Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Для подсчета можно использовать натуральные числа (одно яблоко , два яблока, три яблока, ...)

В математике , что натуральные числа являются те , которые используются для подсчета (как в «есть шесть монет на стол») и упорядочении (как в «это третий по величине город в стране»). В общей математической терминологии слова, которые в просторечии используются для подсчета, - это « количественные числа », а слова, используемые для упорядочивания, - « порядковые числа ». Натуральные числа могут иногда появляться как удобный набор кодов (ярлыков или «имен»), то есть как то, что лингвисты называют номинальными числами., отказавшись от многих или всех свойств числа в математическом смысле. Набор натуральных чисел часто обозначается символом . [1] [2] [3]

В некоторых определениях, включая стандарт ISO 80000-2 , [4] [a] натуральные числа начинаются с 0 , соответствующего неотрицательным целым числам 0, 1, 2, 3, ... (часто вместе обозначаются символом или для подчеркивания того, что включен ноль), тогда как другие начинаются с 1, что соответствует положительным целым числам 1 , 2 , 3 , ... (иногда вместе обозначаются символом или для подчеркивания того, что ноль исключен). [5] [6] [b]

Тексты, исключающие ноль из натуральных чисел, иногда относятся к натуральным числам вместе с нулем как к целым числам , тогда как в других письменных источниках этот термин используется вместо целых чисел (включая отрицательные целые числа). [7] [ сомнительно ]

Натуральные числа являются базисом, на основе которого могут быть построены многие другие числовые наборы путем расширения: целые числа , включая (если еще не включены ) нейтральный элемент 0 и аддитивный обратный элемент (- n ) для каждого ненулевого натурального числа n ; на рациональные числа , путем включения в мультипликативный обратный (1/п ) для каждого ненулевого целого числа n (а также произведения этих обратных чисел на целые числа); что действительные числа пути включения с рациональными числами в пределах от (сходящихся) последовательности Коши рациональных чисел; что комплексные числа , путем включения с действительными числами неразрешенный квадратный корень минус единицы (а также суммы и изделия из них); и так далее. [c] [d] Эти цепочки расширений делают натуральные числа канонически вложенными (идентифицированными) в другие системы счисления.

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел , изучаются в теории чисел . Проблемы, касающиеся подсчета и упорядочения, такие как разбиение и перечисление , изучаются в комбинаторике .

В общем языке, особенно в начальных школах образования, натуральные числа можно назвать числом подсчета [8] , чтобы интуитивно исключить отрицательные целые числа и нуль, а также противопоставить дискретность из подсчета к непрерывности в измерении - отличительная черта характеристика действительных чисел .

История [ править ]

Древние корни [ править ]

Кость ишанго (на выставке в Королевском бельгийском институте естественных наук ) [9] [10] [11] , как полагают, были использованы 20000 лет назад для натурального числа арифметических действий .

Самый примитивный способ представления натурального числа - поставить отметку за каждый предмет. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток - вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением в абстракции было использование цифр для обозначения чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с четкими иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака , датируемой приблизительно 1500 г. до н. Э. И ныне находящейся в Лувре в Париже, 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. У вавилонян была метательная ценностьсистема, основанная в основном на цифрах для 1 и 10, с использованием шестидесяти, так что символ для шестидесяти был таким же, как и символ для единицы - его значение определялось из контекста. [12]

Гораздо более поздним достижением было развитие идеи о том, что  0 можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опустили такую ​​цифру, когда она была последним символом в числе. [е] ольмеков и майя цивилизации использовали 0 в качестве отдельного числа , как уже в BCE 1 - ого столетия , но это использование не распространился за пределы Мезоамерики . [14] [15] Использование цифры 0 в наше время возникло у индийского математика Брахмагупты.в 628 г. н.э. Тем не менее, 0 использовался в качестве числа в средневековом вычислении (вычислении даты Пасхи ), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 году н.э., без обозначения цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа для 0). Вместо этого nulla (или родительный падеж nullae ) от nullus , латинского слова, означающего «нет», использовался для обозначения значения 0. [16]

