Цифровая цифра

Десять цифр арабских цифр в порядке значений.

Эти три числа не являются тремя разными цифрами; это три разных числа, состоящих из цифр. (например, «21» состоит из двух цифр, так же как «480» состоит из трех цифр.)

Численная цифра представляет один символ (например, «2» или «5»), используемых по отдельности или в комбинации (например, «25»), для представления чисел (например, числа 25) в соответствии с некоторыми позиционными системами счисления . Одиночные цифры (как однозначные числа) и их комбинации (например, «25») являются числами той системы счисления, к которой они принадлежат. Название «цифра» происходит от того факта, что десять цифр ( латинское digiti, означающее пальцы) ^[1] рук соответствуют десяти символам общей системы счисления с основанием 10 , то есть десятичной системе (древнее латинское прилагательное decem означает десять) ^{[ 2]} цифры.

Для данной системы счисления с основанием целых чисел количество цифр, необходимых для выражения произвольных чисел, определяется абсолютным значением основания. Например, десятичная система (основание 10) требует десяти цифр (от 0 до 9), тогда как двоичная система (основание 2) состоит из двух цифр (например: 0 и 1).

Обзор [ править ]

В базовой цифровой системе цифра - это последовательность цифр, которая может иметь произвольную длину. Каждая позиция в последовательности имеет значение разряда, а каждая цифра имеет значение. Значение числа вычисляется путем умножения каждой цифры в последовательности на ее разрядное значение и суммирования результатов.

Цифровые значения [ править ]

Каждая цифра в системе счисления представляет собой целое число. Например, в десятичной системе цифра «1» представляет собой целое число один , а в шестнадцатеричной системе, буква «А» представляет собой число десять . Позиционная система счисления имеет одну уникальную цифру для каждого целого числа от нуля до, но не включая, десятичные системы счисления.

Таким образом, в позиционной десятичной системе числа от 0 до 9 могут быть выражены с помощью соответствующих цифр от «0» до «9» в крайнем правом положении «единиц». Число 12 может быть выражено цифрой "2" в позиции единиц и цифрой "1" в позиции "десятки" слева от "2", а число 312 может быть выражено тремя цифрами: «3» в позиции «сотни», «1» в позиции «десятки» и «2» в позиции «единицы».

Вычисление разрядов [ править ]

В десятичной системе счисления используется десятичный разделитель , обычно точка в английском языке или запятая в других европейских языках ^[3] для обозначения «разряда единиц» или «разряда единиц» ^{[4] [5] [6],} который имеет числовое значение один. Каждое последующее место слева от него имеет разрядное значение, равное разрядному значению предыдущей цифры, умноженному на основание . Точно так же каждое последующее место справа от разделителя имеет значение разряда, равное разряду предыдущей цифры, деленному на основание. Например, в числе 10,34 (записанном по основанию 10 ),

0 сразу слева от разделителя, поэтому в те , или единицы места, и называется цифра единиц или те цифры ; ^{[7] [8] [9]}

- слева для единиц находятся в десятках месте, и называются десятки цифр ; ^[10]

3 находится справа для единиц, так это в том месте , десятые, и называется десятые цифры ; ^[11]

4 справа от места балльный находится в сотых месте, и называется сотых цифра . ^[11]

Суммарное значение числа - 1 десятая, 0 единиц, 3 десятых и 4 сотых. Обратите внимание, что ноль, который не вносит никакого значения в число, указывает, что 1 находится в разряде десятков, а не единиц.

