Модальная логика

Схема общей модальной логики

Модальная логика - это набор формальных систем, изначально разработанных и до сих пор широко используемых для представления утверждений о необходимости и возможности . Например, модальная формула может быть прочитана как «если P необходимо, то это также возможно». Эта формула широко считается действительной, когда необходимость и возможность понимаются применительно к знанию, как в эпистемической модальной логике .${\displaystyle \Box P\rightarrow \Diamond P}$

Первые модальные аксиоматические системы были разработаны К. И. Льюисом в 1912 году на основе неформальной традиции, восходящей к Аристотелю . В реляционной семантике для модальной логики была разработана Артуром Prior , Хинтикком и Сол Крипка в середине двадцатого века. В этой семантике формулам присваиваются значения истинности относительно возможного мира . Значение истинности формулы в одном возможном мире может зависеть от значений истинности других формул в других доступных возможных мирах . В частности, в некоторыхдоступный возможный мир, в то время как необходимость сводится к истине во всех доступных возможностях.

Модальную логику часто называют «логикой необходимости и возможности», и такие приложения продолжают играть важную роль в философии языка , эпистемологии , метафизике и формальной семантике . ^[1] Однако математический аппарат модальной логики оказался полезным во многих других областях, включая теорию игр , ^[2] моральную и юридическую теорию , ^[2] веб-дизайн , ^[2] теорию множеств, основанную на мультивселенной , ^[3] и социальную эпистемология . ^[4]Один известный учебник по модельной теории модальной логики предполагает, что ее можно рассматривать в более общем плане как изучение формальных систем, которые принимают местный взгляд на реляционные структуры . ^[5]

Семантика [ править ]

Реляционная семантика [ править ]

Основные понятия [ править ]

Стандартная семантика модальной логики называется реляционной семантикой . При таком подходе истинность формулы определяется относительно точки, которую часто называют возможным миром . Для формулы, содержащей модальный оператор, ее значение истинности может зависеть от того, что истинно в других доступных мирах. Таким образом, реляционная семантика интерпретирует формулы модальной логики с использованием следующих моделей . ^[6]

• Реляционная модель представляет собой кортеж , где:${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle }$

1. ${\displaystyle W}$ это набор возможных миров
2. ${\displaystyle R}$ является бинарным отношением на ${\displaystyle W}$
3. ${\displaystyle V}$это функция оценки, которая присваивает значение истинности каждой паре атомарной формулы и мира (т.е. где - набор атомарных формул)${\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}}$${\displaystyle F}$

Набор часто называют вселенной . Бинарное отношение называется отношением доступности , и оно контролирует, какие миры могут «видеть» друг друга, чтобы определить, что является истинным. Например, означает, что мир доступен из мира . То есть, состояние дел, известное как реальная возможность для . Наконец, функция известна как функция оценки . Он определяет, какие атомные формулы верны в каких мирах. ${\displaystyle W}$${\displaystyle R}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V}$

Затем мы рекурсивно определяем истинность формулы в мире в модели :${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P}$ если только ${\displaystyle V(w,P)=1}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \neg P}$ если только ${\displaystyle w\not \models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)}$если только и${\displaystyle w\models P}$${\displaystyle w\models Q}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Box P}$если для каждого элемента из , если затем${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamond P}$если и только если для некоторого элемента из , то и${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle wRu}$${\displaystyle u\models P}$

Согласно этой семантике, формула необходима по отношению к миру, если она выполняется в каждом мире, доступном из . Это возможно, если оно выполняется в каком-то мире, доступном из . Таким образом, возможность зависит от отношения доступности.${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle R}$, что позволяет нам выразить относительный характер возможности. Например, мы могли бы сказать, что, учитывая наши законы физики, люди не могут путешествовать со скоростью, превышающей скорость света, но что при других обстоятельствах это было бы возможно. Используя отношение доступности, мы можем перевести этот сценарий следующим образом: во всех мирах, доступных нашему собственному миру, люди не могут путешествовать быстрее скорости света, но в одном из этих доступных миров есть другой мир. доступный из этих миров, но недоступный из наших собственных, в которых люди могут путешествовать со скоростью, превышающей скорость света.

Рамки и полнота [ править ]

Иногда одного выбора отношения доступности может быть достаточно, чтобы гарантировать истинность или ложность формулы. Например, рассмотрим модель , отношение доступности которой рефлексивно . Поскольку отношение является рефлексивным, мы будем иметь его для любого, независимо от того, какая функция оценки используется. По этой причине модальные логики иногда говорят о фреймах , которые являются частью реляционной модели, исключающей функцию оценки.${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P}$${\displaystyle w\in G}$

• Реляционная рама представляет собой пару , где есть множество возможных миров, является бинарным отношением на .${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$

Различные системы модальной логики определяются с использованием условий кадра . Рамка называется:

• рефлексивно, если w R w , для каждого w в G
• симметрично, если из w R u следует u R w для всех w и u в G
• транзитивным , если ш Р о и у R Q вместе означают ш R Q , для всех ш , ц , д в G .
• последовательный, если для каждого w в G найдется такой u в G , что w R u .
• Евклидовым , если для любого у , т и ш , ш Р о и ш R т означает у R т (силу симметрии, это также означает , т Р о )