Первое систематическое изучение чисел как абстракций обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, иногда даже не как к числу. [f] Евклид , например, сначала определил единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом, и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц являются а 2). [18]

Независимые исследования численности также проводились примерно в то же время в Индии , Китае и Мезоамерике . [19]

Современные определения [ править ]

В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Школа [ какая? ] Из натурализма заявил , что натуральные числа являются прямым следствием человеческой психики. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников, как и Леопольд Кронекер , который резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека». [грамм]

В противовес натуралистам конструктивисты видели необходимость улучшить логическую строгость в основах математики . [h] В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Позже были построены два класса таких формальных определений; позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге . Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, включая парадокс Рассела . Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов. [22]

Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом , уточнен Ричардом Дедекиндом и исследован Джузеппе Пеано ; этот подход теперь называется арифметикой Пеано . Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равнозначна нескольким слабым системам теории множеств. Одна из таких систем - ZFC, в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Теоремы, которые можно доказать в ZFC, но нельзя доказать с помощью аксиом Пеано, включаютТеорема Гудштейна . [23]

Во всех этих определениях удобно включать 0 (соответствующий пустому набору ) как натуральное число. Включение 0 в настоящее время является обычным явлением среди теоретиков множеств [24] и логиков . [25] Другие математики также включают 0, [a], а компьютерные языки часто начинают с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и элементы строк или массивов . [26] [27] С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом. [28]

Обозначение [ править ]

Символ заглавной буквы N с двойным зачеркиванием , часто используемый для обозначения набора всех натуральных чисел (см. Список математических символов ).

Математики используют N или (N на доске жирным шрифтом ; Unicode : ℕ) для обозначения набора всех натуральных чисел. [1] [2] [29] Старые тексты также иногда использовали J в качестве символа для этого набора. [30]

Поскольку с токенами 0 и 1 обычно связаны различные свойства (например, нейтральные элементы для сложения и умножения соответственно), важно знать, какая версия натуральных чисел используется в рассматриваемом случае. Это можно сделать с помощью пояснения в прозе, явного написания набора или определения универсального идентификатора надстрочным или нижним индексом, [4] [31], например, следующим образом:

  • Натуральные без нуля:
  • Натуральные с нулем:

В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественным образом встраиваются в целые числа , они могут называться положительными или неотрицательными целыми числами соответственно. [32] Чтобы однозначно определить, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) «0», а во втором - верхний индекс « * » (или нижний индекс «1»). : [5] [4]

Свойства [ править ]

Бесконечность [ править ]

Множество натуральных чисел - бесконечное множество . По определению такая бесконечность называется счетной бесконечностью . Говорят, что все множества, которые могут быть поставлены в взаимно однозначное отношение к натуральным числам, имеют такую ​​бесконечность. Это также выражается, говоря , что кардинальное число множества является алеф-ноль ( 0 ). [33]

Дополнение [ править ]

Учитывая набор натуральных чисел и функцию-преемник, отправляющую каждое натуральное число следующему, можно рекурсивно определить сложение натуральных чисел, установив a + 0 = a и a + S ( b ) = S ( a + b ) для всех а , б . Тогда (ℕ, +) - коммутативный моноид с единицей  0. Это свободный моноид с одной образующей. Этот коммутативный моноид удовлетворяет cancellation , поэтому его можно встроить в группу . Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, - это целые числа .

Если 1 определяется как S (0) , то b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . То есть b + 1 - это просто преемник b .

Умножение [ править ]

Аналогично, учитывая, что сложение было определено, оператор умножения может быть определен через a × 0 = 0 и a × S ( b ) = ( a × b ) + a . Это превращает (ℕ * , ×) в свободный коммутативный моноид с единицей 1; генераторная установка для этого моноида - набор простых чисел .

