Теорема о структуре конечно порожденных модулей над областью главных идеалов

В математике , в области абстрактной алгебры , структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов является обобщением фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах и грубо утверждает, что конечно порожденные модули над областью главных идеалов (PID) могут быть однозначно разложены почти таким же образом, как целые числа имеют простую факторизацию . Результат обеспечивает простую основу для понимания различных результатов канонической формы для квадратных матриц над полями .

Когда векторное пространство над полем F имеет конечное множество образующих, то из него можно извлечь базис , состоящий из конечного числа n векторов, и поэтому пространство изоморфно F ⁿ . Соответствующее утверждение с обобщением F на область главных идеалов R уже неверно, поскольку базис для конечно порожденного модуля над R может не существовать. Однако такой модуль по-прежнему изоморфен фактору некоторого модуля Rn с ⁿконечно (чтобы убедиться в этом, достаточно построить морфизм, переводящий элементы канонического базиса ^Rn в образующие модуля, и взять фактор по его ядру ). описать модуль как фактор некоторого R ⁿ по особенно простому подмодулю , и это структурная теорема.

Теорема о структуре конечно порожденных модулей над областью главных идеалов обычно проявляется в следующих двух формах.

Для каждого конечно порожденного модуля $M$ над областью главных идеалов $R$ существует единственная убывающая последовательность собственных идеалов , такая что $M$ изоморфна сумме циклических модулей : ${\ Displaystyle (d_ {1}) \ supseteq (d_ {2}) \ supseteq \ cdots \ supseteq (d_ {n})}$

Образующие идеалов единственны с точностью до умножения на единицу и называются инвариантными факторами M . Поскольку идеалы должны быть правильными, эти факторы сами по себе не должны быть обратимыми (это позволяет избежать тривиальных факторов в сумме), а включение идеалов означает делимость . Свободная часть видна в части разложения, соответствующей факторам . Такие факторы, если таковые имеются, возникают в конце последовательности. ${\ Displaystyle d_ {я}}$ ${\ Displaystyle d_ {1} \, |\, d_ {2} \, |\, \ cdots \, |\, d_ {п}}$ ${\ Displaystyle d_ {я} = 0}$

В то время как прямая сумма однозначно определяется $M$ , изоморфизм, дающий само разложение, вообще говоря, не уникален . Например, если $R$ на самом деле является полем, то все возникающие идеалы должны быть равны нулю, и получается разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму одномерных подпространств ; число таких факторов фиксировано, а именно размерность пространства, но существует большая свобода выбора самих подпространств (если $dim M > 1$ ).