Разрядное значение любой данной цифры в числительном может быть задано простым вычислением, которое само по себе является дополнением к логике систем счисления. Вычисление включает в себя умножение заданной цифры на основание, увеличенное на показатель степени n - 1 , где n представляет позицию цифры из разделителя; значение n положительное (+), но это только в том случае, если цифра находится слева от разделителя. А справа цифра умножается на основание, возведенное на отрицательное (-) n . Например, в числе 10,34 (пишется по основанию 10),

1 является вторым слева от разделителя, так что на основе расчета, его значение,

${\displaystyle n-1=2-1=1}$

${\displaystyle 1\times 10^{1}=10}$

цифра 4 - вторая справа от разделителя, поэтому на основе вычислений ее значение равно

${\displaystyle n=-2}$

${\displaystyle 4\times 10^{-2}={\frac {4}{100}}}$

История [ править ]

Первой истинно письменной позиционной системой счисления считается индуистско-арабская система счисления . Эта система была создана в 7 веке в Индии ^[12], но еще не достигла своей современной формы, потому что использование нулевой цифры еще не было широко распространено. Вместо нуля иногда цифры были отмечены точками, чтобы указать их значение, или пробел использовался в качестве заполнителя. Первое широко признанное использование нуля было в 876. ^[13] Первоначальные цифры были очень похожи на современные, вплоть до глифов, используемых для обозначения цифр. ^[12]

К 13 веку западные арабские цифры были приняты в европейских математических кругах ( Фибоначчи использовал их в своей Liber Abaci ). Они начали входить в широкое употребление в 15 веке. ^[14] К концу 20 века практически все некомпьютерные вычисления в мире выполнялись с использованием арабских цифр, которые заменили собственные системы счисления в большинстве культур.

Другие исторические системы счисления, использующие цифры [ править ]

Точный возраст цифр майя неясен, но возможно, что он старше индуистско-арабской системы. Система была десятичной (основание 20), поэтому она состояла из двадцати цифр. Майя использовали символ оболочки для обозначения нуля. Цифры писались вертикально, единицы располагались внизу. У майя не было эквивалента современного десятичного разделителя , поэтому их система не могла представлять дроби. ^[15]

Система счисления Тайской идентична индо-арабской системе счисления для символов , используемых для представления цифр , за исключением. Эти цифры менее распространены в Таиланде, чем раньше, но они все еще используются вместе с арабскими цифрами.

Стержневые цифры, письменные формы счетных стержней, когда-то использовавшиеся китайскими и японскими математиками, представляют собой десятичную позиционную систему, способную представлять не только ноль, но и отрицательные числа. Сами счетные стержни появились раньше индуистско-арабской системы счисления. Эти цифры Сучжоу варианта стержневых цифр.

Современные цифровые системы [ править ]

В информатике [ править ]

Двоичное (основание 2), восьмеричные (основание 8), и шестнадцатеричное (основание 16) система, широко используется в информатике , все следуют конвенциям о индо-арабской системы счисления . ^[16] В двоичной системе используются только цифры «0» и «1», тогда как в восьмеричной системе используются цифры от «0» до «7». В шестнадцатеричной системе используются все цифры десятичной системы, а также буквы от «A» до «F», которые представляют числа от 10 до 15 соответственно. ^[17]

Необычные системы [ править ]

Тройной и сбалансированные тройные системы иногда использовались. Это обе системы с базой 3. ^[18]

Сбалансированная троичная система необычна тем, что имеет цифровые значения 1, 0 и –1. Оказалось, что сбалансированная троичная система обладает некоторыми полезными свойствами, и система была использована в экспериментальных российских компьютерах Сетунь . ^[19]

Несколько авторов за последние 300 лет отметили возможность позиционной записи, которая сводится к модифицированному десятичному представлению . Приводятся некоторые преимущества использования числовых цифр, представляющих отрицательные значения. В 1840 году Огюстен-Луи Коши выступал за использование представления чисел в виде цифр со знаком, а в 1928 году Флориан Каджори представил свой сборник ссылок на отрицательные числа . Концепция представления цифр со знаком также использовалась в компьютерном дизайне .

Цифры в математике [ править ]

Несмотря на важную роль цифр в описании чисел, они относительно не важны для современной математики . ^[20] Тем не менее, есть несколько важных математических концепций, которые используют представление числа в виде последовательности цифр.

