

В физике принято использовать идеализированные модели для упрощения вещей. Безмассовые веревки, точечные частицы, идеальные газы и частица в ящике - это одни из многих упрощенных моделей, используемых в физике. Законы физики представлены простыми уравнениями , такие как законы Ньютона, уравнения Максвелла и уравнения Шредингера . Эти законы являются основой для построения математических моделей реальных ситуаций. Многие реальные ситуации очень сложны и поэтому моделируются приблизительно на компьютере, модель, которую можно вычислить с помощью вычислений, создается на основе основных законов или приближенных моделей, созданных на основе основных законов. Например, молекулы можно моделировать с помощью молекулярных орбиталей.модели, которые являются приближенными решениями уравнения Шредингера. В инженерии физические модели часто создаются математическими методами, такими как анализ методом конечных элементов .

В разных математических моделях используется разная геометрия, которая не обязательно является точным описанием геометрии Вселенной. Евклидова геометрия широко используется в классической физике, в то время как специальная теория относительности и общая теория относительности являются примерами теорий, которые используют геометрию, которая не является евклидовой.

Некоторые приложения [ править ]

Часто, когда инженеры анализируют систему, которую нужно контролировать или оптимизировать, они используют математическую модель. В ходе анализа инженеры могут построить описательную модель системы в качестве гипотезы о том, как система может работать, или попытаться оценить, как непредвиденное событие может повлиять на систему. Точно так же, управляя системой, инженеры могут опробовать различные подходы к управлению в симуляциях .

Математическая модель обычно описывает систему набором переменных и набором уравнений, которые устанавливают отношения между переменными. Переменные могут быть разных типов; действительные или целые числа, логические значения или строки , например. Переменные представляют некоторые свойства системы, например, измеряемые выходные данные системы, часто в форме сигналов , данных синхронизации , счетчиков и возникновения события (да / нет). Фактическая модель - это набор функций, которые описывают отношения между различными переменными.

Примеры [ править ]

• Одним из популярных примеров в информатике являются математические модели различных машин, примером является детерминированный конечный автомат (DFA), который определяется как абстрактная математическая концепция, но из-за детерминированной природы DFA он реализуется аппаратно. и программное обеспечение для решения различных специфических задач. Например, ниже представлен DFA M с двоичным алфавитом, для которого требуется, чтобы вход содержал четное количество нулей.

M = ( Q , Σ, δ, q ₀ , F ), где

• Q = { S ₁ , S ₂ },
• Σ = {0, 1},
• q ₀ = S ₁ ,
• F = { S ₁ } и
• δ определяется следующей таблицей переходов состояний :

	0	1
S 1	S 2	S 1
S 2	S 1	S 2

Состояние S ₁ означает, что до сих пор на входе было четное количество нулей, а S ₂ означает нечетное число. 1 на входе не меняет состояние автомата. Когда ввод завершается, состояние покажет, содержал ли ввод четное число нулей или нет. Если вход содержал четное количество нулей, M завершит работу в состоянии S ₁ , состоянии приема, поэтому входная строка будет принята.

Язык, распознаваемый буквой M, - это обычный язык, задаваемый регулярным выражением 1 * (0 (1 *) 0 (1 *)) *, где «*» - звезда Клини , например, 1 * обозначает любое неотрицательное число ( возможно ноль) символов «1».

• Многие повседневные действия, выполняемые без мысли, основаны на математических моделях. Проекция географической карты региона Земли на небольшую плоскую поверхность - это модель, которую можно использовать для многих целей, таких как планирование путешествий. ^[10]
• Еще одно простое действие - это прогнозирование положения транспортного средства по его начальному положению, направлению и скорости движения с использованием уравнения, согласно которому пройденное расстояние является произведением времени и скорости. При более формальном использовании это известно как мертвая расплата . Таким образом, математическое моделирование не обязательно требует формальной математики; было показано, что животные используют мертвый счет. ^{[11] [12]}
• Рост населения . Простая (хотя и приблизительная) модель роста населения - это мальтузианская модель роста . Немного более реалистичной и широко используемой моделью роста населения является логистическая функция и ее расширения.
• Модель частицы в потенциальном поле . В этой модели мы рассматриваем частицу как точку массы, которая описывает траекторию в пространстве, которая моделируется функцией, дающей ее координаты в пространстве как функцию времени. Потенциальное поле задается функцией, а траектория, то есть функцией , является решением дифференциального уравнения:${\ Displaystyle V \!: \ mathbb {R} ^ {3} \! \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} \!: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} m = {\ frac {\ partial V [\ mathbf {r} (t)]} {\ partial x}} \ mathbf {\ hat {x}} + {\ frac {\ partial V [\ mathbf {r} (t)]} {\ partial y}} \ mathbf {\ hat {y}} + {\ frac {\ partial V [\ mathbf {r} (t)]} {\ partial z}} \ mathbf {\ hat {z}},}$