Логика, вытекающая из этих условий фрейма, такова:

• K  : = без условий
• D  : = серийный
• T  : = рефлексивный
• B  : = рефлексивный и симметричный
• S4  : = рефлексивный и переходный
• S5  : = рефлексивный и евклидов

Евклидово свойство наряду с рефлексивностью дает симметрию и транзитивность. (Евклидово свойство также может быть получено из симметрии и транзитивности.) Следовательно, если отношение доступности R рефлексивно и евклидово, R доказуемо симметрично и транзитивно . Следовательно, для моделей S5 R является отношением эквивалентности , потому что R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Мы можем доказать, что эти фреймы порождают тот же набор правильных предложений, что и фреймы, в которых все миры могут видеть все остальные миры W ( то есть , где R - «полное» отношение). Это дает соответствующий модальный граф, который является полностью полным ( т. Е. Нельзя добавить больше ребер (отношений)). Например, в любой модальной логике, основанной на условиях кадра:

${\displaystyle w\models \Diamond P}$тогда и только тогда, когда для некоторого элемента u из G выполняется это и w R u .${\displaystyle u\models P}$

Если мы рассмотрим кадры на основе общего отношения, мы можем просто сказать, что

${\displaystyle w\models \Diamond P}$тогда и только тогда, когда для некоторого элемента u из G это верно .${\displaystyle u\models P}$

Мы можем исключить условие доступности из последнего условия, потому что в таких полных фреймах тривиально верно для всех w и u, что w R u . Но обратите внимание, что это не обязательно для всех фреймов S5, которые по-прежнему могут состоять из нескольких частей, которые полностью связаны между собой, но все еще отсоединены друг от друга.

Все эти логические системы также можно определить аксиоматически, как показано в следующем разделе. Например, в S5, аксиомы , и ( что соответствует симметрии , транзитивность и рефлексивности , соответственно) трюм, в то время как по меньшей мере одна из этих аксиом не выполняются в каждом из других, более слабых логик.${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$${\displaystyle \Box P\implies P}$

Топологическая семантика [ править ]

Модальная логика также интерпретировалась с использованием топологических структур. Например, внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом.

Топологическая модель является кортежем , где это топологическое пространство , и является функцией оценки , которая отображает каждую атомную формулу некоторого подмножество . Базовая внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом:${\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau ,V\rangle }$${\displaystyle \langle X,\tau \rangle }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models P}$ если только ${\displaystyle x\in V(p)}$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \neg \phi }$ если только ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\not \models \phi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi }$если только и${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi }$${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \chi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \Box \phi }$если для некоторых у нас есть и то, и то для всех${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi }$${\displaystyle y\in U}$

Топологические подходы включают реляционные, что позволяет использовать ненормальные модальные логики . Дополнительная структура, которую они предоставляют, также позволяет прозрачно моделировать определенные концепции, такие как свидетельства или обоснование своих убеждений. Топологическая семантика широко используется в недавних работах по формальной эпистемологии и имеет предшественники в более ранних работах, таких как логика для контрфактов Дэвида Льюиса и Анжелики Крацер .

Аксиоматические системы [ править ]

Первые формализации модальной логики были аксиоматическими . Многочисленные варианты с очень разными свойствами были предложены с тех пор, как К.И. Льюис начал работать в этой области в 1912 году. Хьюз и Крессвелл (1996), например, описали 42 нормальных и 25 ненормальных модальных логик. Земан (1973) описывает некоторые системы, которые Хьюз и Крессвелл опускают.

Современные трактовки модальной логики начинаются с дополнения исчисления высказываний двумя унарными операциями, одна обозначает «необходимость», а другая - «возможность». Обозначение К. И. Льюиса , широко используемое с тех пор, обозначает «обязательно p » с помощью префикса «box» (□ p ), объем которого устанавливается круглыми скобками. Точно так же префикс «ромб» (◇ p ) означает «возможно, p ». Независимо от обозначений, каждый из этих операторов определим в терминах другого в классической модальной логике:

• □ p (обязательно p ) эквивалентно ¬ ◇ ¬ p («невозможно, что не- p »)
• ◇ p (возможно, p ) эквивалентно ¬ □ ¬ p («не обязательно не- p »)

Следовательно, □ и ◇ образуют двойственную пару операторов.

Во многих модальных логиках операторы необходимости и возможности удовлетворяют следующим аналогам законов де Моргана из булевой алгебры :

« Не обязательно, чтобы X » логически эквивалентно « Возможно, что не X ».

« Невозможно, чтобы X » логически эквивалентно « Необходимо, чтобы не X ».

