Нелинейное уравнение Шредингера.

Абсолютное значение в комплексном огибающем точных аналитических бризерных решениях нелинейного Шредингера (NLS) уравнения в безразмерном виде. (A) Передышка Ахмедиева; (B) дышащий сапсан ; (В) бризер Кузнецова – Ма. ^[1]

В теоретической физике (одномерное) нелинейное уравнение Шредингера ( NLSE ) является нелинейной вариацией уравнения Шредингера . Это классическое уравнение поля , основными приложениями которого являются распространение света в нелинейных оптических волокнах и планарных волноводах ^[2], а также конденсаты Бозе – Эйнштейна, заключенные в сильно анизотропные сигарные ловушки в режиме среднего поля. ^[3] Кроме того, уравнение появляется при исследовании гравитационных волн малой амплитуды на поверхности глубокой невязкой (нулевой вязкости) воды; ^[2]Волны Ленгмюра в горячей плазме; ^[2] распространение плоско дифрагированных волновых пучков в фокусирующих областях ионосферы; ^[4] распространение солитонов альфа-спирали Давыдова , ответственных за перенос энергии по молекулярным цепочкам; ^[5] и многие другие. В более общем смысле NLSE появляется как одно из универсальных уравнений, которые описывают эволюцию медленно меняющихся пакетов квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах с дисперсией . ^[2] В отличие от линейного уравнения Шредингера , NLSE никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния. 1D NLSE является примером интегрируемой модели .

В квантовой механике 1D NLSE является частным случаем классического нелинейного поля Шредингера , которое, в свою очередь, является классическим пределом квантового поля Шредингера. И наоборот, когда классическое поле Шредингера канонически квантовано , оно становится квантовой теорией поля (которая является линейной, несмотря на то, что она называется «квантовым нелинейным уравнением Шредингера»), которая описывает бозонные точечные частицы с дельта-функциями взаимодействия - частицы либо отталкивать или притягивать, когда они находятся в одной точке. Фактически, когда число частиц конечно, эта квантовая теория поля эквивалентна модели Либа – Линигера.. И квантовые, и классические одномерные нелинейные уравнения Шредингера интегрируемы. Особый интерес представляет предел бесконечной силы отталкивания, и в этом случае модель Либа – Линигера становится газом Тонкса – Жирардо (также называемым твердым бозе-газом или непроницаемым бозе-газом). В этом пределе бозоны могут путем замены переменных, являющейся континуальным обобщением преобразования Жордана – Вигнера , быть преобразованы в систему одномерных невзаимодействующих бесспиновых ^{[nb 1]} фермионов. ^[6]

Нелинейное уравнение Шредингера представляет собой упрощенную 1 + 1-мерную форму уравнения Гинзбурга – Ландау, введенного в 1950 г. в их работе по сверхпроводимости, и было явно записано Р. Я. Чиао, Э. Гармиром и Ч. Таунсом ( 1964 , уравнение (5 )) в своем исследовании оптических лучей.

Многомерная версия заменяет вторую пространственную производную лапласианом. Более чем в одном измерении уравнение не интегрируется, оно допускает коллапс и волновую турбулентность. ^[7]

Уравнение [ править ]

Нелинейное уравнение Шредингера - это нелинейное уравнение в частных производных , применимое к классической и квантовой механике .

Классическое уравнение [ править ]

Классическое уравнение поля (в безразмерной форме) имеет следующий вид: ^[8]

для комплексного поля ψ ( x , t ).

Это уравнение возникает из гамильтониана ^[8]

${\ displaystyle H = \ int \ mathrm {d} x \ left [{1 \ over 2} | \ partial _ {x} \ psi | ^ {2} + {\ kappa \ over 2} | \ psi | ^ { 4} \ right]}$

со скобками Пуассона

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

В отличие от своего линейного аналога, он никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния.

Случай с отрицательным κ называется фокусирующим и допускает как яркие солитонные решения (локализованные в пространстве и имеющие пространственное затухание до бесконечности), так и бризерные решения. Ее можно точно решить, используя обратное преобразование рассеяния , как показано Захаровым и Шабатом (1972) (см. Ниже ). Другой случай, с положительным κ, - это дефокусирующая NLS, которая имеет темные солитонные решения (имеющие постоянную амплитуду на бесконечности и локальный пространственный провал по амплитуде). ^[9]

Квантовая механика [ править ]

Чтобы получить квантованную версию , просто замените скобки Пуассона коммутаторами

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

и нормального порядка гамильтониан

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

Квантовая версия была решена Бетой анзатца по Либу и Линигеру . Термодинамику описал Чен-Нин Янг . Квантовые корреляционные функции также были оценены Корепиным в 1993 году. ^[6] Модель имеет более высокие законы сохранения - Дэвис и Корепин в 1989 году выразили их в терминах локальных полей. ^[10]

Решение уравнения [ править ]

Нелинейное уравнение Шредингера интегрируемо в 1d: Захаров и Шабат ( 1972 ) решили его с помощью обратного преобразования рассеяния . Соответствующая линейная система уравнений известна как система Захарова – Шабата :

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}&=2J\phi \Lambda ^{2}+2U\phi \Lambda +(JU^{2}-JU_{x})\phi ,\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}$

Нелинейное уравнение Шредингера возникает как условие совместности системы Захарова – Шабата:

${\displaystyle \phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \Rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}\,}$

Если положить q = r * или q = - r *, получается нелинейное уравнение Шредингера с притягивающим или отталкивающим взаимодействием.

Альтернативный подход напрямую использует систему Захарова – Шабата и использует следующее преобразование Дарбу :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi \to \phi [1]=\phi \Lambda -\sigma \phi \\&U\to U[1]=U+[J,\sigma ]\\&\sigma =\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}}$

что оставляет систему инвариантной.

