Формулировка физики
В физике под динамикой Ньютона понимается динамика частицы или малого тела в соответствии с законами движения Ньютона .
Математические обобщения [ править ]
Обычно ньютоновская динамика происходит в трехмерном евклидовом пространстве , которое является плоским. Однако в математике законы движения Ньютона можно обобщить на многомерные и искривленные пространства. Часто термин « ньютоновская динамика» сужается до второго закона Ньютона .
Второй закон Ньютона в многомерном пространстве [ править ]
Рассмотрим частицы с массами в регулярном трехмерном евклидовом пространстве . Пусть будут их радиус-векторы в некоторой инерциальной системе координат. Тогда движение этих частиц подчиняется второму закону Ньютона, примененному к каждой из них.
| | ( 1 ) |
Трехмерные радиус-векторы могут быть встроены в одномерный радиус-вектор. Точно так же трехмерные векторы скорости могут быть встроены в одномерный вектор скорости:
| | ( 2 ) |
В терминах многомерных векторов ( 2 ) уравнения ( 1 ) записываются как
| | ( 3 ) |
т.е. они принимают форму второго закона Ньютона, примененного к отдельной частице с единичной массой .
Определение . Уравнения ( 3 ) называются уравнениями ньютоновской динамической системы в плоском многомерном евклидовом пространстве , которое называется конфигурационным пространством этой системы. Его точки отмечены радиус-вектором . Пространство, точки которого отмечены парой векторов , называется фазовым пространством динамической системы ( 3 ).
Евклидова структура [ править ]
Конфигурационное пространство и фазовое пространство динамической системы ( 3 ) оба являются евклидовыми пространствами, т. Е. Они снабжены евклидовой структурой . Их евклидова структура определяется таким образом, что кинетическая энергия отдельной многомерной частицы с единичной массой равна сумме кинетических энергий трехмерных частиц с массами :
. | | ( 4 ) |
Ограничения и внутренние координаты [ править ]
В некоторых случаях движение частиц с массами можно ограничить. Типичные ограничения выглядят как скалярные уравнения вида
. | | ( 5 ) |
Ограничения вида ( 5 ) называются голономными и склерономными . В терминах радиус-вектора ньютоновской динамической системы ( 3 ) они записываются как
. | | ( 6 ) |
Каждое такое ограничение уменьшает на единицу число степеней свободы ньютоновской динамической системы ( 3 ). Следовательно, ограниченная система имеет степени свободы.
Определение . Уравнения связи ( 6 ) определяют -мерное многообразие в конфигурационном пространстве ньютоновской динамической системы ( 3 ). Это многообразие называется конфигурационным пространством системы со связями. Его касательное расслоение называется фазовым пространством системы со связями.
Позвольте быть внутренними координатами точки . Их использование типично для лагранжевой механики . Радиус-вектор выражается как некоторая определенная функция от :
. | | ( 7 ) |
Вектор-функция ( 7 ) разрешает уравнения связи ( 6 ) в том смысле, что при подстановке ( 7 ) в ( 6 ) уравнения ( 6 ) выполняются тождественно в .
Внутреннее представление вектора скорости [ править ]
Вектор скорости ньютоновской динамической системы со связями выражается через частные производные вектор-функции ( 7 ):
. | | ( 8 ) |
Величины называются внутренними компонентами вектора скорости. Иногда их обозначают с помощью отдельного символа.
| | ( 9 ) |
а затем рассматриваются как независимые переменные. Количество
| | ( 10 ) |
используются как внутренние координаты точки фазового пространства ньютоновской динамической системы со связями.
Вложение и индуцированная риманова метрика [ править ]
Геометрически вектор-функция ( 7 ) реализует вложение конфигурационного пространства Ньютоновской динамической системы с ограничениями в -мерное плоское конфигурационное пространство Ньютоновской динамической системы без ограничений ( 3 ). Благодаря этому вложению евклидова структура объемлющего пространства индуцирует риманову метрику на многообразии . Компоненты метрического тензора этой индуцированной метрики задаются формулой
, | | ( 11 ) |
где - скалярное произведение, связанное с евклидовой структурой ( 4 ).
Кинетическая энергия ограниченной ньютоновской динамической системы [ править ]
Поскольку евклидова структура неограниченной системы частиц вводится через их кинетическую энергию, индуцированная риманова структура на конфигурационном пространстве системы со связями сохраняет эту связь с кинетической энергией:
. | | ( 12 ) |
Формула ( 12 ) выводится путем подстановки ( 8 ) в ( 4 ) с учетом ( 11 ).
Ограничивающие силы [ править ]
Для ньютоновской динамической системы со связями ограничения, описываемые уравнениями ( 6 ), обычно реализуются некоторой механической структурой. Эта структура создает некоторые вспомогательные силы, включая силу, которая поддерживает систему в ее конфигурационном коллекторе . Такая поддерживающая сила перпендикулярна . Это называется нормальной силой . Сила из ( 6 ) подразделяется на две составляющие
. | | ( 13 ) |
Первая компонента в ( 13 ) касается конфигурационного многообразия . Второй компонент перпендикулярен . В совпадает с нормальной силой .
