В математике мономиальный базис из кольца многочленов является его основой (как векторного пространства или свободного модуля над полем или кольцом из коэффициентов ) , который состоит из всех одночленов . Мономы образуют базис, потому что каждый многочлен может быть однозначно записан как конечная линейная комбинация одночленов (это непосредственное следствие определения многочлена).
Один неопределенный
Кольцо многочленов К [ х ] из одномерных полиномов над полем К являются К -векторному пространству, которое имеет
как (бесконечный) базис. В более общем смысле, если K - кольцо, то K [ x ] - свободный модуль с тем же базисом.
Многочлены степени не выше d образуют также векторное пространство (или свободный модуль в случае кольца коэффициентов), которое имеет
в качестве основы.
Канонический вид полинома является его выражением на этой основе:
или, используя более короткую сигма-нотацию :
Мономиальный базис естественно тотально упорядочен либо по возрастанию степеней
или по убыванию градуса
Несколько неопределенных
В случае нескольких неопределенных одночлен является продуктом
где неотрицательные целые числа . В видепоказатель степени, равный нулю, означает, что соответствующая неопределенная величина не входит в одночлен; в частности является мономом.
Как и в случае одномерных многочленов, многочлены в образуют векторное пространство (если коэффициенты принадлежат полю) или свободный модуль (если коэффициенты принадлежат кольцу), в основе которого лежит набор всех одночленов, называемый мономиальным базисом .
В однородных многочленов степениобразуют подпространство, в котором есть одночлены степенив качестве основы. Размерность этого подпространства число одночленов степени, который
где - биномиальный коэффициент .
Многочлены степени не выше образуют также подпространство, в котором мономы степени не выше в качестве основы. Число этих одночленов и есть размерность этого подпространства, равная
В отличие от одномерного случая, в многомерном случае нет естественного полного порядка мономиального базиса. Для задач, требующих выбора общего порядка, таких как вычисления базиса Грёбнера , обычно выбирают допустимый мономиальный порядок, то есть полный порядок на множестве мономов такой, что
а также
для каждого одночлена