Здесь φ - другое обратимое матричное решение (отличное от ϕ ) системы Захарова – Шабата со спектральным параметром Ω:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{x}&=J\varphi \Omega +U\varphi \\\varphi _{t}&=2J\varphi \Omega ^{2}+2U\varphi \Omega +(JU^{2}-JU_{x})\varphi .\end{aligned}}}$

Начиная с тривиального решения U = 0 и повторяя итерацию, получаем решения с n солитонами .

Уравнение NLS представляет собой уравнение в частных производных, подобное уравнению Гросса – Питаевского . Обычно он не имеет аналитического решения, и для его решения используются те же численные методы, которые используются для решения уравнения Гросса – Питаевского, такие как расщепленные методы Кранка – Николсона ^[11] и спектральные методы Фурье ^[12] . Существуют различные программы Fortran и C для ее решения . ^{[13] [14]}

Галилеевская инвариантность [ править ]

Нелинейное уравнение Шредингера инвариантно по Галилею в следующем смысле:

Для данного решения ψ ( x, t ) новое решение может быть получено заменой x на x + vt всюду в ψ ( x, t ) и добавлением фазового множителя :${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$

Нелинейное уравнение Шредингера в волоконной оптике [ править ]

В оптике нелинейное уравнение Шредингера встречается в системе Манакова , модели распространения волн в волоконной оптике. Функция ψ представляет собой волну, а нелинейное уравнение Шредингера описывает распространение волны через нелинейную среду. Производная второго порядка представляет собой дисперсию, а член κ представляет нелинейность. Уравнение моделирует многие эффекты нелинейности в волокне, включая, помимо прочего, самомодуляцию фазы , четырехволновое смешение , генерацию второй гармоники , вынужденное комбинационное рассеяние света , оптические солитоны , ультракороткие импульсы и т. Д.

Нелинейное уравнение Шредингера в волнах на воде [ править ]

Для водных волн , нелинейное уравнение Шредингера описывает эволюцию огибающих из модулированных волновых групп. В статье 1968 года Владимир Е. Захаров описывает гамильтонову структуру водных волн. В той же работе Захаров показывает, что для медленно модулированных групп волн амплитуда волны приблизительно удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера. ^[15] Значение параметра нелинейности к зависит от относительной глубины воды. Для большой глубины воды по сравнению с длиной волны на воде к отрицательно и огибающая могут возникнуть солитоны . Кроме того, эти солитоны огибающей могут ускоряться под действием внешнего потока воды, зависящего от времени. ^[16]

Для мелководья с длиной волны, превышающей глубину более чем в 4,6 раза, параметр нелинейности к положителен и группы волн с солитонами огибающей не существуют. На мелководье существуют солитоны возвышения поверхности или трансляционные волны , но они не регулируются нелинейным уравнением Шредингера.

Считается, что нелинейное уравнение Шредингера важно для объяснения образования волн-убийц . ^[17]

Комплекс поля ψ , как появляющиеся в нелинейном уравнении Шредингера, связан с амплитудой и фазой водных волн. Рассмотрим медленно модулированную несущую волну с возвышением водной поверхности η вида:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

где a ( x ₀ , t ₀ ) и θ ( x ₀ , t ₀ ) - медленно модулируемые амплитуда и фаза . Кроме того, ω ₀ и k ₀ - (постоянные) угловая частота и волновое число несущих волн, которые должны удовлетворять дисперсионному соотношению ω ₀ = Ω ( k ₀ ). потом

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

Итак, его модуль | ψ | - амплитуда волны a , а ее аргумент arg ( ψ ) - фаза θ .

Связь между физическими координатами ( x ₀ , t ₀ ) и координатами ( x, t ), используемыми в приведенном выше нелинейном уравнении Шредингера , определяется следующим образом:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

Таким образом, ( x, t ) представляет собой преобразованную систему координат, движущуюся с групповой скоростью Ω '( k ₀ ) несущих волн. Кривизна дисперсионного соотношения Ω "( k ₀ ) - представляющая дисперсию групповой скорости - всегда отрицательна для волн на воде. под действием силы тяжести, для любой глубины воды.

Для волн на водной поверхности глубокой воды коэффициенты важности для нелинейного уравнения Шредингера равны:

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$   так   ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

где g - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

В исходных координатах ( x ₀ , t ₀ ) нелинейное уравнение Шредингера для волн на воде выглядит следующим образом: ^[18]

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

с (то есть комплексно сопряженное с ) и таким образом для глубоких волн на воде.${\displaystyle A=\psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$

Эквивалентный аналог [ править ]

NLSE (1) калибровочно эквивалентен следующему изотропному уравнению Ландау-Лифшица (LLE) или уравнению ферромагнетика Гейзенберга

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\qquad }$

Обратите внимание, что это уравнение допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений в 2 + 1 измерениях, таких как уравнение Ишимори и т. Д.

Связь с вихрями [ править ]

Хасимото (1972) показал, что работа да Риоса  ( 1906 ) по вихревым нитям тесно связана с нелинейным уравнением Шредингера. Впоследствии Салман (2013) использовал это соответствие, чтобы показать, что бризерные решения могут возникать и для вихревой нити.

См. Также [ править ]

• Система АКНС
• Уравнение Экхауза
• Взаимодействие четвертой степени для родственной модели в квантовой теории поля
• Солитон (оптика)
• Логарифмическое уравнение Шредингера

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Другое [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Нелинейные системы Шредингера» . Scholarpedia .
• Учебная лекция по нелинейному уравнению Шредингера (видео) .
• Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера со степенной нелинейностью в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера общего вида в EqWorld: мир математических уравнений.
• Математические аспекты нелинейного уравнения Шредингера в Dispersive Wiki