Какие именно аксиомы и правила должны быть добавлены к исчислению высказываний, чтобы создать пригодную для использования систему модальной логики, - это вопрос философского мнения, часто основанного на теоремах, которые нужно доказать; или, в информатике, это вопрос того, какую вычислительную или дедуктивную систему вы хотите моделировать. Многие модальные логики, известные вместе как нормальные модальные логики , включают следующее правило и аксиому:

• N , Правило необходимости : если p - теорема (любой системы, вызывающей N ), то □ p также является теоремой.
• K , Аксиома распределения : □ ( p → q ) → (□ p → □ q ).

Самая слабая нормальная модальная логика , названный « K » в честь Солом Крипке , это просто исчисление дополняется □, по правилу N и аксиомы К . K слаб в том, что он не может определить, может ли предложение быть необходимым, а необходимо ли оно только условно. То есть, это не теорема K, что если □ p истинно, то □□ p истинно, т. Е. Что необходимые истины «обязательно необходимы». Если такие недоумения считать вынужденными и искусственными, этот недостаток Kне лучший. В любом случае разные ответы на такие вопросы дают разные системы модальной логики.

Добавление аксиом к K дает начало другим хорошо известным модальным системам. В K нельзя доказать, что если « p необходимо», то p истинно. Аксиома T исправляет этот недостаток:

• T , Аксиома рефлексивности : □ p → p (Если p необходимо, то p имеет место.)

T выполняется в большинстве, но не во всех модальных логиках. Земан (1973) описывает несколько исключений, например S1 ⁰ .

Другие известные элементарные аксиомы:

• 4 :${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$
• B :${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$
• D :${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$
• 5 :${\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}$

В результате получаются системы (аксиомы выделены жирным шрифтом, системы курсивом):

• К  : = К + N
• Т  : = К + Т
• S4  : = T + 4
• S5  : = T + 5
• D  : = K + D .

К через S5 образует вложенную иерархию систем, составляющие ядро нормальной модальной логики . Но определенные правила или наборы правил могут подходить для конкретных систем. Например, в деонтической логике , (если она должна быть , что р , то допускается , что р ) представляется целесообразным, но мы, вероятно , не включают в себя , что . Фактически, поступить так - значит апеллировать к заблуждению природы (то есть заявить, что то, что естественно, также хорошо, сказав, что если p имеет место, p должно быть разрешено).${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$

Обычно используемая система S5 просто делает все модальные истины необходимыми. Например, если p возможно, то «необходимо», чтобы p было возможно. Кроме того, если необходимо p , то необходимо, чтобы p было необходимо. Были сформулированы и другие системы модальной логики, отчасти потому, что S5 не описывает все виды интересующих модальностей.

Теория структурных доказательств [ править ]

Последовательные исчисления и системы естественного вывода были разработаны для нескольких модальных логик, но оказалось, что трудно объединить общность с другими характеристиками, ожидаемыми от хороших структурных теорий доказательства , такими как чистота (теория доказательств не вводит дополнительных логических понятий, таких как метки ) и аналитичность (логические правила поддерживают чистое понятие аналитического доказательства ). Более сложные исчисления были применены к модальной логике для достижения общности.

Методы решения [ править ]

Аналитические таблицы представляют собой наиболее популярный метод принятия решений для модальных логик. ^{[ необходима цитата ]}

Модальная логика в философии [ править ]

Алетическая логика [ править ]

Модальности необходимости и возможности называются алетическими модальностями. Их также иногда называют особыми модальностями, от латинского вида . Модальная логика была сначала разработана для работы с этими концепциями, и только потом была распространена на другие. По этой причине, или , возможно , их близости и простоты, необходимости и возможности часто случайно рассматривается как на предмет модальной логики. Более того, легче осознать релятивизацию необходимости, например, юридической, физической, номологической, эпистемологической и т. Д., Чем осознать релятивизацию других понятий.

В классической модальной логике предложение называется

• возможно, если оно не обязательно ложно (независимо от того, истинно оно или ложно);
• необходимо, если оно не является ложным (т.е. истинным и обязательно истинным);
• условно, если оно не обязательно ложно и не обязательно верно (то есть возможно, но не обязательно верно);
• невозможно, если это не возможно (т.е. ложно и обязательно ложно).

Таким образом, в классической модальной логике понятие возможности или необходимости может рассматриваться как базовое, тогда как другие понятия определяются в терминах этого понятия в манере двойственности Де Моргана . Интуиционистская модальная логика рассматривает возможность и необходимость как несовершенно симметричные.

Например, предположим, что, идя в магазин, мы проезжаем дом Фридриха и замечаем, что свет выключен. На обратном пути замечаем, что они были включены.

• "Кто-то или что-то зажег свет" необходимо .
• «Фридрих включил свет», «Сосед Фридриха Макс включил свет» и «Грабитель по имени Адольф ворвался в дом Фридриха и включил свет» условны .
• Возможны все вышеперечисленные утверждения .
• Это невозможно , что Сократ (который был мертв в течение более чем две тысячи лет) включил свет.

