В математической теории систем , многомерная система или система мД представляет собой систему , в которой не только одна независимая переменная существует (например , время), но есть несколько независимых переменных.
Важные проблемы , такие как факторизация и стабильности в м -Д систем ( т > 1) в последнее время привлекают интерес многих исследователей и практиков. Причина заключается в том, что разложение и стабильность не является простым расширением факторизации и устойчивости 1-D систем , так как , например, основная теорема алгебры не существует в кольце от м -D ( м > 1) многочленов .
Линейная многомерная модель в пространстве состояний
Модель в пространстве состояний - это представление системы, в которой влияние всех «предшествующих» входных значений содержится в векторе состояния. В случае системы m -d каждое измерение имеет вектор состояния, который содержит влияние предыдущих входных данных относительно этого измерения. Совокупность всех таких размерных векторов состояния в точке составляет полный вектор состояния в точке.
Рассмотрим равномерную дискретную пространственную линейную двумерную (2d) систему, инвариантную в пространстве и причинную. Его можно представить в матрично-векторной форме следующим образом: [3] [4]
Представьте входной вектор в каждой точке от , выходной вектор по вектор горизонтального состояния а вертикальный вектор состояния равен . Тогда операция в каждой точке определяется следующим образом:
где а также матрицы соответствующих размеров.
Эти уравнения можно записать более компактно, объединив матрицы:
Данные входные векторы в каждой точке и значениях начального состояния значение каждого выходного вектора может быть вычислено путем рекурсивного выполнения операции, описанной выше.
Многомерная передаточная функция
Дискретная линейная двумерная система часто описывается уравнением в частных разностях в виде:
где это вход и это выход в точке а также а также - постоянные коэффициенты.
Чтобы получить передаточную функцию для системы, 2d Z- преобразование применяется к обеим сторонам приведенного выше уравнения.
Транспонирование дает передаточную функцию :
Таким образом, для любого шаблона входных значений вычисляется 2d Z -преобразование шаблона, а затем умножается на передаточную функцию.произвести Z- преобразование вывода системы.
Реализация 2-й передаточной функции
Часто обработка изображений или другая вычислительная задача описывается передаточной функцией, которая имеет определенные свойства фильтрации, но желательно преобразовать ее в форму пространства состояний для более прямых вычислений. Такое преобразование называется реализацией передаточной функции.
Рассмотрим 2-мерную линейную пространственно-инвариантную причинную систему, имеющую отношение ввода-вывода, описываемое следующим образом:
По отдельности рассматриваются два случая: 1) нижнее суммирование - это просто константа 1 2) верхнее суммирование - это просто константа. Случай 1 часто называют случаем «все нули» или «конечной импульсной характеристикой», тогда как случай 2 называют случаем «всеполюсной» или «бесконечной импульсной характеристикой». Общая ситуация может быть реализована как каскад из двух отдельных случаев. Решение для случая 1 значительно проще, чем для случая 2, и показано ниже.
Пример: все нулевые или конечные импульсные характеристики
Векторы пространства состояний будут иметь следующие размеры:
а также
Каждый член в суммировании включает отрицательную (или нулевую) степень и из которые соответствуют задержке (или сдвигу) по соответствующему размеру входа . Эта задержка может быть произведена путем размещенияпо супердиагонали в . а также матрицы и умножающие коэффициенты на соответствующих позициях в . Значение находится в верхнем положении матрица, которая умножит вход и добавьте его к первому компоненту вектор. Кроме того, значение помещается в матрица, которая умножит ввод и добавьте его к выходу . Матрицы выглядят следующим образом:
Перейти ↑ Bose, NK, ed. (1985). Теория многомерных систем, прогресс, направления и открытые проблемы в многомерных системах . Дордре http, Голландия: издательство D. Reidel Publishing Company.
^Бозе, Н.К., изд. (1979). Многомерные системы: теория и приложения . IEEE Press.
^ а бЦафестас, С.Г., изд. (1986). Многомерные системы: методы и приложения . Нью-Йорк: Марсель-Деккер.
^ а бКачорек, Т. (1985). Двумерные линейные системы . Конспект лекций. и Информ. Наук. 68 . Springer-Verlag.