Теория Морса

В математике , в частности , в дифференциальной топологии , теории Морса дает возможность анализировать топологию в виде многообразия при изучении дифференцируемых функций на этом многообразии. Согласно основным идеям Марстона Морса , типичная дифференцируемая функция на многообразии будет отражать топологию совершенно напрямую. Теория Морса позволяет находить CW-структуры и обрабатывать разложения на многообразиях, а также получать существенную информацию об их гомологиях .

До Морса Артур Кэли и Джеймс Клерк Максвелл разработали некоторые идеи теории Морса в контексте топографии . Морс первоначально применил свою теорию к геодезическим ( критическим точкам на энергии функциональных по дорожкам). Эти методы были использованы в доказательстве Рауля Ботта его теоремы о периодичности .

Аналогом теории Морса для комплексных многообразий является теория Пикара – Лефшеца .

Основные понятия [ править ]

Седловая точка

Рассмотрим, в целях иллюстрации, горный ландшафт M . Если f - функция, отправляющая каждую точку на ее отметку, то обратное изображение точки в - это контурная линия (в более общем смысле, набор уровней ). Каждый компонент связности контурной линии представляет собой точку, простую замкнутую кривую или замкнутую кривую с двойной точкой . Контурные линии также могут иметь точки более высокого порядка (тройные точки и т. Д.), Но они нестабильны и могут быть удалены небольшой деформацией ландшафта. Двойные точки на контурных линиях встречаются в седловых точках. ${\ Displaystyle M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , или проходит. Седловые точки - это точки, где окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и опускается в другом.

Контурные линии вокруг седловой точки

Представьте себе, что этот пейзаж заливают водой. Затем область покрыта водой , когда вода достигает возвышение это , или точки с высотой менее чем или равно . Рассмотрим, как меняется топология этой области по мере подъема воды. Интуитивно кажется, что он не меняется, кроме тех случаев, когда a проходит высоту критической точки ; то есть, точка , в которой градиент от е равно 0 (то есть матрица Якоби действует как линейное отображение из касательного пространства в этой точке в касательном пространстве на ее образ при отображении F ${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$ не имеет максимального ранга). Другими словами, он не меняется, за исключением случаев, когда вода (1) начинает заполнять бассейн, (2) покрывает седловину ( горный перевал ) или (3) погружает вершину.

Тор

Каждой из этих трех типов критических точек - впадин, проходов и пиков (также называемых минимумами, седлами и максимумами) - сопоставляется число, называемое индексом. Интуитивно говоря, индекс критической точки b - это количество независимых направлений вокруг b, в которых f уменьшается. Точнее, индекс невырожденной критической точки b функции f - это размерность наибольшего подпространства касательного пространства к M в точке b, на котором гессиан функции f отрицательно определен. Следовательно, индексы бассейнов, переходов и пиков равны 0, 1 и 2 соответственно.

Определите как . Оставляя контекст топографии, можно провести аналогичный анализ того, как топология изменяется по мере увеличения a, когда M - тор, ориентированный, как на изображении, а f - проекция на вертикальную ось, взяв точку на ее высоту над плоскостью. ${\ displaystyle M ^ {a}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$ ${\ displaystyle M ^ {a}}$

Эти цифры гомотопически эквивалентны.

Начиная с нижней части тора, пусть p , q , r и s будут четырьмя критическими точками с индексами 0, 1, 1 и 2 соответственно. Когда a меньше, чем f ( p ) = 0, то - пустое множество. После того, как a проходит уровень p , когда , то это диск , который гомотопически эквивалентен точке (0-ячейке), которая была «прикреплена» к пустому множеству. Далее, когда a превышает уровень q , а затем ${\ displaystyle M ^ {a}}$ $0<a<f(q)$ $M^{a}$ $f(q)<a<f(r)$ $M^{a}$ представляет собой цилиндр и гомотопически эквивалентен диску с присоединенной 1-ячейкой (изображение слева). Как только a проходит уровень r и f ( r ) < a < f ( s ), тогда M ^a представляет собой тор с удаленным диском, который гомотопически эквивалентен цилиндру с присоединенной 1-ячейкой (изображение справа) . Наконец, когда a больше критического уровня s , - это тор. Тор, конечно, то же самое, что тор с удаленным диском и присоединенным диском (2-ячейкой). $M^{a}$