(Конечно, эта аналогия не применяет алетическую модальность по- настоящему строгим образом; для этого нужно было бы аксиоматически сделать такие утверждения, как «люди не могут воскреснуть из мертвых», «Сократ был человеком, а не бессмертный вампир », и« мы не принимали галлюциногенные препараты, которые заставляли нас ложно полагать, что свет включен », до бесконечности . Абсолютная уверенность в истинности или лжи существует только в смысле логически построенных абстрактных понятий, таких как« это невозможно нарисовать треугольник с четырьмя сторонами »и« все холостяки не женаты ».)

Для тех, кто испытывает трудности с представлением о том, что что-то возможно, но не истинно, значение этих терминов можно сделать более понятным, если подумать о множественных «возможных мирах» (в смысле Лейбница ) или «альтернативных вселенных»; что-то «необходимое» верно во всех возможных мирах, что-то «возможное» верно по крайней мере в одном из возможных миров. Эта «семантика возможного мира» формализована семантикой Крипке .

Физическая возможность [ править ]

Что-то физически или номинально возможно, если это разрешено законами физики . ^{[ необходима цитата ]} Например, современная теория допускает существование атома с атомным номером 126 ^[7], даже если таких атомов нет. В противоположность этому , в то время как логически можно ускорить за скорости света , ^[8] современная наука гласит , что это физически невозможно для частиц материала или информации. ^[9]

Метафизическая возможность [ править ]

Философы ^{[ кто? ]} обсуждают, обладают ли объекты свойствами, независимыми от тех, которые продиктованы научными законами. Например, может быть метафизически необходимо, как думали некоторые сторонники физикализма , что все мыслящие существа имеют тела ^[10] и могут ощущать течение времени . Сол Крипке утверждал, что у каждого человека обязательно есть родители, которые у него есть: любой человек с разными родителями не будет одним и тем же человеком. ^[11]

Метафизическая возможность считалась более ограничивающей, чем простая логическая возможность ^[12] (то есть метафизически возможно меньше вещей, чем логически). Однако его точное отношение (если таковое имеется) к логической возможности или к физической возможности является предметом споров. Философы ^{[ кто? ]} также расходятся во мнениях относительно того, необходимы ли метафизические истины просто «по определению», или они отражают некоторые глубинные факты о мире, или что-то совершенно иное.

Эпистемическая логика [ править ]

Эпистемические модальности (от греческого эпистема , знание) имеют дело с определенностью предложений. Оператор □ переводится как «x знает, что…», а оператор ◇ переводится как «Поскольку все x знает, может быть правдой, что…» В обычной речи и метафизические, и эпистемологические модальности часто выражаются одинаковыми словами; могут помочь следующие контрасты:

Человек, Джонс, может обоснованно сказать , как : (1) «Нет, это не возможно , что снежный человек существует, я совершенно уверен , что»; и (2) «Конечно, возможно, что снежные люди могут существовать». Под (1) Джонс подразумевает, что, учитывая всю доступную информацию, не остается никаких сомнений в том, существует ли снежный человек. Это эпистемическое утверждение. В силу (2) он делает метафизическое утверждение о том , что это возможно для Bigfoot существовать, несмотря на то, что он не делает: нет никаких физических или биологических причин, по которым большие, бесперые, двуногие существа с густой шерстью не могли существовать в лесах Северной Америки (независимо от того, существуют они или нет). Точно так же фраза «человек, читающий это предложение, может быть ростом четырнадцати футов и по имени Чад» метафизически верно (такому человеку каким-либо образом не помешают сделать это из-за своего роста и имени), но не алетически верно, если только вы соответствуете этому описанию, и это не соответствует истине с эпистемологической точки зрения, если известно, что людей ростом в четырнадцать футов никогда не существовало.

С другого направления, Джонс мог бы сказать, (3) «Это возможно , что гипотеза Гольдбаха верна, но также возможно , что это ложь», а также (4) « , если это правда, то это всегда верно, и не возможно ложь ". Здесь Джонс означает , что эпистемически возможно , что это является истинным или ложным, ибо все , что он знает (гипотеза Гольдбаха не было доказано истинным или ложным), но если это доказательство (ранее неоткрытых), то было бы показать , что не логически возможно гипотеза Гольдбаха быть ложной там не могло быть множество чисел , которые нарушают его. Логическая возможность - это форма алетическоговозможность; (4) утверждает, возможно ли (т. Е. Логически говоря), что математическая истина была ложной, но (3) утверждает только, возможно ли это, поскольку все, что знает Джонс, (т.е. уверенность), что математическое утверждение либо истинно, либо ложно, и поэтому Джонс снова не противоречит самому себе. Стоит заметить, что Джонс не обязательно прав: возможно (эпистемически), что гипотеза Гольдбаха верна и недоказуема. ^[13]

Эпистемические возможности также влияют на реальный мир в отличие от метафизических возможностей. Метафизические возможности влияют на то, каким может быть мир , но эпистемические возможности влияют на то, каким может быть мир (насколько мы знаем). Предположим, например, что я хочу знать, брать ли зонтик перед уходом. Если вы скажете мне, что « возможно, что на улице идет дождь» - в смысле эпистемической возможности - тогда это повлияет на то, возьму ли я зонтик или нет. Но если вы просто скажете мне, что « возможен дождь снаружи» - в смысле метафизической возможности - тогда мне не лучше для этой части модального просветления.

