Уравнения Ньютона – Эйлера

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В классической механике , то Ньютон-Эйлер уравнения описывают объединенную поступательную и вращательную динамику из более твердого тела . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Традиционно уравнения Ньютона – Эйлера представляют собой объединение двух законов движения Эйлера для твердого тела в одно уравнение с 6 компонентами с использованием векторов-столбцов и матриц . Эти законы связывают движение центра тяжести твердого тела с суммой сил и моментов (или синонимов моментов ), действующих на твердое тело.

Центр масс кадра [ править ]

Относительно системы координат , начало которой совпадает с центром масс тела , они могут быть выражены в матричной форме как:

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} {\ mathbf {F}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} m { \ mathbf {I} _ {3}} & 0 \\ 0 & {\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf { a} _ {\ rm {cm}} \\ {\ boldsymbol {\ alpha}} \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} \, {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {matrix}} \ right),}$

где

F = общая сила, действующая на центр масс

m = масса тела

I ₃ = единичная матрица 3 × 3

a _см = ускорение центра масс

v _см = скорость центра масс

τ = общий крутящий момент, действующий вокруг центра масс

I _см = момент инерции относительно центра масс

ω = угловая скорость тела

α = угловое ускорение тела

Любая система отсчета [ править ]

По отношению к системе координат, расположенной в точке P, которая закреплена в теле и не совпадает с центром масс, уравнения принимают более сложный вид:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

где c - расположение центра масс, выраженное в системе отсчета , закрепленной на теле , и

${\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}$

обозначают кососимметричные матрицы перекрестных произведений .

Левая часть уравнения, которая включает сумму внешних сил и сумму внешних моментов относительно P, описывает пространственный гаечный ключ , см. Теорию винта .

Инерционные члены содержатся в пространственной матрице инерции

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}$

в то время как фиктивные силы содержатся в термине: ^[6]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}$

Когда центр масс не совпадает с системой координат (то есть, когда c не равно нулю), поступательное и угловое ускорения ( a и α ) связаны, так что каждое связано с компонентами силы и крутящего момента.

Приложения [ править ]

Уравнения Ньютона – Эйлера используются в качестве основы для более сложных «многочастичных» формулировок ( теория винта ), которые описывают динамику систем твердых тел, соединенных шарнирами и другими ограничениями. Задачи с несколькими телами могут быть решены с помощью множества численных алгоритмов. ^{[2] [6] [7]}

См. Также [ править ]

• Законы движения Эйлера для твердого тела.
• Углы Эйлера
• Обратная динамика
• Центробежная сила
• Основные оси
• Пространственное ускорение
• Винтовая теория движения твердого тела.

Ссылки [ править ]