Форма Маурера – Картана

В математике , то форма Маурера-Картана для группы Ли G является отмеченным дифференциальной один-форма на G , который несет основную бесконечно малую информацию о структуре G . Он часто использовался Эли Картаном в качестве основного ингредиента его метода движущихся рамок и носит его имя вместе с именем Людвига Маурера .

В одной форме, форма Маурера-Картана свойственна тем , что она принимает значения в алгебре Ли , ассоциированной с группой Ли G . Алгебра Ли отождествляется с касательным пространством из G в единице, обозначается Т _е С . Форма Маурера-Картана ω Таким образом , существует один-форма , определенная глобально на G , который является линейное отображение касательного пространства Т _г G на каждом г ∈ G в Т _е G . Он задается как прямой вектор в T _g G по левому - перевод в группе:

${\ displaystyle \ omega (v) = (L_ {g ^ {- 1}}) _ {*} v, \ quad v \ in T_ {g} G.}$

Мотивация и интерпретация [ править ]

Группа Ли действует сама на себя умножением при отображении

${\ Displaystyle G \ раз G \ ni (g, h) \ mapsto gh \ in G.}$

Вопрос о важности для Картана и его современников , как определить главное однородное пространство с G . То есть многообразие P, идентичное группе G , но без фиксированного выбора единичного элемента. Эта мотивация пришла, в частности, от Феликса Клейн «s программ Эрлангена , где один был заинтересованы в понятии симметрии в пространстве, где симметрия пространства было преобразования , образующие группы Ли. Интересующие нас геометрии были однородными пространствами G / H , но обычно без фиксированного выбора начала координат, соответствующего смежному классу eH .

Принципиальным однородное пространство G является многообразием Р абстрактно характеризуется наличием свободного и транзитивное действие из G на P . Форма Маурера – Картана ^[1] дает подходящую инфинитезимальную характеризацию главного однородного пространства. Это одна форма, определенная на P, удовлетворяющая условию интегрируемости, известному как уравнение Маурера – Картана. Используя это условие интегрируемости, можно определить экспоненциальное отображение алгебры Ли и таким образом получить, локально, действие группы на Р .

Строительство [ править ]

Внутренняя конструкция [ править ]

Пусть g T _e G - касательное пространство группы Ли G в единице (ее алгебре Ли ). G действует на себя левым переводом

${\ displaystyle L: G \ times G \ to G}$

такое, что для данного g ∈ G имеем

${\ displaystyle L_ {g}: G \ to G \ quad {\ mbox {where}} \ quad L_ {g} (h) = gh,}$

и это индуцирует отображение касательного расслоения на себя: левоинвариантное векторное поле - это такое сечение X множества T G , что ^[2]${\ displaystyle (L_ {g}) _ {*}: T_ {h} G \ to T_ {gh} G.}$

${\displaystyle (L_{g})_{*}X=X\quad \forall g\in G.}$

Форма Маурера – Картана ω - это g -значная однозначная форма на G, определенная на векторах v ∈ T _g G формулой

${\displaystyle \omega _{g}(v)=(L_{g^{-1}})_{*}v.}$

Внешняя конструкция [ править ]

Если G вложено в GL ( n ) матричнозначным отображением g = ( g _ij ) , то можно явно записать ω как

${\displaystyle \omega _{g}=g^{-1}\,dg.}$

В этом смысле, форма Маурера-Картана всегда левая логарифмическая производная от тождественного отображения G .

Характеристика как связь [ править ]

Если рассматривать группу Ли G в качестве главного расслоения над многообразием , состоящим из одной точки , то форму Маурера-Картанно также можно охарактеризовать отвлеченно как уникальную основную связь на главном расслоении G . В самом деле, это единственная g = T _e G- значная 1 -форма на G, удовлетворяющая

1. ${\displaystyle \omega _{e}=\mathrm {id} :T_{e}G\rightarrow {\mathfrak {g}},{\text{ and}}}$
2. ${\displaystyle \forall g\in G\quad \omega _{g}=\mathrm {Ad} (h)(R_{h}^{*}\omega _{e}),{\text{ where }}h=g^{-1},}$

где R _h * - обратный вызов форм вдоль правого сдвига в группе, а Ad ( h ) - присоединенное действие на алгебре Ли.

Свойства [ править ]

Если X представляет собой поле левоинвариантной вектор на G , то ω ( X ) постоянно на G . Кроме того, если X и Y левоинвариантны, то

${\displaystyle \omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]}$

где скобка слева - это скобка Ли векторных полей , а скобка справа - скобка на алгебре Ли g . (Это можно использовать как определение скобки на g .) Эти факты могут быть использованы для установления изоморфизма алгебр Ли

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G\cong \{{\hbox{left-invariant vector fields on G}}\}.}$

По определению внешней производной , если X и Y - произвольные векторные поля, то

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}$

Здесь ω ( Y ) является г -значная функцию , полученную из двойственности спаривания одной формы Q , с векторным полем Y и Х ( ω ( Y )) является производной Ли этой функции вдоль X . Аналогично Y ( ω ( X )) является производной Ли вдоль Y из г -значная функции Q , ( X ) .