Некоторые особенности эпистемической модальной логики являются предметом обсуждения. Например, если x знает это p , знает ли x , что он знает это p ? То есть должно ли □ P → □□ P быть аксиомой в этих системах? Хотя ответ на этот вопрос неясен, ^[14] существует по крайней мере одна аксиома, которая обычно включается в эпистемологическую модальную логику, поскольку она минимально верна для всех нормальных модальных логик (см. Раздел, посвященный аксиоматическим системам ):

• K , распределение Аксиома : .${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

Был поставлен вопрос о том, следует ли рассматривать эпистемическую и алетическую модальности отдельно друг от друга. Критика утверждает, что нет реальной разницы между «правдой в мире» (алетическая) и «истиной в сознании человека» (эпистемической). ^[15] Исследование не обнаружило ни одного языка, в котором формально различались бы алетические и эпистемологические модальности, например, с помощью грамматического наклонения . ^[16]

Временная логика [ править ]

Темпоральная логика - это подход к семантике выражений с временем , то есть выражений с квалификацией когда. Некоторые выражения, такие как «2 + 2 = 4», верны всегда, в то время как напряженные выражения, такие как «Джон счастлив», верны только иногда.

В темпоральной логике временные конструкции трактуются в терминах модальностей, где стандартный метод формализации разговора о времени заключается в использовании двух пар операторов, одной для прошлого и одной для будущего (P будет просто означать, что это действительно так что P '). Например:

F P  : Иногда бывает так, что P

G P  : Всегда будет так, что P

П П  : Было время, когда П

H P  : Это всегда было так , что P

Таким образом, мы можем разработать по крайней мере три модальных логики. Например, мы можем указать, что

${\displaystyle \Diamond P}$= P имеет место в некоторый момент времени t

${\displaystyle \Box P}$= P имеет место в каждый момент времени t

Или мы можем торговать этими операторами, чтобы иметь дело только с будущим (или прошлым). Например,

${\displaystyle \Diamond _{1}P}$= F P

${\displaystyle \Box _{1}P}$= G P

или же,

${\displaystyle \Diamond _{2}P}$= P и / или F P

${\displaystyle \Box _{2}P}$= P и G P

Операторы F и G могут показаться изначально чужеродными, но они создают нормальные модальные системы . Заметим , что F P является такой же , как ¬ G ¬ P . Мы можем комбинировать вышеуказанные операторы для формирования сложных операторов. Например, P P → □ P P говорит (эффективно): « Все, что было в прошлом и истинно, необходимо .

Кажется разумным сказать, что, возможно, завтра пойдет дождь, а возможно и не будет; с другой стороны, поскольку мы не можем изменить прошлое, если правда, что вчера шел дождь, то, вероятно, неправда, что вчера дождя не было. Кажется, что прошлое «фиксировано» или необходимо, в отличие от будущего. Иногда это называют случайной необходимостью . Но если прошлое «фиксировано», и все, что есть в будущем, в конечном итоге останется в прошлом, то кажется правдоподобным сказать, что будущие события также необходимы.

Точно так же проблема будущих контингентов рассматривает семантику утверждений о будущем: истинно ли одно из утверждений «Завтра будет морское сражение» или «Морского сражения завтра не будет»? Рассмотрение этого тезиса привело к тому, что Аристотель отверг принцип двухвалентности утверждений, касающихся будущего.

Дополнительные бинарные операторы также имеют отношение к темпоральных логик, QV линейной темпоральной логики .

Версии темпоральной логики можно использовать в информатике для моделирования компьютерных операций и доказательства теорем о них. В одной из версий, ◇ P означает «в будущем при вычислении возможно, что состояние компьютера будет таким, что P истинно»; □ P означает «всегда в будущем при вычислении P будет истинным». В другой версии ◇ P означает «в ближайшем следующем состоянии вычисления P может быть истинным»; □ P означает «в ближайшем следующем состоянии вычисления P будет истинным». Они отличаются выбором отношения доступности.. (P всегда означает «P истинно в текущем состоянии компьютера».) Эти два примера связаны с недетерминированными или не совсем понятными вычислениями; существует множество других модальных логик, специализирующихся на различных типах анализа программ. Каждая из них, естественно, приводит к немного разным аксиомам.

Деонтическая логика [ править ]

Точно так же разговоры о морали или об обязательствах и нормах в целом, похоже, имеют модальную структуру. Разница между «Вы должны сделать это» и «Вы можете сделать это» очень похожа на разницу между «Это необходимо» и «Это возможно». Такая логика называется деонтической , от греческого «долг».

