В алгебраической геометрии , алгебраическое многообразие или схема Х является нормальным , если оно нормально в каждой точке, а это означает , что локальное кольцо в точке является целозамкнуто доменом . Аффинное многообразие Х (понимается неприводимым) нормально тогда и только тогда , когда кольцо О ( Х ) от регулярных функций на X является целозамкнутой областью. Многообразие X над полем нормально тогда и только тогда, когда любой конечный бирациональный морфизм любого многообразия Y в X является изоморфизмом.
Нормальные разновидности были введены Зариским ( 1939 , раздел III).
Геометрические и алгебраические интерпретации нормальности [ править ]
Морфизм многообразий конечен, если прообраз каждой точки конечен и морфизм собственный . Морфизм многообразий является бирациональным, если он ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами. Так, например, куспидальная кубическая кривая X в аффинной плоскости A 2, определяемая формулой x 2 = y 3 , не является нормальной, потому что существует конечный бирациональный морфизм A 1 → X (а именно, t отображается в ( t 3 , t 2 )), который не является изоморфизмом. Напротив, аффинная линия A 1 нормально: его нельзя далее упростить с помощью конечных бирациональных морфизмов.
Нормальное комплексное многообразие X , если рассматривать его как стратифицированное пространство с использованием классической топологии, имеет свойство связности каждого звена. Эквивалентно, каждая комплексная точка x имеет сколь угодно малые окрестности U такие, что U минус особое множество X связно. Например, отсюда следует, что узловая кубическая кривая X на рисунке, определяемая как x 2 = y 2 ( y + 1), не является нормальной. Это также следует из определения нормальности, поскольку существует конечный бирациональный морфизм из A 1 в Xчто не является изоморфизмом; он посылает две точки А 1 к той же точке в X .
В более общем смысле схема X является нормальной, если каждое из ее локальных колец
- O X, x
является целозамкнутой областью . То есть, каждый из этих колец является область целостности R , и каждое кольцо S с R ⊆ S ⊆ Frac ( R ) таким образом, что S имеет конечное число образующих как R - модуль равен R . (Здесь гидроразрыв ( R ) обозначает поле частных от R ) . Это прямой перевод, с точкой зрения локальных колец, геометрического условии , что каждый конечный бирациональный морфизмом к X является изоморфизмом.
Старое понятие состоит в том, что подмногообразие X проективного пространства линейно нормально, если линейная система, дающая вложение, является полной. Эквивалентно, X ⊆ P n не является линейной проекцией вложения X ⊆ P n + 1 (если X не содержится в гиперплоскости P n ). Это означает «нормальный» в фразах « рациональная нормальная кривая» и « рациональная нормальная прокрутка» .
Любая обычная схема нормальна. Напротив, Зариский (1939 , теорема 11) показал, что любое нормальное многообразие регулярно вне подмножества коразмерности не менее 2, и аналогичный результат верен для схем. [1] Так, например, каждая нормальная кривая регулярна.
Нормализация [ править ]
Любой приведенная схема X имеет уникальную нормализацию : нормальную схему Y с интегральным бирациональным морфизмом Y → X . (Для многообразия X над полем морфизм Y → X конечен, что сильнее «интеграла». [2] ) Нормализация схемы размерности 1 регулярна, а нормализация схемы размерности 2 имеет только отдельные особенности. Нормализация обычно не используется для разрешения особенностей схем более высокой размерности.
Для определения нормализации, предположим сначала , что X является неприводимым приведенная схема X . Каждое открытое аффинное подмножество X имеет вид Spec R, где R - область целостности . Запишем X как объединение аффинных открытых подмножеств Spec A i . Пусть Б я быть целое замыкание из А я в своей фракции поле. Тогда нормализация X определяется склейкой аффинных схем Spec B i .
Примеры [ править ]
Если исходная схема не является неприводимой, нормализация определяется как несвязное объединение нормализаций неприводимых компонент.
Нормализация куспида [ править ]
Рассмотрим аффинную кривую
с особенностью возврата в нуле. Его нормализация может быть дана картой
индуцированный из отображения алгебры
Нормализация осей в аффинной плоскости [ править ]
Например,
не является неприводимой схемой, поскольку состоит из двух компонентов. Его нормализация дается морфизмом схемы
индуцированные двумя фактор-отображениями
Нормализация приводимого проективного многообразия [ править ]
Аналогично, для однородных неприводимых многочленов в УФД нормировка
дается морфизмом
См. Также [ править ]
- Лемма Нётер о нормализации
- Разрешение особенностей
Заметки [ править ]
- ^ Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Теорема 11.5.
- ^ Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Следствие 13.13.
Ссылки [ править ]
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С прицелом на алгебраическую геометрию. , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157, п. 91
- Зариски, Оскар (1939), "Некоторые результаты в арифметической теории алгебраических многообразий", Amer. J. Math. , 61 (2): 249-294, DOI : 10,2307 / 2371499 , JSTOR 2371499 , МР 1507376