В частности, если X и Y левоинвариантны, то

${\displaystyle X(\omega (Y))=Y(\omega (X))=0,}$

так

${\displaystyle d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]=0}$

но левоинвариантные поля порождают касательное пространство в любой точке (толчок вперед базиса в Т _е G под диффеоморфизму еще базис), так что уравнение справедливо для любой пары векторных полей X и Y . Это известно как уравнение Маурера – Картана . Часто его записывают как

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.}$

Здесь [ω, ω] обозначает скобку алгеброзначных форм Ли .

Рама Маурера – Картана [ править ]

Можно также рассматривать форму Маурера – Картана как построенную из системы отсчета Маурера – Картана . Пусть E _i - базис сечений T G, состоящий из левоинвариантных векторных полей, а θ ^j - двойственный базис сечений T ^* G, таких что θ ^j ( E _i ) = δ _i ^j , символ Кронекера . Тогда E _i - фрейм Маурера – Картана, а θ ⁱ - кофрейм Маурера – Картана .

Поскольку E _i левоинвариантен, применение к нему формы Маурера – Картана просто возвращает значение E _i в тождестве. Таким образом, ω ( E _i ) = E _i ( e ) ∈ g . Таким образом, форму Маурера – Картана можно записать

${\displaystyle \omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{i}.}$

( 1 )

Предположим, что скобки Ли векторных полей E _i имеют вид

${\displaystyle [E_{i},E_{j}]=\sum _{k}{c_{ij}}^{k}E_{k}.}$

Величины c _ij ^k являются структурными константами алгебры Ли (относительно базиса E _i ). Простое вычисление с использованием определения внешней производной d дает

${\displaystyle d\theta ^{i}(E_{j},E_{k})=-\theta ^{i}([E_{j},E_{k}])=-\sum _{r}{c_{jk}}^{r}\theta ^{i}(E_{r})=-{c_{jk}}^{i}=-{\frac {1}{2}}({c_{jk}}^{i}-{c_{kj}}^{i}),}$

так что по двойственности

${\displaystyle d\theta ^{i}=-{\frac {1}{2}}\sum _{jk}{c_{jk}}^{i}\theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.}$

( 2 )

Это уравнение также часто называют уравнением Маурера – Картана . Чтобы связать это с предыдущим определением, которое включало только форму Маурера – Картана ω , возьмем внешнюю производную от (1) :

${\displaystyle d\omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes d\theta ^{i}\,=\,-{\frac {1}{2}}\sum _{ijk}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.}$

Компоненты каркаса даются

${\displaystyle d\omega (E_{j},E_{k})=-\sum _{i}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)=-[E_{j}(e),E_{k}(e)]=-[\omega (E_{j}),\omega (E_{k})],}$

который устанавливает эквивалентность двух форм уравнения Маурера – Картана.

На однородном пространстве [ править ]

Формы Маурера – Картана играют важную роль в методе движущихся реперов Картана . В этом контексте можно рассматривать форму Маурера – Картана как 1 -форму, определенную на тавтологическом главном расслоении, ассоциированном с однородным пространством . Если Н является замкнутой подгруппой из G , то G / H является гладким многообразием размерности тусклый G - тусклый Н . Фактор-отображение G → G / H индуцирует структуру H -главного расслоения над G /H . Форма Маурера – Картана на группе Ли G дает плоскую связность Картана для этого главного расслоения. В частности, если H = { e }, то эта связность Картана является обычной формой связи , и мы имеем

${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0}$

что является условием обращения в нуль кривизны.

В способе перемещения кадров, один иногда рассматривает локальную секцию тавтологического расслоения, скажем s  : G / H → G . (Если вы работаете на подмногообразии однородного пространства, то s должно быть только локальным сечением над подмногообразием.) Обратный вызов формы Маурера – Картана вдоль s определяет невырожденную g -значную 1 -форму θ = s ^* ω над основанием. Из уравнения Маурера – Картана следует, что

${\displaystyle d\theta +{\frac {1}{2}}[\theta ,\theta ]=0.}$

Более того, если s _U и s _V - пара локальных сечений, определенных, соответственно, над открытыми множествами U и V , то они связаны элементом H в каждом слое расслоения:

${\displaystyle h_{UV}(x)=s_{V}\circ s_{U}^{-1}(x),\quad x\in U\cap V.}$

Дифференциал h дает условие совместимости, связывающее два участка в области перекрытия:

${\displaystyle \theta _{V}=\operatorname {Ad} (h_{UV}^{-1})\theta _{U}+(h_{UV})^{*}\omega _{H}}$

где ω _Н является формой Маурера-Картана на группе H .

Система невырожденного г значного 1 -форма θ _U , определенная на открытых множествах в многообразии М , удовлетворяющая структурные уравнения Маурера-Картанно и условие совместимости жертвует многообразие M локально со структурой однородного пространства G / H . Другими словами, существует локально Диффеоморфизм из М в однородном пространстве, таким образом, что & thetas ; _U есть прообраз формы Маурера-Картана вдоль некоторой части тавтологического расслоения. Это следствие существования примитивов производной Дарбу .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Картан, Эли (1904). "Структура бесконечных групп преобразований" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153–206. DOI : 10,24033 / asens.538 .
• Р. У. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Springer-Verlag, Берлин. ISBN 0-387-94732-9.
• Шломо Штернберг (1964). «Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли». Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл. LCCN  64-7993 .