Бессеточные методы
В области численного анализа бессеточные методы — это те, которые не требуют связи между узлами области моделирования, т. е. сетки , а основаны на взаимодействии каждого узла со всеми его соседями. Как следствие, исходные экстенсивные свойства, такие как масса или кинетическая энергия, больше не назначаются элементам сетки, а скорее отдельным узлам. Методы без сетки позволяют моделировать некоторые другие сложные типы задач за счет дополнительного времени вычислений и усилий по программированию. Отсутствие сетки позволяет лагранжево моделирование, в котором узлы могут двигаться в соответствии с полем скоростей .
Численные методы, такие как метод конечных разностей , метод конечных объемов и метод конечных элементов , изначально были определены на сетках точек данных. В такой сетке каждая точка имеет фиксированное количество предопределенных соседей, и эту связь между соседями можно использовать для определения математических операторов, таких как производная . Затем эти операторы используются для построения уравнений для моделирования, таких как уравнения Эйлера или уравнения Навье-Стокса .
Но в симуляциях, где моделируемый материал может перемещаться (как в вычислительной гидродинамике ) или где могут возникать большие деформации материала (как в симуляциях пластических материалов ), связность сетки может быть трудно поддерживать без внесения ошибок в симуляция. Если сетка становится запутанной или вырожденной во время моделирования, операторы, определенные для нее, могут больше не давать правильные значения. Сетка может быть воссоздана во время моделирования (процесс, называемый пересозданием сетки), но это также может привести к ошибке, поскольку все существующие точки данных должны быть сопоставлены с новым и другим набором точек данных. Методы без сетки предназначены для решения этих проблем. Методы без сетки также полезны для:
В традиционном конечно-разностном моделировании областью одномерного моделирования была бы некоторая функция , представленная в виде сетки значений данных в точках , где
Мы можем определить производные, которые встречаются в моделируемом уравнении, используя некоторые формулы конечных разностей в этой области, например
Затем мы можем использовать эти определения и его пространственные и временные производные, чтобы записать моделируемое уравнение в форме конечных разностей, а затем смоделировать уравнение одним из многих методов конечных разностей .