Как и вектор скорости ( 8 ), касательная сила имеет внутреннее представление
. | | ( 14 ) |
Величины в ( 14 ) называются внутренними компонентами вектора силы.
Второй закон Ньютона в искривленном пространстве [ править ]
Ньютонова динамическая система ( 3 ), связанная с конфигурационным многообразием уравнениями связи ( 6 ), описывается дифференциальными уравнениями
, | | ( 15 ) |
где есть символы Кристоффеля по метрической связности , полученной римановой метрикой ( 11 ).
Связь с уравнениями Лагранжа [ править ]
Механические системы со связями обычно описываются уравнениями Лагранжа :
, | | ( 16 ) |
где - кинетическая энергия связанной динамической системы, определяемая формулой ( 12 ). Величины в ( 16 ) являются внутренними ковариантными компонентами вектора касательной силы (см. ( 13 ) и ( 14 )). Они производятся из внутренних контравариантных компонент вектора с помощью стандартной процедуры понижения индекса с использованием метрики ( 11 ):
, | | ( 17 ) |
Уравнения ( 16 ) эквивалентны уравнениям ( 15 ). Однако метрика ( 11 ) и другие геометрические особенности конфигурационного многообразия в ( 16 ) не указаны явно . Метрику ( 11 ) можно восстановить по кинетической энергии с помощью формулы
. | | ( 18 ) |
См. Также [ править ]
- Модифицированная ньютоновская динамика
|
- Флюксии (1671)
- Де Моту (1684)
- Принципы (1687; письмо )
- Оптика (1704)
- Запросы (1704)
- Арифметика (1707)
- Де Аналиси (1711)
|
- Quaestiones (1661–1665)
- « стоящий на плечах великанов » (1675 г.)
- Заметки о еврейском храме (ок. 1680 г.)
- " General Scholium " (1713; " гипотезы не финго " )
- Древние королевства с поправками (1728)
- Искажения Священного Писания (1754 г.)
|
- Исчисление
- Глубина удара
- Инерция
- Диск Ньютона
- Многоугольник Ньютона
- Отражатель Ньютона
- Ньютоновский телескоп
- Шкала Ньютона
- Металл Ньютона
- Колыбель Ньютона
- Спектр
- Структурная окраска
|
- Аргумент ведра
- Неравенства Ньютона
- Закон охлаждения Ньютона
- Закон всемирного тяготения Ньютона
- постньютоновское расширение
- параметризованный
- гравитационная постоянная
- Теория Ньютона – Картана
- Уравнение Шредингера – Ньютона.
- Законы движения Ньютона
- Ньютоновская динамика
- Метод Ньютона в оптимизации
- Проблема Аполлония
- усеченный метод Ньютона
- Алгоритм Гаусса – Ньютона
- Кольца Ньютона
- Теорема Ньютона об овалах
- Проблема Ньютона – Пеписа
- Ньютоновский потенциал
- Ньютоновская жидкость
- Классическая механика
- Корпускулярная теория света
- Споры об исчислении Лейбница – Ньютона
- Обозначение Ньютона
- Вращающиеся сферы
- Пушечное ядро Ньютона
- Формулы Ньютона – Котеса
- Метод Ньютона
- обобщенный метод Гаусса – Ньютона
- Фрактал Ньютона
- Личности Ньютона
- Полином Ньютона
- Теорема Ньютона о вращающихся орбитах
- Уравнения Ньютона – Эйлера
- Число Ньютона
- проблема с числом поцелуев
- Фактор Ньютона
- Параллелограмм силы
- Теорема Ньютона – Пюизо
- Абсолютное пространство и время
- Светоносный эфир
- Ньютоновский ряд
|
- Усадьба Вулсторп (место рождения)
- Крэнбери Парк (дом)
- Ранние годы
- Более поздняя жизнь
- Религиозные взгляды
- Оккультные исследования
- Научная революция
- Коперниканская революция
|
- Кэтрин Бартон (племянница)
- Джон Кондуитт (племянник в законе)
- Исаак Барроу (профессор)
- Уильям Кларк (наставник)
- Бенджамин Пуллейн (репетитор)
- Джон Кейл (ученик)
- Уильям Стьюкли (друг)
- Уильям Джонс (друг)
- Авраам де Муавр (друг)
|
- Ньютон Блейка (монотипия)
- Ньютон Паолоцци (скульптура)
|
- Институт Исаака Ньютона
- Медаль Исаака Ньютона
- Телескоп Исаака Ньютона
- Группа телескопов Исаака Ньютона
- Ньютон (единица)
|
|