Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Среднее время жизни )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Величина, подверженная экспоненциальному убыванию. Чем больше константа затухания, тем быстрее величина исчезает. Этот график показывает затухание постоянной затухания (λ) 25, 5, 1, 1/5 и 1/25 для x от 0 до 5.

Величина подвержена экспоненциальному убыванию, если она уменьшается со скоростью, пропорциональной ее текущему значению. Символически этот процесс может быть выражен следующим дифференциальным уравнением, где N - величина, а λ (лямбда) - положительная скорость, называемая константой экспоненциального затухания :

Решение этого уравнения (см. Вывод ниже):

где Н ( т ) является величина в момент времени Т , Н 0 = Н (0) начальное количество, то есть величина в момент времени т = 0, а константа λ называется константой распада , постоянная распад , [1 ] константа скорости , [2] или постоянное преобразование . [3]

Измерение скорости распада [ править ]

Средняя продолжительность жизни [ править ]

Если убывающая величина, N ( t ), представляет собой количество дискретных элементов в определенном наборе , можно вычислить среднюю продолжительность времени, в течение которого элемент остается в наборе. Это называется среднее время жизни (или просто жизнь ), где экспоненциальное постоянное время , относится к скорости распада, X, следующим образом:

Среднее время жизни можно рассматривать как «масштабное время», потому что уравнение экспоненциального затухания можно записать в терминах среднего времени жизни , вместо постоянной затухания λ:

и это время, за которое заселенность сборки уменьшается до 1 / e ≈ 0,367879441 раза от ее начального значения.

Например, если начальная популяция узла, Н (0), составляет 1000, то население в момент времени , является 368.

Очень похожее уравнение будет показано ниже, которое возникает, когда основание экспоненты выбирается равным 2, а не е . В этом случае время масштабирования - это «период полураспада».

Half-Life [ править ]

Более интуитивной характеристикой экспоненциального убывания для многих людей является время, необходимое для того, чтобы распадающаяся величина упала до половины своего первоначального значения. (Если N (t) дискретно, то это среднее время жизни, а не среднее время жизни.) Это время называется периодом полураспада и часто обозначается символом t 1/2 . Период полураспада можно записать в терминах постоянной распада или среднего времени жизни как:

Когда это выражение вставлено в экспоненциальное уравнение, приведенное выше, и ln 2 поглощается основанием, это уравнение становится:

Таким образом, количество оставшегося материала составляет 2 -1 = 1/2, увеличенное до (целого или дробного) числа прошедших периодов полураспада. Таким образом, после 3 периодов полураспада останется 1/2 3  = 1/8 исходного материала.

Следовательно, средний срок службы равен периоду полураспада, деленному на натуральный логарифм 2, или:

Например, полоний- 210 имеет период полураспада 138 дней и средний срок жизни 200 дней.

Решение дифференциального уравнения [ править ]

Уравнение, описывающее экспоненциальный распад, имеет вид

или, переставив (применяя технику, называемую разделением переменных ),

Интегрируя, мы имеем

где C - постоянная интегрирования , и, следовательно,

где последняя подстановка, N 0 = e C , получается путем оценки уравнения при t = 0, поскольку N 0 определяется как величина при t = 0.

Это форма уравнения, которая чаще всего используется для описания экспоненциального затухания. Для характеристики распада достаточно любого из значений постоянной распада, среднего времени жизни или периода полураспада. Обозначение λ для постоянной затухания является остатком обычного обозначения для собственного значения . В этом случае λ является собственным значением отрицательного элемента дифференциального оператора с N ( t ) в качестве соответствующей собственной функции . Единицы измерения постоянной распада - с -1 [ необходима цитата ] .

Вывод среднего срока службы [ править ]

Учитывая , сборка элементов, число которых в конечном счете , уменьшается до нуля, в среднее время жизни , (также называемый просто срок службы ) является ожидаемое значение количества времени , прежде чем объект будет удален из сборки. В частности, если индивидуальный срок службы элемента сборки - это время, прошедшее между некоторым эталонным временем и удалением этого элемента из сборки, средний срок службы - это среднее арифметическое отдельных времен жизни.

Исходя из формулы численности населения

сначала пусть c будет нормализующим коэффициентом для преобразования в функцию плотности вероятности :

или, при перестановке,

Экспоненциальный распад является скалярным кратным из экспоненциального распределения (т.е. индивидуального срока службы каждого объекта распределена экспоненциально), которая имеет хорошо известную ожидаемую величину . Мы можем вычислить это здесь, используя интегрирование по частям .