Деонтические логики обычно отсутствуют аксиома T семантически соответствующий рефлексивности отношения достижимости в Крипке семантике : в символах, . Интерпретируя □ как «это обязательно», T неформально говорит, что каждое обязательство истинно. Например, если обязательно не убивать других (т. Е. Убийство запрещено морально), то T означает, что люди на самом деле не убивают других. Очевидно, что следствие неверно.${\displaystyle \Box \phi \to \phi }$

Вместо этого, используя семантику Крипке , мы говорим, что, хотя наш собственный мир не реализует всех обязательств, миры, доступные для него, реализуются (т. Е. T выполняется в этих мирах). Эти миры называются идеализированными мирами. P является обязательным по отношению к нашему собственному миру, если для нашего мира доступны все идеализированные миры, P выполняется. Хотя это была одна из первых интерпретаций формальной семантики, недавно она подверглась критике. ^[17]

Еще один принцип , который часто ( по крайней мере , традиционно) принят в качестве деонтического принципа Д , , что соответствует серийности (или расширяемости или неограниченности) от отношения достижимости . Это воплощение кантовской идеи, что «должно - значит может». (Очевидно, что «может» можно толковать в различных смыслах, например, в моральном или алетическом смысле.)${\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }$

Интуитивные проблемы с деонтической логикой [ править ]

Когда мы пытаемся формализовать этику с помощью стандартной модальной логики, мы сталкиваемся с некоторыми проблемами. Предположим, что у нас есть предложение K : вы украли деньги, а другое предложение Q : вы украли небольшую сумму денег. Теперь предположим, что мы хотим выразить мысль, что «если вы украли немного денег, это должна быть небольшая сумма денег». Есть два вероятных кандидата,

(1) ${\displaystyle (K\to \Box Q)}$

(2) ${\displaystyle \Box (K\to Q)}$

Но (1) и K вместе влекут за собой □ Q , которое говорит о том, что это должно быть так, что вы украли небольшую сумму денег. Это определенно неправильно, потому что вам вообще не следовало ничего воровать. И (2) тоже не работает: если правильное представление «если вы украли деньги, это должна быть небольшая сумма» - это (2), то правильное представление (3) «если вы украли деньги. тогда это должна быть большая сумма » . Теперь предположим (что кажется разумным), что вам не следует ничего воровать, или . Но тогда мы можем вывести через и ( контрапозиции из${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box \lnot K}$${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)}$${\displaystyle \Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle Q\to K}$); так что предложение (3) следует из нашей гипотезы (конечно, та же логика показывает предложение (2)). Но этого не может быть, и неправильно, когда мы используем естественный язык. Сказать кому-то, что они не должны воровать, определенно не означает, что они должны украсть большие суммы денег, если они действительно участвуют в воровстве. ^[18]

Доксастическая логика [ править ]

Доксастическая логика касается логики веры (некоторого набора агентов). Термин доксастический произошел от древнегреческого слова докса, что означает «вера». Как правило, доксастическая логика использует □, часто обозначаемое буквой «B», для обозначения «Считается, что», или, когда оно соотносится с конкретным агентом s, «Считается тем».

Метафизические вопросы [ править ]

В наиболее распространенной интерпретации модальной логики рассматриваются « логически возможные миры». Если утверждение истинно во всех возможных мирах , то это необходимая истина. Если утверждение верно в нашем мире, но не во всех возможных мирах, то это случайная правда. Утверждение, которое истинно в некотором возможном мире (не обязательно в нашем собственном), называется возможной истиной.

Под этой «идиомой возможных миров», утверждающей, что существование снежного человека возможно, но не актуально, говорят: «Существует некоторый возможный мир, в котором существует снежный человек, но в реальном мире снежного человека не существует». Однако неясно, к чему нас обязывает это утверждение. Неужели мы действительно заявляем о существовании возможных миров, столь же реальных, как наш реальный мир, но не реальных? Саул Крипке считает, что термин «возможный мир» употребляется неправильно: термин «возможный мир» - это просто полезный способ визуализации концепции возможности. ^[19]Для него предложения «вы могли бы выбросить 4 вместо 6» и «существует возможный мир, в котором вы выбросили 4, но вы выбросили 6 в реальном мире» не являются существенно разными утверждениями, и ни одно из них не обязывает нас к существованию возможного мира. ^[20] Дэвид Льюис , с другой стороны, прославился тем, что укусил пулю, утверждая, что все просто возможные миры столь же реальны, как и наш собственный, и что то, что отличает наш мир как реальный , просто то, что это действительно наш мир - это Мир. ^[21] Эта позиция является основным принципом модального реализма.Некоторые философы отказываются поддерживать любую версию модального реализма, считая ее онтологически экстравагантной, и предпочитают искать различные способы перефразировать эти онтологические обязательства. Роберт Адамс считает, что «возможные миры» лучше воспринимать как «мировые истории». или согласованные наборы предложений. Таким образом, возможно, что вы выбросили 4, если такое положение дел можно связно описать. ^[22]

Специалисты по информатике обычно выбирают узкоспециализированную интерпретацию модальных операторов, специализированную для определенного типа анализируемых вычислений. Вместо «всех миров» у вас могут быть «все возможные следующие состояния компьютера» или «все возможные будущие состояния компьютера».

