 | Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , структура представляет собой набор наделен некоторыми дополнительными функциями на множестве (например, операции , соотношение , метрической или топологии ). [1] Часто дополнительные функции присоединяются к набору или связаны с ним, чтобы придать ему дополнительное значение или значение.
Неполный список возможных структур - это меры , алгебраические структуры ( группы , поля и т. Д.), Топологии , метрические структуры ( геометрии ), порядки , события , отношения эквивалентности , дифференциальные структуры и категории .
Иногда в набор одновременно входит более одной структуры, что позволяет математикам более полно изучать взаимодействие между различными структурами. Например, упорядочение накладывает жесткую форму, форму или топологию на набор, и если набор имеет как структуру топологии, так и структуру группы, так что эти две структуры связаны определенным образом, тогда набор становится топологическим. группа . [2]
Отображения между множествами, которые сохраняют структуры (т. Е. Структуры в домене отображаются в эквивалентные структуры в кодомене ), представляют особый интерес во многих областях математики. Примерами являются гомоморфизмы , сохраняющие алгебраические структуры; гомеоморфизмы , сохраняющие топологические структуры; [3] и диффеоморфизмы , сохраняющие дифференциальные структуры.
История [ править ]
В 1939 году французская группа под псевдонимом Николя Бурбаки увидела в структурах корень математики. Они впервые упомянули о них в своей «Фантазии» теории множеств и расширили ее до главы IV издания 1957 года. [4] Они определили три материнские структуры : алгебраическую, топологическую и упорядоченную. [4] [5]
Пример: действительные числа [ править ]
Набор действительных чисел имеет несколько стандартных структур:
- Порядок: каждое число либо меньше, либо больше любого другого числа.
- Алгебраическая структура: есть операции умножения и сложения, которые превращают его в поле .
- Мера: интервалы вещественной прямой имеют определенную длину , которая может быть расширена до меры Лебега на многих ее подмножествах .
- Метрика: есть понятие расстояния между точками.
- Геометрия: она оснащена метрикой и является плоским .
- Топология: есть понятие открытых множеств .
Среди них есть интерфейсы:
- Его порядок и, независимо, его метрическая структура порождают его топологию.
- Его порядок и алгебраическая структура превращают его в упорядоченное поле .
- Его алгебраическая структура и топология превращают его в группу Ли , тип топологической группы .
См. Также [ править ]
- Абстрактная структура
- Эквивалентные определения математических структур
- Интуиционистская теория типов
- Космос (математика)
Ссылки [ править ]
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Математическая структура" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 9 декабря 2019 .
- Перейти ↑ Saunders, Mac Lane (1996). «Структура в математике» (PDF) . Философия1А Математика1Са . 4 (3): 176.
- ^ Кристиансен, Джейкоб Стордал (2015). «Математические конструкции» (PDF) . maths.lth.se . Проверено 9 декабря 2019 .
- ^ a b Корри, Лео (сентябрь 1992 г.). «Николя Бурбаки и концепция математической структуры». Synthese . 92 (3): 315–348. DOI : 10.1007 / bf00414286 . JSTOR 20117057 . S2CID 16981077 .
- ^ Уэллс, Ричард Б. (2010). Биологическая обработка сигналов и вычислительная нейробиология (PDF) . С. 296–335 . Проверено 7 апреля 2016 года .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Foldes, Стефан (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Хобокен: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118031438.
- Хегедус, Стивен Джон; Морено-Армелла, Луис (2011). «Возникновение математических структур». Образовательные исследования по математике . 77 (2): 369–388. DOI : 10.1007 / s10649-010-9297-7 . S2CID 119981368 .
- Колман, Бернард; Басби, Роберт С.; Росс, Шэрон Катлер (2000). Дискретные математические структуры (4-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
- Малик, Д.С. Сен, МК (2004). Дискретные математические структуры: теория и приложения . Австралия: Thomson / Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3.
- Пудлак, Павел (2013). «Математические конструкции». Логические основы математики и вычислительная сложность - мягкое введение . Чам: Спрингер. С. 2–24. ISBN 9783319001197.
- Сенешаль, М. (21 мая 1993 г.). «Математические структуры». Наука . 260 (5111): 1170–1173. DOI : 10.1126 / science.260.5111.1170 . PMID 17806355 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Структура» . PlanetMath . (дает теоретико-модельное определение.)
- Математические структуры в информатике (журнал)