Таким образом, кажется, что существует следующее правило: топология не меняется, кроме случаев, когда проходит высота критической точки, а когда проходит высота критической точки индекса , к которой присоединяется -ячейка . Это не решает вопроса о том, что происходит, когда две критические точки находятся на одной высоте. Эта ситуация может быть разрешена небольшим изменением f . В случае пейзажа (или многообразия, встроенного в евклидово пространство ), это возмущение может быть просто небольшим наклоном ландшафта или поворотом системы координат. $M^{\alpha }$ $\alpha$ $\alpha$ $\gamma$ $\gamma$ $M^{\alpha }$

Следует проявлять осторожность и проверять невырожденность критических точек. Чтобы увидеть, что может создать проблему, пусть M = R и пусть f ( x ) = x ³ . Тогда 0 является критической точкой f , но топология не меняется, когда α переходит 0. Проблема в том, что вторая производная f также равна 0 в 0, т.е. гессиан f обращается в нуль, и эта критическая точка вырождена. Отметим, что эта ситуация нестабильна: слегка деформируя f , вырожденная критическая точка либо удаляется, либо разбивается на две невырожденные критические точки. $M^{\alpha }$

Формальное развитие [ править ]

Для вещественной гладкой функции F : М → R на дифференцируемом многообразии М , точки , в которых дифференциальное из F обращается в нуль, называются критическими точками из F и их образами при F называются критическими значениями . Если в критической точке b матрица вторых частных производных ( матрица Гессе ) невырождена, то b называется невырожденной критической точкой ; если гессиан особый, то b являетсявырожденная критическая точка .

Для функций

f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots

из R в R , f имеет критическую точку в начале координат, если b = 0, которая является невырожденной, если c ≠ 0 (т.е. f имеет вид a + cx ² + ...), и вырожденной, если c = 0 ( т.е. f имеет вид a + dx ³ + ...). Менее тривиальный пример вырожденной критической точки - начало седла обезьяны .

Индекс из невырожденных критической точки Ь из F представляет размерность наибольшего подпространства касательного пространства к М в Ь , на котором гессиан отрицательно определен . Это соответствует интуитивному представлению о том, что индекс - это количество направлений, в которых f уменьшается. Вырождение и индекс критической точки не зависят от выбора используемой локальной системы координат, как показывает закон Сильвестра .

Лемма Морса [ править ]

Пусть б быть невырожденной критической точкой F : M → R . Тогда существует диаграмма ( х ₁ , х ₂ , ..., х _п ) в окрестности U из б такая , что для всех я и $x_{i}(b)=0$

f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

по всей U . Здесь равен индексу f в точке b . Как следствие леммы Морса, невырожденные критические точки изолированы . (Относительно расширения на комплексную область см. Комплексную лемму Морса . Обобщение см. В лемме Морса – Пале ). $\alpha$

Основные теоремы [ править ]

Гладкая вещественнозначная функция на многообразии M является функцией Морса, если она не имеет вырожденных критических точек. Основной результат теории Морса гласит, что почти все функции являются функциями Морса. Технически функции Морса образуют открытое плотное подмножество всех гладких функций M → R в топологии C ² . Это иногда выражается как «типичная функция Морзе» или « общая функция Морзе».

Как указывалось ранее, нас интересует вопрос, когда топология M ^a = f ⁻¹ (−∞, a ] изменяется при изменении a . Половина ответа на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Предположим, что f - гладкая вещественнозначная функция на M , a < b , f ⁻¹ [ a , b ] компактна и между a и b нет критических значений . Тогда M является диффеоморфен к М ^б , а М ^Ь деформации втягивается на М ^в .

Также интересно знать, как топология M ^a изменяется, когда a проходит критическую точку. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.

Теорема. Предположим, что f - гладкая вещественнозначная функция на M, а p - невырожденная критическая точка f индекса γ и что f ( p ) = q . Предположим, что f ⁻¹ [ q - ε, q + ε] компактно и не содержит критических точек, кроме p . Тогда М ^{д + ε} является гомотопически эквивалентно с М ^{д -ε} с гамма-клетки прилагается.