Связь между сложением и умножением [ править ]

Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа примером коммутативного полукольца . Полукольца - это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие добавок инверсий, что эквивалентно тому , что не закрытпри вычитании (то есть, вычитая одно из другого естественного не всегда приводит к другому физическому), означает , что является не кольцо ; вместо этого это полукольцо (также известное как риг ).

Если натуральные числа взяты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как и выше, за исключением того, что они начинаются с a + 1 = S ( a ) и a × 1 = a .

Заказать [ редактировать ]

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b , [34] и предполагается стандартный порядок операций .

Общий порядок на множестве натуральных чисел определяется позволяя сЬ тогда и только тогда , когда существует другое натуральное число C , где + с = б . Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если a , b и c - натуральные числа и ab , то a + cb + c и acbc .

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди упорядоченных множеств выражается порядковым номером ; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).

Подразделение [ править ]

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b , и предполагается стандартный порядок операций .

Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деления с остатком или евклидова деления доступна в качестве замены: для любых двух натуральных чисел a и b с b 0 существует натуральные числа q и r такие, что

Число q называется частным, а r - остатком от деления a на  b . Числа q и r однозначно определяются a и  b . Это евклидово деление является ключом к ряду других свойств ( делимость ), алгоритмов (таких как алгоритм Евклида ) и идей теории чисел.

Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа [ править ]

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, как определено выше, обладают несколькими алгебраическими свойствами:

  • Замыкание при сложении и умножении: для всех натуральных чисел a и b оба a + b и a × b являются натуральными числами. [35]
  • Ассоциативность : для всех натуральных чисел a , b и c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a × ( b × c ) = ( a × b ) × c . [36]
  • Коммутативность : для всех натуральных чисел a и b , a + b = b + a и a × b = b × a . [37]
  • Существование элементов идентичности : для любого натурального числа a , a + 0 = a и a × 1 = a .
  • Дистрибутивность умножения над сложением для всех натуральных чисел a , b и c : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
  • Никаких ненулевых делителей нуля : если a и b натуральные числа такие, что a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба).

Обобщения [ править ]

Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух способов использования счета и упорядочивания: кардинальных чисел и порядковых чисел .

  • Натуральное число может использоваться для выражения размера конечного множества; точнее, кардинальное число - это мера размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Эта концепция «размера» основана на отображении между наборами, так что два набора имеют одинаковый размер , если между ними существует взаимное соответствие . Множество натуральных чисел самого, и любой биективным образом его, как говорят, счетные и иметь кардинальности алеф-нуль ( 0 ).
  • Натуральные числа также используются как лингвистические порядковые числа : «первое», «второе», «третье» и так далее. Таким образом, они могут быть отнесены к элементам полностью упорядоченного конечного множества, а также к элементам любого хорошо упорядоченного счетно бесконечного множества. Это присвоение можно обобщить на общие порядки, мощность которых превышает счетность, чтобы получить порядковые числа. Порядковый номер может также использоваться для описания понятия «размер» для хорошо упорядоченного множества в смысле, отличном от количества элементов: если существует изоморфизм порядка (больше, чем биекция!) Между двумя хорошо упорядоченными наборами, они имеют одинаковый порядковый номер. Первое порядковое число, которое не является натуральным числом, выражается как ω; это также порядковый номер самого набора натуральных чисел.

Мере порядковое число мощности 0 (то есть, начальное порядковое из 0 ) является ω , но многие вполне упорядоченных множеств с кардинальным числом 0 имеют порядковый номер больше , чем со .

Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и кардинальными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом - количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в большей конечной или бесконечной последовательности .

Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка), была разработана Сколемом в 1933 году. Сверхъестественные числа - это несчетная модель, которая может быть построена из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции .

Жорж Риб имел обыкновение провокационно утверждать, что наивные целые числа не заполняют . Другие обобщения обсуждаются в статье о числах .

