Теория динамических систем — это область математики , используемая для описания поведения сложных динамических систем , обычно с помощью дифференциальных уравнений или разностных уравнений . Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами . С физической точки зрения непрерывные динамические системы представляют собой обобщение классической механики , обобщение, в котором уравнения движения постулируются напрямую и не ограничиваются уравнениями Эйлера-Лагранжа принципа наименьшего действия . При использовании разностных уравнений теория называется дискретными динамическими системами . Когда переменная времени пробегает набор, который дискретен на некоторых интервалах и непрерывен на других интервалах или представляет собой любой произвольный набор времени, такой как набор Кантора , можно получить динамические уравнения во временных масштабах . Некоторые ситуации также можно моделировать с помощью смешанных операторов, например дифференциально-разностных уравнений .
Эта теория занимается долгосрочным качественным поведением динамических систем и изучает природу и, когда это возможно, решения уравнений движения систем , которые часто имеют преимущественно механическую или иную физическую природу, таких как планетарные орбиты и поведение электронных схем , а также систем, возникающих в биологии , экономике и других областях. Большая часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических систем .
Эту область исследования также называют просто динамическими системами , математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем .
Теория динамических систем и теория хаоса изучают долгосрочное качественное поведение динамических систем . Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто безнадежно), а, скорее, ответам на такие вопросы, как «Установится ли система в устойчивое состояние в долгосрочной перспективе, и если да, то что?» Возможны ли устойчивые состояния?» или «Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния?»
Важная цель — описать фиксированные точки или устойчивые состояния данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек являются привлекательными , а это означает, что если система начинается в ближайшем состоянии, она сходится к фиксированной точке.
Точно так же нас интересуют периодические точки — состояния системы, которые повторяются через несколько временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательными. Теорема Шарковского представляет собой интересное утверждение о числе периодических точек одномерной дискретной динамической системы.