Эти результаты обобщают и формализуют «правило», изложенное в предыдущем разделе.

Используя два предыдущих результата и тот факт, что функция Морса существует на любом дифференцируемом многообразии, можно доказать, что любое дифференцируемое многообразие является комплексом CW с n -клеткой для каждой критической точки индекса n . Для этого необходим технический факт, что можно организовать одну критическую точку на каждом критическом уровне, что обычно подтверждается использованием градиентных векторных полей для перестановки критических точек.

Неравенства Морса [ править ]

Теория Морса может быть использована для доказательства некоторых сильных результатов о гомологиях многообразий. Количество критических точек индекса γ функции f : M → R равно количеству ячеек γ в структуре CW на M, полученной в результате «лазания» f . Используя тот факт, что альтернированная сумма рангов групп гомологии топологического пространства равна альтернированной сумме рангов цепных групп, из которых вычисляются гомологии, затем, используя клеточные цепные группы (см. Клеточные гомологии ) ясно, что эйлерова характеристика равна сумме $\chi (M)$

\sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)

где C ^γ - количество критических точек индекса γ. Кроме того, с помощью сотовой гомологии, ранг п - ^й группы гомологии комплексного CW М меньше или равно числу из п -клеток в М . Таким образом, ранг гамма - ^й группы гомологии, то есть числа Бетти , меньше или равно числу критических точек индекса гамма функции Морса на M . Эти факты можно усилить, чтобы получить неравенства Морса : $b_{\gamma }(M)$

C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).

В частности, для любых

\gamma \in \{0,\dots ,n=\dim M\},

надо

C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).

Это дает мощный инструмент для изучения топологии многообразий. Предположим, что на замкнутом многообразии существует функция Морса f : M → R с ровно k критических точек. Каким образом существование функции f ограничивает M ? Случай k = 2 изучал Жорж Риб в 1952 г .; Риба сферу теорема утверждает , что М гомеоморфно сфере . Случай k = 3 возможен только в небольшом числе малых размерностей, а M гомеоморфно многообразию Иллса – Койпера . В 1982 году Эдвард Виттен $S^{n}$ разработал аналитический подход к неравенствам Морса, рассматривая комплекс де Рама для возмущенного оператора ^[1]^[2] $d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.$

Приложение к классификации замкнутых двумерных многообразий [ править ]

Теория Морса использовалась для классификации замкнутых двумерных многообразий с точностью до диффеоморфизма. Если M ориентировано, то M классифицируется по своему роду g и диффеоморфно сфере с g ручками: таким образом, если g = 0, M диффеоморфен 2-сфере; и если г > 0, М диффеоморфно связной суммы из г 2-торов. Если N неориентируемо, оно классифицируется числом g > 0 и диффеоморфно связной сумме g вещественных проективных пространств RP ². В частности, два замкнутых 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны. ^[3]^[4]^[5]

Гомология Морса [ править ]

Морс гомология является особенно простым способом понять гомологию из гладких многообразий . Он определяется с использованием общего выбора функции Морса и римановой метрики . Основная теорема состоит в том, что полученные гомологии являются инвариантом многообразия (т. Е. Не зависят от функции и метрики) и изоморфны сингулярным гомологиям многообразия; это означает, что числа Морса и сингулярные числа Бетти согласованы, и дает немедленное доказательство неравенств Морса. Бесконечномерный аналог гомологий Морса в симплектической геометрии известен как гомологии Флоера .

Теория Морса – Ботта [ править ]

Понятие функции Морса можно обобщить для рассмотрения функций, имеющих невырожденные многообразия критических точек. Функция Морса – Ботта - гладкая функция на многообразии, критическое множество которой является замкнутым подмногообразием, а гессиан невырожден по нормали. (Эквивалентно, ядро гессиана в критической точке равно касательному пространству к критическому подмногообразию.) Функция Морса - это частный случай, когда критические многообразия нульмерны (так что гессиан в критических точках невырожден в каждом направление, т.е. не имеет ядра).