Распад двумя или более процессами [ править ]

Количество может распадаться одновременно в результате двух или более различных процессов. В общем, эти процессы (часто называемые «режимами распада», «каналами распада», «путями распада» и т. Д.) Имеют разную вероятность возникновения и, таким образом, происходят с разной скоростью с разными периодами полураспада параллельно. Полная скорость распада количества  N определяется суммой путей распада; таким образом, в случае двух процессов:

Решение этого уравнения дано в предыдущем разделе, где сумма рассматривается как новая полная постоянная затухания .

Частичная средняя жизнь , связанная с отдельными процессами по определению является мультипликативным обратной соответствующим частичным постоянная распадом: . Комбинированный может быть выражен в единицах s:

Поскольку периоды полураспада отличаются от среднего срока службы на постоянный коэффициент, то же уравнение справедливо в отношении двух соответствующих периодов полураспада:

где - комбинированный или общий период полураспада для процесса, и - так называемые частичные периоды полураспада соответствующих процессов. Термины «частичный период полураспада» и «частичный средний срок службы» обозначают количества, полученные из константы распада, как если бы данная мода распада была единственной модой распада для количества. Термин «частичный период полураспада» вводит в заблуждение, поскольку его нельзя измерить как временной интервал, в течение которого определенное количество уменьшается вдвое .

С точки зрения отдельных констант распада можно показать , что полный период полураспада равен

Для распада в результате трех одновременных экспоненциальных процессов общий период полураспада можно рассчитать, как указано выше:

Серия распадов / связанный распад [ править ]

В ядерной науке и фармакокинетике интересующий агент может находиться в цепочке распада, где накопление регулируется экспоненциальным распадом исходного агента, в то время как сам интересующий агент распадается посредством экспоненциального процесса.

Эти системы решаются с помощью уравнения Бейтмана .

В фармакологии некоторые проглоченные вещества могут всасываться в организм в результате процесса, который можно обоснованно смоделировать как экспоненциальный распад, или могут быть специально сформулированы так, чтобы иметь такой профиль высвобождения.

Приложения и примеры [ править ]

Экспоненциальное затухание происходит в самых разных ситуациях. Большинство из них относятся к области естественных наук .

Многие процессы распада, которые часто рассматриваются как экспоненциальные, на самом деле являются только экспоненциальными, пока образец большой и соблюдается закон больших чисел . Для небольших образцов необходим более общий анализ с учетом пуассоновского процесса .

Естественные науки [ править ]

  • Химические реакции : В скорости некоторых типов химических реакций зависят от концентрации одного или другого реагента . Реакции, скорость которых зависит только от концентрации одного реагента (известные как реакции первого порядка ), следуют экспоненциальному затуханию. Например, многие ферментные - катализируемой реакции ведут себя подобным образом.
  • Электростатика : электрический заряд (или,эквивалентно, потенциал )содержащийся в конденсаторе (емкость С ) изменяетсягеометрической прогрессии, если конденсатор испытывает постоянную внешнюю нагрузку (сопротивление R ). Экспоненциальная постоянная времени τ для процесса равна R C , и, следовательно, период полураспада равен R C ln2. Это относится как к зарядке, так и к разрядке, т. Е. Конденсатор заряжается или разряжается по одному и тому же закону. Те же уравнения можно применить к току в катушке индуктивности. (Кроме того, частный случай конденсатора или катушки индуктивности меняется через несколько параллельно резисторы представляют собой интересный пример множественных процессов распада, причем каждый резистор представляет собой отдельный процесс. Фактически, выражение для эквивалентного сопротивления двух резисторов, включенных параллельно, отражает уравнение для периода полураспада с двумя процессами распада.)
  • Геофизика : Атмосферное давление уменьшается примерно экспоненциально с увеличением высоты над уровнем моря, примерно на 12% на 1000 м. [ необходима цитата ]
  • Теплопередача : если объект с одной температурой подвергается воздействию среды с другой температурой, разница температур между объектом и средой следует экспоненциальному спаду (в пределе медленных процессов; эквивалент «хорошей» теплопроводности внутри объекта, поэтому что его температура остается относительно однородной по всему объему). См. Также закон охлаждения Ньютона .
  • Люминесценция : после возбуждения интенсивность излучения люминесцентного материала, пропорциональная количеству возбужденных атомов или молекул, спадает экспоненциально. В зависимости от количества задействованных механизмов распад может быть моно- или многоэкспоненциальным.
  • Фармакология и токсикология : обнаружено, что многие вводимые вещества распределяются и метаболизируются (см. Клиренс ) в соответствии с экспоненциальными моделями распада. В биологической полужизни «альфа полураспада» и «бета полувыведения» из мера веществакак быстро вещество распределяется и устранен.
  • Физическая оптика : Интенсивность электромагнитного излучения, такого как свет, рентгеновские лучи или гамма-лучи в поглощающей среде, экспоненциально уменьшается с расстоянием до поглощающей среды. Это известно какзакон Бера-Ламберта .
  • Радиоактивность : в образце радионуклида, который подвергается радиоактивному распаду до другого состояния, количество атомов в исходном состоянии следует экспоненциальному распаду до тех пор, пока оставшееся количество атомов велико. Продукт распада называется радиогенным нуклидом.
  • Термоэлектричество : снижение сопротивления термистора с отрицательным температурным коэффициентомпри повышении температуры.
  • Вибрации : некоторые вибрации могут затухать экспоненциально; эта характеристика часто встречается в механических осцилляторах с демпфированием и используется при создании огибающих ADSR в синтезаторах . Система с избыточным демпфированием просто вернется к равновесию в результате экспоненциального затухания.
  • Пивная пена: Арнд Лейке из Мюнхенского университета Людвига-Максимилиана получил Шнобелевскую премию за демонстрацию того, что пивная пена подчиняется закону экспоненциального разложения. [4]