Формальные определения [ править ]

Аксиомы Пеано [ править ]

Многие свойства натуральных чисел можно вывести из пяти аксиом Пеано : [38] [i]

  1. 0 - натуральное число.
  2. У каждого натурального числа есть последователь, который также является натуральным числом.
  3. 0 не является наследником какого-либо натурального числа.
  4. Если преемник равен преемнику , то равен .
  5. Аксиома индукции : Если утверждение верно 0, и если истина этого утверждения для ряда предполагает его истинность для преемника этого числа, то утверждение верно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. В некоторых формах аксиом Пеано 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником является . Заменяя аксиому 5 схемой аксиом, мы получаем (более слабую) теорию первого порядка, называемую арифметикой Пеано .

Конструкции на основе теории множеств [ править ]

Порядковые числа фон Неймана [ править ]

В области математики, называемой теорией множеств , конкретная конструкция Джона фон Неймана [39] [40] определяет натуральные числа следующим образом:

  • Установите 0 = {} , пустой набор ,
  • Определим S ( a ) = a ∪ { a } для каждого множества a . S ( a ) является преемником a , а S называется функцией-преемником .
  • По аксиоме бесконечности существует множество, содержащее 0 и замкнутое относительно функции-преемника. Такие множества называются индуктивными . Пересечение всех таких индуктивных множеств определяется как множество натуральных чисел. Можно проверить, что множество натуральных чисел удовлетворяет аксиомам Пеано .
  • Отсюда следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его:
  • 0 = {} ,
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{}} ,
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{}, {{}}} ,
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} ,
  • n = n −1 ∪ { n −1} = {0, 1, ..., n −1} = {{}, {{}}, ..., {{}, {{}}, .. .}} и т. д.

При таком определении, натуральное число п является конкретный набор с п элементов, а пм тогда и только тогда , когда п является подмножеством из м . Стандартное определение, которое теперь называется определением ординалов фон Неймана, гласит : «Каждый ординал - это упорядоченный набор всех меньших ординалов».

Кроме того , с этим определением, различные возможные интерпретации обозначений , как п ( п -наборов против отображений п Into ) совпадают.

Даже если кто-то не принимает аксиому бесконечности и, следовательно, не может принять, что набор всех натуральных чисел существует, все же возможно определить любое из этих множеств.

Порядковые числа Цермело [ править ]

Хотя стандартная конструкция полезна, это не единственно возможная конструкция. Конструкция Эрнста Цермело выглядит следующим образом: [40]

  • Установите 0 = {}
  • Определим S ( a ) = { a } ,
  • Отсюда следует, что
  • 0 = {} ,
  • 1 = {0} = {{}} ,
  • 2 = {1} = {{{}}} ,
  • n = { n −1} = {{{...}}} и т. д.
Тогда каждое натуральное число равно множеству, содержащему только предшествующее ему натуральное число. Это определение ординалов Цермело . В отличие от конструкции фон Неймана, порядковые числа Цермело не учитывают бесконечные порядковые числа.

См. Также [ править ]

  • Проблема идентификации Бенацеррафа
  • Каноническое представление положительного целого числа
  • Счетный набор
  • Номер # Классификация для других систем счисления (рациональные, действительные, сложные и т. Д.)
  • Порядковый номер
  • Теоретико-множественное определение натуральных чисел

Примечания [ править ]

