Ньютоновская жидкость

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ньютоновская жидкость представляет собой жидкость , в которой вязкие напряжениях , возникающая от его потока , в каждой точке, линейно ^[1] коррелирует с локальной скоростью деформации -The скорости изменения его деформации с течением времени. ^{[2] [3] [4]} Это эквивалентно утверждению, что эти силы пропорциональны скорости изменения вектора скорости жидкости при удалении от рассматриваемой точки в различных направлениях.

Точнее, жидкость является ньютоновской, только если тензоры , описывающие вязкое напряжение и скорость деформации, связаны тензором постоянной вязкости , который не зависит от напряженного состояния и скорости потока. Если жидкость также изотропна (то есть ее механические свойства одинаковы в любом направлении), тензор вязкости сводится к двум действительным коэффициентам, описывающим сопротивление жидкости непрерывной деформации сдвига и непрерывному сжатию или расширению соответственно.

Ньютоновские жидкости - это простейшие математические модели жидкостей, учитывающие вязкость. Хотя никакая реальная жидкость полностью не подходит под это определение, многие обычные жидкости и газы, такие как вода и воздух , можно считать ньютоновскими для практических расчетов в обычных условиях. Тем не менее, неньютоновские жидкости относительно распространены и включают в себя ооблеки (которые становятся более жесткими при сильном сдвиге) или некапельную краску (которая становится тоньше при сдвиге ). Другие примеры включают множество растворов полимеров (которые демонстрируют эффект Вайссенберга ), расплавленные полимеры, множество твердых суспензий, кровь, и большинство высоковязких жидкостей.

Ньютоновские жидкости названы в честь Исаака Ньютона , который первым использовал дифференциальное уравнение, чтобы постулировать связь между скоростью деформации сдвига и напряжением сдвига для таких жидкостей.

Определение [ править ]

На элемент текущей жидкости или газа будут действовать силы окружающей жидкости, в том числе силы вязкого напряжения, которые заставляют его постепенно деформироваться с течением времени. Эти силы могут быть математически округляются до первого порядка с помощью вязкого тензора напряжений , которые, как правило , обозначенный .${\ Displaystyle \ тау}$

Деформация этого жидкого элемента относительно некоторого предыдущего состояния может быть аппроксимирована в первом порядке тензором деформации, который изменяется со временем. Производная по времени этого тензора является тензором скорости деформации , который выражает, как деформация элемента изменяется со временем; а также градиент векторного поля скорости в этой точке, часто обозначаемый .${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ nabla v}$

Тензоры и могут быть выражены матрицами 3 × 3 относительно любой выбранной системы координат . Жидкость называется ньютоновской, если эти матрицы связаны уравнением где - фиксированный тензор четвертого порядка 3 × 3 × 3 × 3, который не зависит от скорости или напряженного состояния жидкости.${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ nabla v}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ tau} = \ mathbf {\ mu} (\ nabla v)}$${\ displaystyle \ mu}$

Несжимаемый изотропный корпус [ править ]

Для несжимаемой и изотропной ньютоновской жидкости вязкое напряжение связано со скоростью деформации более простым уравнением

${\ displaystyle \ tau = \ mu {\ frac {du} {dy}}}$

куда

${\ Displaystyle \ тау}$это напряжение сдвига ( « сопротивление ») в жидкости,

${\ displaystyle \ mu}$- скалярная константа пропорциональности, сдвиговая вязкость жидкости

${\ displaystyle {\ frac {du} {dy}}}$- производная от составляющей скорости , параллельной направлению сдвига, относительно смещения в перпендикулярном направлении.

Если жидкость несжимаема и вязкость в жидкости постоянна, это уравнение можно записать в терминах произвольной системы координат как

${\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

куда

${\ displaystyle x_ {j}}$это -я пространственная координата${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle v_ {i}}$ - скорость жидкости в направлении оси ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$- й компонент напряжения, действующего на грани элемента жидкости перпендикулярно оси .${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$

Также определяется тензор полного напряжения , который объединяет напряжение сдвига с обычным (термодинамическим) давлением . Тогда уравнение сдвига и напряжения становится${\ Displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {ij} = - p \ delta _ {ij} + \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + { \ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

или записать в более компактных тензорных обозначениях

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}$

где - тождественный тензор.${\displaystyle \mathbf {I} }$

Для анизотропных жидкостей [ править ]

В более общем смысле, в неизотропной ньютоновской жидкости коэффициент, который связывает напряжения внутреннего трения с пространственными производными поля скорости, заменяется тензором вязких напряжений из девяти элементов .${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Существует общая формула для силы трения в жидкости: векторный дифференциал силы трения равен тензору вязкости, умноженному на векторный дифференциал произведения вектора площади соприкасающихся слоев жидкости и скорости вращения ротора :

${\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }$

где - тензор вязкости . Диагональные компоненты тензора вязкости - это молекулярная вязкость жидкости, а недиагональные компоненты - турбулентная вихревая вязкость . ^[5]${\displaystyle \mu _{ij}}$

Закон вязкости Ньютона [ править ]

Следующее уравнение иллюстрирует связь между скоростью сдвига и напряжением сдвига:

${\displaystyle \tau =\mu {du \over dy}}$,

куда:

• τ - напряжение сдвига;
• μ - вязкость, а
• ${\textstyle {\frac {du}{dy}}}$скорость сдвига.

Если вязкость постоянна, жидкость ньютоновская.

Модель степенного закона [ править ]

Модель степенного закона используется для отображения поведения ньютоновских и неньютоновских жидкостей и измерения напряжения сдвига как функции скорости деформации.

Связь между касательным напряжением, скоростью деформации и градиентом скорости для модели степенного закона:

${\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}}$,

куда

• ${\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}}$- абсолютное значение скорости деформации в степени (n-1);

• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$ - градиент скорости;

• n - индекс степенного закона.

Если

• n <1, тогда жидкость является псевдопластической.
• n = 1, тогда жидкость является ньютоновской.
• n > 1, то жидкость является дилатантом.

Модель жидкости [ править ]

Взаимосвязь между напряжением сдвига и скоростью сдвига в модели кассона определяется следующим образом:

${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$

где τ ₀ - предел текучести, а

${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}}}$,

где α зависит от белкового состава, а H - гематокритное число.

Примеры [ править ]

Вода , воздух , спирт , глицерин и жидкое моторное масло - все это примеры ньютоновских жидкостей в диапазоне напряжений сдвига и скоростей сдвига, встречающихся в повседневной жизни. Однофазные жидкости, состоящие из небольших молекул, обычно (хотя и не исключительно) ньютоновские.

См. Также [ править ]

• Гидравлическая механика
• Неньютоновская жидкость

Ссылки [ править ]