Социальные науки [ править ]

  • Финансы : пенсионный фонд будет экспоненциально распадаться из-за дискретных сумм выплат, обычно ежемесячных, и с учетом постоянной процентной ставки. Дифференциальное уравнение dA / dt = вход - выход может быть записано и решено, чтобы найти время для достижения любой суммы A, остающейся в фонде.
  • В простом глоттохронологии , то (спорно) предположение о постоянной скорости распада в языках позволяет оценить возраст отдельных языков. (Для вычисления времени разделения между двумя языками требуются дополнительные предположения, не зависящие от экспоненциального убывания).

Информатика [ править ]

  • Ядро протокола маршрутизации в Интернете , BGP , должно поддерживать таблицу маршрутизации , чтобы вспомнить пути пакет может быть отклонился. Когда один из этих путей многократно меняет свое состояние с доступного на недоступноенаоборот ), маршрутизатор BGP, контролирующий этот путь, должен многократно добавлять и удалять запись пути из своей таблицы маршрутизации ( меняет путь), таким образом тратя локальные ресурсы, такие как как процессор и оперативная памятьи, более того, широковещательная передача бесполезной информации одноранговым маршрутизаторам. Чтобы предотвратить такое нежелательное поведение, алгоритм с именем « route flapping damping» присваивает каждому маршруту вес, который увеличивается каждый раз, когда маршрут меняет свое состояние, и экспоненциально затухает со временем. Когда вес достигает определенного предела, взмахи больше не производятся, тем самым подавляя маршрут.
Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их приближения 70 / t и 72 / t . В версии SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

См. Также [ править ]

  • Экспоненциальная формула
  • Экспоненциальный рост
  • Радиоактивный распад для математики цепочек экспоненциальных процессов с разными константами

Заметки [ править ]

  1. ^ Serway (1989 , стр. 384)
  2. Симмонс (1972 , стр.15)
  3. ^ Макгроу-Хилл (2007)
  4. ^ Leike, A. (2002). «Демонстрация экспоненциального закона затухания на пивной пене». Европейский журнал физики . 23 (1): 21–26. Bibcode : 2002EJPh ... 23 ... 21L . CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 23/1/304 .

Ссылки [ править ]

  • Энциклопедия науки и технологий Макгроу-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . 2007. ISBN 0-07-144143-3.
  • Serway, Raymond A .; Моисей, Климент Дж .; Мойер, Курт А. (1989), Современная физика , Форт-Уэрт: Харкорт Брейс Йованович , ISBN 0-03-004844-3
  • Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими записками , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716

Внешние ссылки [ править ]

  • Калькулятор экспоненциального распада
  • Стохастическое моделирование экспоненциального затухания
  • Учебник по постоянным времени