Другие приложения [ править ]

Модальная логика начала использоваться в таких областях гуманитарных наук, как литература, поэзия, искусство и история. ^{[23] [24]}

История [ править ]

Основные идеи модальной логики восходят к глубокой древности. Аристотель разработал модальную силлогистику в Книге I своей « Предыдущей аналитики» (гл. 8–22), которую Теофраст попытался улучшить. ^[25] В работе Аристотеля также есть отрывки, такие как знаменитый аргумент о морском сражении в De Interpretatione §9, которые теперь рассматриваются как предвосхищение связи модальной логики с возможностью и временем. В эллинистический период логики Диодор Кронос , Филон Диалектик и стоик Хрисиппкаждая из них разработала модальную систему, которая учитывала взаимоопределимость возможности и необходимости, приняла аксиому Т (см. ниже ) и объединила элементы модальной логики и временной логики в попытках разрешить пресловутый Главный аргумент . ^[26] Самая ранняя формальная система модальной логики была разработана Авиценной , который в конечном итоге разработал теорию « временной модальной» силлогистики. ^[27] Модальная логика как самосознающий субъект во многом обязана трудам схоластов , в частности Уильяма Оккама и Джона Дунса Скота., которые рассуждали неформально в модальной манере, в основном для анализа высказываний о сути и случайности .

К. И. Льюис основал современную модальную логику в серии научных статей, начиная с 1912 г. с «Импликации и алгебры логики». ^{[28] [29]} Льюис был вынужден изобрести модальную логику, и особенно строгую импликацию , на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложь подразумевает любое предложение . ^[30] Эта работа завершилась его книгой « Символическая логика» 1932 года (совместно с Ч. Лэнгфордом ) ^{[31], в} которой были представлены пять систем с S1 по S5 .

После Льюиса модальной логике в течение нескольких десятилетий уделялось мало внимания. Николас Решер утверждал, что это произошло потому, что Бертран Рассел отверг его. ^[32] Однако Ян Дейнозка выступил против этой точки зрения, заявив, что модальная система, которую Дейнозка называет «MDL», описана в работах Рассела, хотя Рассел действительно считал, что концепция модальности «возникла из-за смешения пропозиций с пропозициональными функциями », поскольку он написал в «Анализе материи» . ^[33]

Артур Норман Прайор предупредил Рут Баркан Маркус хорошо подготовиться к дебатам относительно количественной модальной логики с Уиллардом Ван Орманом Куайном из-за предубеждений против модальной логики. ^[34]

Рут К. Баркан (позже Рут Баркан Маркус ) разработала первые аксиоматические системы количественной модальной логики - расширения первого и второго порядка S2 , S4 и S5 Льюиса . ^{[35] [36] [37]}

Современная эра модальной семантики началась в 1959 году, когда Сол Крипке (тогда всего 18-летний студент Гарвардского университета ) представил теперь стандартную семантику Крипке для модальных логик. Их обычно называют семантикой «возможных миров». Крипке и А. Н. Приор ранее довольно долго переписывались. Семантика Крипке в основном проста, но доказательства упрощаются с помощью семантических таблиц или аналитических таблиц , как объяснил Э. У. Бет .

А. Н. Прайор создал современную темпоральную логику , тесно связанную с модальной логикой, в 1957 году, добавив модальные операторы [F] и [P], означающие «в конце концов» и «ранее». Воан Пратт представил динамическую логику в 1976 году. В 1977 году Амир Пнуэли предложил использовать темпоральную логику для формализации поведения постоянно работающих параллельных программ. Ароматизаторы временной логики включают в себя пропозициональную динамической логики (PDL), пропозициональную линейную временную логику (PLTL), линейной временной логики (LTL), вычисление дерева логики (CTL), логика Хеннесси-Milner , и T . ^{[требуется разъяснение ]}