  1. ^ Б Маклейн и Биркгоф (1999 ., Стр 15) включают в себя нуль в натуральных чисел: «Наглядно, множество ℕ = {0, 1, 2, ...} всех натуральных чисел может быть описан следующим образом : содержит «начальное» число 0; ... '. Они следуют этому в своей версии постулатов Пеано.
  2. ^ Карозерс (2000 , стр. 3) говорит: « - это множество натуральных чисел (положительных целых чисел)». Оба определения признаются всякий раз, когда это удобно, и нет единого мнения о том, следует ли включать ноль в качестве натуральных чисел. [2]
  3. ^ Мендельсон (2008 , стр. X) говорит: «Вся фантастическая иерархия систем счисления построена чисто теоретико-множественными средствами из нескольких простых предположений о натуральных числах». (Предисловие ( стр. X ) )
  4. ^ Блюман (2010 , стр. 1): «Числа составляют основу математики».
  5. Табличка, найденная в Кише, датируется примерно 700 годом до нашей эры. В ней используются три крючка для обозначения пустого места в позиционном обозначении. В других таблицах, датируемых примерно тем же временем, используется единственный крючок для пустого места. [13]
  6. ^ Это соглашение используется, например, в «Элементах» Евклида , см. Интернет-издание Д. Джойса Книги VII. [17]
  7. ^ Английский перевод - от Грея. В сноске Грей приписывает немецкую цитату: «Weber 1891–1892, 19, цитата из лекции Кронекера 1886 года». [20] [21]
  8. ^ «Большая часть математических работ двадцатого века была посвящена исследованию логических основ и структуры предмета». ( Eves 1990 , стр. 606)
  9. ^ Гамильтон (1988 , стр. 117 и далее) называет их «Постулатами Пеано» и начинается с «1.  0 - натуральное число».
    Халмос (1960 , с. 46) использует язык теории множеств вместо языка арифметики для своих пяти аксиом. Он начинает с «(I) 0 ∈ ω (где, конечно, 0 = » ( ω - множество всех натуральных чисел). Мораш (1991) дает «аксиому из двух частей», в которой натуральные числа начинаются с 1. (Раздел 10.1: Аксиоматизация для системы положительных целых чисел )  