что можно также записать как:

${\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - \ nabla V [\ mathbf {r} (t)].}$

Обратите внимание, что эта модель предполагает, что частица является точечной массой, что, как известно, неверно во многих случаях, когда мы используем эту модель; например, как модель движения планет.

• Модель рационального поведения потребителя . В этой модели мы предполагаем, что потребитель сталкивается с выбором из n товаров, обозначенных 1,2, ..., n, каждый с рыночной ценой p ₁ , p ₂ , ..., p _n . Предполагается, что потребитель имеет порядковую функцию полезности U (порядковую в том смысле, что имеет значение только знак различий между двумя полезностями, а не уровень каждой полезности), зависящую от количества товаров x ₁ , x ₂ , ..., x _n израсходовано. Модель также предполагает, что у потребителя есть бюджет.M, который используется для приобретения вектора x ₁ , x ₂ , ..., x _n таким образом, чтобы максимизировать U ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ). Тогда проблема рационального поведения в этой модели становится проблемой математической оптимизации , а именно:

${\displaystyle \max U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

при условии:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M.}$

${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;\forall i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

Эта модель использовалась в самых разных экономических контекстах, например, в теории общего равновесия, чтобы показать существование и эффективность экономического равновесия по Парето .

• Модель определения соседей - это модель, которая объясняет образование грибов из изначально хаотической грибковой сети.
• В информатике математические модели могут использоваться для моделирования компьютерных сетей.
• В механике математические модели могут использоваться для анализа движения модели ракеты.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Книги [ править ]

• Арис, Резерфорд [1978] (1994). Методы математического моделирования , Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-68131-9 
• Бендер, EA [1978] (2000). Введение в математическое моделирование , Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-41180-X 
• Гэри Чартранд (1977) Графы как математические модели , Prindle, Webber & Schmidt ISBN 0871502364 
• Дюбуа, Г. (2018) «Моделирование и симуляция» , Тейлор и Фрэнсис, CRC Press.
• Гершенфельд, Н. (1998) Природа математического моделирования , Cambridge University Press ISBN 0-521-57095-6 . 
• Лин, С.С. и Сегель, Л.А. (1988). Математика в приложении к детерминированным задачам естествознания , Филадельфия: SIAM. ISBN 0-89871-229-7 

Конкретные приложения [ править ]

• Пападимитриу, Фивос. (2010). Математическое моделирование пространственно-экологических сложных систем: оценка. География, окружающая среда, устойчивость 1 (3), 67-80. DOI : 10,24057 / 2071-9388-2010-3-1-67-80
• Пайерлс, Р. (1980). «Моделизм в физике». Современная физика . 21 : 3–17. Bibcode : 1980ConPh..21 .... 3P . DOI : 10.1080 / 00107518008210938 .
• Введение в моделирование инфекционных заболеваний Эмилии Винницки и Ричарда Уайта.

Внешние ссылки [ править ]

Общая ссылка

• Патроне, Ф. Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений , с критическими замечаниями.
• Плюс пакет для учителей и учеников: «Математическое моделирование». Собраны все статьи по математическому моделированию из Plus Magazine , онлайнового математического журнала, выпускаемого проектом Millennium Mathematics Project в Кембриджском университете.

Философский

• Фригг, Р. и С. Хартманн, Модели в науке , в: Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2006 г.)
• Гриффитс, EC (2010) Что такое модель?