Математическая структура модальной логики, а именно булевых алгебры дополненных унарными операций (часто называемых модальные алгебры ), начал появляться с ОККОМ McKinsey «s 1941 доказательства того, что S2 и S4 разрешимы, ^[38] и достиг полного цветка в работе Альфреда Тарский и его ученик Бьярни Йонссон (Йонссон и Тарски 1951–52). Эта работа показала, что S4 и S5 являются моделями внутренней алгебры , правильным расширением булевой алгебры, первоначально разработанной для определения свойств внутренней и внутренней алгебры.операторы замыкания по топологии . Тексты по модальной логике обычно делают немного больше, чем упоминают ее связь с изучением булевых алгебр и топологии . Подробный обзор истории формальной модальной логики и связанной с ней математики см. В Robert Goldblatt (2006). ^[39]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эта статья включает в себя материал из Бесплатный он-лайн словарь вычислительной , используется с разрешения под GFDL .
• Баркан-Маркус, Рут JSL 11 (1946) и JSL 112 (1947) и "Modalities", OUP, 1993, 1995.
• Бет, Эверт В., 1955. « Семантическое следование и формальная выводимость », Медедлинген ван де Конинклийке, Недерландская академия ван Ветеншаппен, Афделинг Леттеркунде, NR Vol 18, № 13, 1955, стр 309–42. Перепечатано в Jaakko Intikka (ed.) The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, 1969 (методы доказательства семантических таблиц).
• Бет, Эверт В., " Формальные методы: введение в символическую логику и изучение эффективных операций в арифметике и логике ", Д. Рейдель, 1962 г. (методы доказательства семантических таблиц).
• Blackburn, P .; ван Бентем, Дж . ; и Уолтер, Франк; Ред. (2006) Справочник по модальной логике . Северная Голландия.
• Блэкберн, Патрик; де Рийке, Маартен; и Венема, Йде (2001) Modal Logic . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80200-8 
• Чагров Александр; и Захарьящев, Михаил (1997) Модальная логика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853779-4 
• Челлас, Б.Ф. (1980) Модальная логика: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22476-4 
• Крессвелл, MJ (2001) «Модальная логика» в Гобле, Лу; Под ред. Блэквелла. Руководство по философской логике . Бэзил Блэквелл: 136–58. ISBN 0-631-20693-0 
• Примерка, Мелвин; и Мендельсон Р.Л. (1998) Модальная логика первого порядка . Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8 
• Джеймс Гарсон (2006) Модальная логика для философов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-68229-0 . Подробное введение в модальную логику с описанием различных систем вывода и особого подхода к использованию диаграмм для облегчения понимания. 
• Гирле, Род (2000) Модальная логика и философия . Проницательность (Великобритания). ISBN 0-7735-2139-9 . Доказательство деревьями опровержения . Хорошее введение в различные интерпретации модальной логики. 
• Голдблатт, Роберт (1992) «Логика времени и вычисления», 2-е изд., CSLI Lecture Notes No. 7. University of Chicago Press.
• —— (1993) Математика модальности , Лекционные заметки CSLI № 43. University of Chicago Press.
• —— (2006) « Математическая модальная логика: взгляд на ее эволюцию », Габбай, DM; и Вудс, Джон; Ред., Справочник по истории логики, Vol. 6 . Elsevier BV.
• Горе, Раджив (1999) «Табличные методы для модальной и временной логики» в D'Agostino, M .; Gabbay, D .; Haehnle, R .; и Posegga, J .; Eds., Справочник по табличным методам . Kluwer: 297–396.
• Хьюз, Г.Е., и Крессвелл, М.Дж. (1996) Новое введение в модальную логику . Рутледж. ISBN 0-415-12599-5 
• Йонссон Б. и Тарский А. , 1951–52, «Булева алгебра с операторами I и II», American Journal of Mathematics 73 : 891–939 и 74 : 129–62.
• Крахт, Маркус (1999) Инструменты и методы модальной логики , Исследования по логике и основам математики № 142. Северная Голландия.
• Леммон, EJ (со Скоттом, Д. ) (1977) Введение в модальную логику , Серия американских философских ежеквартальных монографий, вып. 11 (Кристер Сегерберг, серия изд.). Бэзил Блэквелл.
• Льюис, CI (вместе с Langford, CH ) (1932). Символическая логика . Репринт Dover, 1959 г.
• Прайор, А. Н. (1957) Время и модальность . Издательство Оксфордского университета.
• Снайдер, Д. Пол «Модальная логика и ее приложения», компания Van Nostrand Reinhold, 1971 (методы дерева доказательства).
• Земан, Дж. Дж. (1973) Модальная логика. Рейдел. Используются польские обозначения .
• «История логики» , Britannica Online .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Рут Баркан Маркус, Механизмы , Oxford University Press, 1993.
• Д.М. Габбай, А. Куруц, Ф. Вольтер и М. Захарьящев, Многомерная модальная логика: теория и приложения , Elsevier, Исследования по логике и основам математики, том 148, 2003, ISBN 0-444-50826-0 . [Охватывает множество разновидностей модальной логики, например временную, эпистемическую, динамическую, описательную, пространственную с единой точки зрения с акцентом на аспекты информатики, например, разрешимость и сложность.] 
• Андреа Боргини, Критическое введение в метафизику модальности , Нью-Йорк: Bloomsbury, 2016.

Внешние ссылки [ править ]

• Интернет-энциклопедия философии :
  • « Модальная логика: современный взгляд » - Йохан ван Бентем.
  • « Модальная логика Рудольфа Карнапа » - М. Дж. Крессвелл.
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • « Модальная логика » - Джеймс Гарсон .
  • « Современные истоки модальной логики » - Роберта Балларин.
  • « Логика доказуемости » - Ринеке Вербрюгге.
• Эдвард Н. Залта , 1995, " Основные понятия модальной логики ".
• Джон Маккарти , 1996, « Модальная логика ».
• Molle - программа для проверки Java для экспериментов с модальной логикой
• Субер, Питер, 2002, " Библиография модальной логики ".
• Список логических систем Список многих модальных логик с источниками, Джон Хэллек.
• Успехи в модальной логике. Раз в два года международная конференция и серия книг по модальной логике.
• S4prover Программа проверки таблиц для логики S4
• « Некоторые замечания по логике и топологии » - Ричард Мут; раскрывает топологическую семантику модальной логики S4.
• LoTREC Самая универсальная программа для доказательства модальных логик от ИРИТ / Тулузского университета.