Индекс наиболее естественно рассматривать как пару

(i_{-},i_{+}),

где - размерность неустойчивого многообразия в данной точке критического многообразия, и равна плюс размерности критического многообразия. Если функция Морса – Ботта возмущается малой функцией на критическом множестве, индекс всех критических точек возмущенной функции на критическом многообразии невозмущенной функции будет находиться между и . $i_{-}$ $i_{+}$ $i_{-}$ $i_{-}$ $i_{+}$

Функции Морса – Ботта полезны, потому что с общими функциями Морса трудно работать; Функции, которые можно визуализировать и с помощью которых можно легко вычислить, обычно имеют симметрии. Они часто приводят к критическим многообразиям положительной размерности. Рауль Ботт использовал теорию Морса – Ботта в своем первоначальном доказательстве теоремы периодичности Ботта .

Круглые функции являются примерами функций Морса – Ботта, где критические множества являются (непересекающимися объединениями) окружностей.

Гомологии Морса также могут быть сформулированы для функций Морса – Ботта; дифференциал в гомологиях Морса – Ботта вычисляется с помощью спектральной последовательности . Фредерик Буржуа набросал подход в ходе своей работы над версией симплектической теории поля Морса – Ботта, но эта работа так и не была опубликована из-за существенных аналитических трудностей.

См. Также [ править ]

Теория мин-макс Альмгрена – Питтса
Цифровая теория Морзе
Дискретная теория Морса
Набор Якоби
Лагранжев грассманиан
Категория Люстерника – Шнирельмана
Система Морса – Смейла
Теорема о горном перевале
Лемма Сарда
Стратифицированная теория Морса

Ссылки [ править ]

^ Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . J. Differential Geom. 17 (4): 661–692. DOI : 10.4310 / JDG / 1214437492 .
^ Роу, Джон (1998). Эллиптические операторы, топология и асимптотический метод . Pitman Research Notes in Mathematics Series. 395 (2-е изд.). Лонгман. ISBN 0582325021.
^ Смейл 1994 ^[^{требуется полная ссылка}^]
^ Голд, Дэвид Б. (1982). Дифференциальная топология: введение . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. 72 . Марсель Деккер. ISBN 0824717090.
^ Шастри, Анант Р. (2011). Элементы дифференциальной топологии . CRC Press. ISBN 9781439831601.

Дальнейшее чтение [ править ]

Ботт, Рауль (1988). "Неукротимая теория Морса" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99–114. DOI : 10.1007 / bf02698544 .
Ботт, Рауль (1982). «Лекции по теории Морса, старые и новые» . Бюллетень Американского математического общества . (NS). 7 (2): 331–358. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1982-15038-8 .
Кэли, Артур (1859). «По изолинии и наклонным линиям» (PDF) . Философский журнал . 18 (120): 264–268.
Гость, Мартин (2001). «Теория Морса в 1990-е годы». arXiv : математика / 0104155 . Cite journal requires |journal= (help)
Хирш, М. (1994). Дифференциальная топология (2-е изд.). Springer.
Мацумото, Юкио (2002). Введение в теорию Морса .
Максвелл, Джеймс Клерк (1870). «На холмах и долинах» (PDF) . Философский журнал . 40 (269): 421–427.
Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9. Классический расширенный справочник по математике и математической физике.
Милнор, Джон (1965). Лекции по теореме о h-кобордизме (PDF) .
Морс, Марстон (1934). Вариационное исчисление в целом . Публикация коллоквиума Американского математического общества. 18 . Нью-Йорк.
Шварц, Маттиас (1993). Гомологии Морса . Birkhäuser.

[1] Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . J. Differential Geom. 17 (4): 661–692. DOI : 10.4310 / JDG / 1214437492 .

[2] Роу, Джон (1998). Эллиптические операторы, топология и асимптотический метод . Pitman Research Notes in Mathematics Series. 395 (2-е изд.). Лонгман. ISBN 0582325021.

[3] Смейл 1994 ^[^{требуется полная ссылка}^]

[4] Голд, Дэвид Б. (1982). Дифференциальная топология: введение . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. 72 . Марсель Деккер. ISBN 0824717090.

[5] Шастри, Анант Р. (2011). Элементы дифференциальной топологии . CRC Press. ISBN 9781439831601.