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 1 марта 2020 . Дата обращения 11 августа 2020 .
  2. ^ a b c Вайсштейн, Эрик В. «Натуральное число» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 11 августа 2020 .
  3. ^ "Натуральные числа" . Блестящая вики по математике и науке . Дата обращения 11 августа 2020 .
  4. ^ a b c «Стандартные наборы чисел и интервалы» . ISO 80000-2: 2009 . Международная организация по стандартизации . п. 6.
  5. ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 25 марта 2020 . Дата обращения 11 августа 2020 .
  6. ^ "натуральное число" . Merriam-Webster.com . Мерриам-Вебстер . Архивировано 13 декабря 2019 года . Проверено 4 октября 2014 года .
  7. ^ Ganssle, Джек Г. & Барр, Майкл (2003). «целое число» . Словарь встроенных систем . стр.138 (целое число), 247 (целое число со знаком) и 276 (целое число без знака). ISBN 978-1-57820-120-4. Архивировано 29 марта 2017 года . Проверено 28 марта 2017 г. - через Google Книги. целое число 1. n. Любое целое число.
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Подсчет числа" . MathWorld .
  9. ^ «Введение» . Кость Ишанго . Брюссель, Бельгия: Королевский бельгийский институт естественных наук . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года.
  10. ^ «Флэш-презентация» . Кость Ишанго . Брюссель, Бельгия: Королевский бельгийский институт естественных наук . Архивировано из оригинального 27 мая 2016 года.
  11. ^ "Кость Ишанго, Демократическая Республика Конго" . Портал ЮНЕСКО к наследию астрономии . Архивировано из оригинального 10 ноября 2014 года., на постоянной экспозиции в Королевском бельгийском институте естественных наук , Брюссель, Бельгия.
  12. ^ Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел . Вайли. ISBN 0-471-37568-3.
  13. ^ "История нуля" . MacTutor История математики . Архивировано 19 января 2013 года . Проверено 23 января 2013 года .
  14. Перейти ↑ Mann, Charles C. (2005). 1491: Новые откровения Америки до Колумба . Кнопф. п. 19. ISBN 978-1-4000-4006-3. Архивировано 14 мая 2015 года . Проверено 3 февраля 2015 г. - через Google Книги.
  15. ^ Эванс, Брайан (2014). «Глава 10. Доколумбовая математика: цивилизации ольмеков, майя и инков» . Развитие математики на протяжении веков: краткая история в культурном контексте . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-1-118-85397-9 - через Google Книги.
  16. ^ Deckers, Майкл (25 августа 2003). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Девятнадцатилетний цикл Дионисия" . Hbar.phys.msu.ru. Архивировано 15 января 2019 года . Проверено 13 февраля 2012 года .
  17. ^ Евклид . «Книга VII, определения 1 и 2» . В Джойсе, Д. (ред.). Элементы . Университет Кларка. Архивировано из оригинального 5 -го августа 2011 года.
  18. ^ Мюллер, Ян (2006). Философия математики и дедуктивная структура в элементах Евклида . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ISBN 978-0-486-45300-2. OCLC  69792712 .
  19. ^ Клайн, Моррис (1990) [1972]. Математическая мысль от древних до наших дней . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-506135-7.
  20. ^ Грей, Джереми (2008). Призрак Платона: модернистское преобразование математики . Издательство Принстонского университета. п. 153. ISBN. 978-1-4008-2904-0. Архивировано 29 марта 2017 года через Google Книги.
  21. ^ Вебер, Генрих Л. (1891–1892). «Кронекер» .Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[ Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков ]. С. 2: 5–23. (Цитата на стр. 19). Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года; "доступ к Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung " . Архивировано из оригинального 20 -го августа 2017 года.
  22. ^ ЕВ 1990 , глава 15
  23. ^ Л. Кирби; J. Париж, Доступ Результаты независимости арифметики Пеано , Бюллетень Лондонского математическое общество 14 (4): 285. DOI : 10,1112 / БЛЙ / 14.4.285 , 1982.
  24. ^ Bagaria, Joan (2017). Теория множеств (изд. Зима 2014 г.). Стэнфордская энциклопедия философии. Архивировано 14 марта 2015 года . Дата обращения 13 февраля 2015 .
  25. ^ Goldrei, Дерек (1998). «3». Классическая теория множеств: управляемое независимое исследование (1. изд., 1. печатное издание). Бока-Ратон, Флорида [ua]: Chapman & Hall / CRC. п. 33 . ISBN 978-0-412-60610-6.
  26. ^ Браун, Джим (1978). «В защиту происхождения индекса 0». ACM SIGAPL APL Quote Quad . 9 (2): 7. DOI : 10,1145 / 586050,586053 . S2CID 40187000 . 
  27. ^ Хуэй, Роджер. "Является ли начало индекса 0 помехой?" . jsoftware.com . Архивировано 20 октября 2015 года . Проверено 19 января 2015 .
  28. ^ Это обычное дело в текстах о реальном анализе . См., Например, Carothers (2000 , p. 3) или Thomson, Bruckner & Bruckner (2000 , p. 2).
  29. ^ «Список математических обозначений, используемых на веб-сайте математических функций: числа, переменные и функции» . functions.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
  30. ^ Рудин, W. (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
  31. ^ Гримальди, Ральф П. (2004). Дискретная и комбинаторная математика: прикладное введение (5-е изд.). Пирсон Аддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-72634-3.
  32. ^ Гримальди, Ральф П. (2003). Обзор дискретной и комбинаторной математики (5-е изд.). Бостон: Эддисон-Уэсли. п. 133. ISBN 978-0-201-72634-3.
  33. ^ Weisstein, Эрик В. "Кардинальное число" . MathWorld .
  34. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Умножение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
  35. ^ Флетчер, Гарольд; Хауэлл, Арнольд А. (9 мая 2014 г.). Математика с пониманием . Эльзевир. п. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0. ... множество натуральных чисел замкнуто при сложении ... множество натуральных чисел замкнуто при умножении
  36. ^ Дэвиссон, Шайлер Колфакс (1910). Колледж алгебры . Компания Macmillian. п. 2. Сложение натуральных чисел ассоциативно.
  37. ^ Брэндон, Берта (М.); Браун, Кеннет Э .; Gundlach, Bernard H .; Кук, Ральф Дж. (1962). Математическая серия Лэйдлоу . 8 . Laidlaw Bros. p. 25.
  38. ^ Минц, GE (ред.). «Аксиомы Пеано» . Энциклопедия математики . Springer в сотрудничестве с Европейским математическим обществом . Архивировано 13 октября 2014 года . Проверено 8 октября 2014 года .
  39. ^ фон Нейман (1923)
  40. ^ a b Леви (1979) , стр. 52 связывает идею с неопубликованной работой Цермело в 1916 году и несколькими статьями фон Неймана 1920-х годов.

Библиография [ править ]

  • Блюман, Аллан (2010). Pre-Algebra DeMYSTiFieD (Второе изд.). McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-174251-1 - через Google Книги.
  • Карозерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-49756-5 - через Google Книги.
  • Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014). Краткий Оксфордский математический словарь (пятое изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-967959-1 - через Google Книги.
  • Дедекинд, Ричард (1963) [1901]. Очерки теории чисел . Перевод Бемана, Вустера Вудраффа (переиздание ред.). Dover Книги. ISBN 978-0-486-21010-0 - через Archive.org.
    • Дедекинд, Ричард (1901). Очерки теории чисел . Перевод Бемана, Вустера Вудраффа. Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . Проверено 13 августа 2020 года - через Project Gutenberg.
    • Дедекинд, Ричард (2007) [1901]. Очерки теории чисел . Кессинджер Паблишинг, ООО. ISBN 978-0-548-08985-9.
  • Евс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Томсон. ISBN 978-0-03-029558-4 - через Google Книги.
  • Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90092-6 - через Google Книги.
  • Гамильтон, AG (1988). Логика для математиков (отредактированная ред.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-36865-0 - через Google Книги.
  • Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-99041-0 - через Google Книги.
  • Ландау, Эдмунд (1966). Основы анализа (Третье изд.). Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2693-5 - через Google Книги.
  • Мак Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гарретт (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1646-2 - через Google Книги.
  • Мендельсон, Эллиотт (2008) [1973]. Системы счисления и основы анализа . Dover Publications. ISBN 978-0-486-45792-5 - через Google Книги.
  • Мораш, Рональд П. (1991). Мост к абстрактной математике: математическое доказательство и структуры (второе изд.). Колледж Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-043043-3 - через Google Книги.
  • Musser, Gary L .; Петерсон, Блейк Э .; Бургер, Уильям Ф. (2013). Математика для учителей начальной школы: современный подход (10-е изд.). Wiley Global Education . ISBN 978-1-118-45744-3 - через Google Книги.
  • Szczepanski, Amy F .; Косицкий, Андрей П. (2008). Полное руководство идиота по преалгебре . Группа пингвинов. ISBN 978-1-59257-772-9 - через Google Книги.
  • Томсон, Брайан С .; Брукнер, Джудит Б .; Брукнер, Эндрю М. (2008). Элементарный реальный анализ (второе изд.). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 - через Google Книги.
  • фон Нейман, Джон (1923). "Zur Einführung der transfiniten Zahlen" [О введении трансфинитных чисел]. Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum . 1 : 199–208. Архивировано из оригинала 18 декабря 2014 года . Проверено 15 сентября 2013 года .
  • фон Нейман, Джон (январь 2002 г.) [1923]. «О введении трансфинитных чисел» . В ван Хейенурте, Жан (ред.). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е изд.). Издательство Гарвардского университета. С. 346–354. ISBN 978-0-674-32449-7.- английский перевод фон Неймана 1923 .

Внешние ссылки [ править ]

  • «Натуральное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • «Аксиомы и построение натуральных чисел» . apronus.com .