Цифровые корни [ править ]

Цифровой корень - это однозначное число, полученное суммированием цифр данного числа, затем суммированием цифр результата и так далее, пока не будет получено однозначное число. ^[21]

Изгнание девяток [ править ]

Отбрасывание девяток - это процедура проверки арифметики вручную. Для того, чтобы описать его, пусть представляют собой цифровой корень из , как описано выше. Исключение девяток использует тот факт, что если , то . В процессе исключения девяток вычисляются обе части последнего уравнения , и если они не равны, исходное добавление должно быть ошибочным. ^[22]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A+B=C}$${\displaystyle f(f(A)+f(B))=f(C)}$

Repunits и repdigits [ править ]

Повторные единицы - это целые числа, которые представлены только цифрой 1. Например, 1111 (одна тысяча сто одиннадцать) - это повторная единица. Репдигиты - это обобщение повторений; это целые числа, представленные повторяющимися экземплярами одной и той же цифры. Например, 333 - это повторная цифра. На простоту в repunits представляет интерес для математиков. ^[23]

Палиндромные числа и числа Лихрела [ править ]

Палиндромные числа - это числа, которые читаются одинаково, если их цифры перевернуты. ^[24] номер Lychrel является положительным целым числом , которое никогда не дает палиндромное числа при воздействии на итерационный процесс добавляются к себе с обратной цифрой. ^[25] Вопрос о том, есть ли числа Лихрела в базе 10, является открытой проблемой в развлекательной математике ; наименьший кандидат - 196 человек . ^[26]

История древних чисел [ править ]

Счетные устройства, особенно использование частей тела (счет на пальцах), безусловно, использовались в доисторические времена, как и сегодня. Есть много вариаций. Помимо подсчета десяти пальцев, в некоторых культурах учитывались костяшки пальцев, расстояние между пальцами рук и ног, а также пальцы рук. Oksapmin культура Новой Гвинеи использует систему из 27 верхних мест тела для представления чисел. ^[27]

Чтобы сохранить числовую информацию, с доисторических времен использовались столбы, вырезанные из дерева, кости и камня. ^[28] Культуры каменного века, в том числе древние индейские группы американцев , использовали счетчики для азартных игр, личных услуг и торговых товаров.

Метод сохранения числовой информации в глине был изобретен шумерами между 8000 и 3500 годами до нашей эры. ^[29] Это было сделано с помощью маленьких глиняных жетонов различной формы, которые были нанизаны, как бусины на нитку. Начиная примерно с 3500 г. до н.э., глиняные жетоны постепенно заменялись числовыми знаками, отпечатанными круглым стилусом под разными углами в глиняных табличках (первоначально контейнерах для жетонов), которые затем запекались. Около 3100 г. до н.э. письменные числа отделились от подсчитываемых вещей и стали абстрактными цифрами.

Между 2700 и 2000 годами до нашей эры в Шумере круглое игло постепенно заменялось тростниковым стилусом, который использовался для штамповки клинописных знаков в глине. Эти клинописные числовые знаки напоминали круглые числовые знаки, которые они заменили, и сохранили аддитивное знаковое обозначение круглых числовых знаков. Эти системы постепенно сошлись на единой шестидесятеричной системе счисления; это была позиционная система, состоящая только из двух штампованных знаков, вертикального клина и шеврона, которые также могли представлять дроби. ^[30] Эта шестидесятеричная система счисления была полностью разработана в начале периода Старой Вавилонии (около 1950 г. до н.э.) и стала стандартной в Вавилонии. ^[31]

Шестидесятеричные числа представляли собой смешанную систему счисления , в которой сохранялись чередующиеся основания 10 и 6 в последовательности клинописных вертикальных клиньев и шевронов. К 1950 г. до н.э. это была позиционная система обозначений . Шестидесятеричные числа стали широко использоваться в торговле, но также использовались в астрономических и других расчетах. Эта система была экспортирована из Вавилонии и использовалась по всей Месопотамии, а также каждой средиземноморской нацией, которая использовала стандартные вавилонские единицы измерения и счета, включая греков, римлян и египтян. Шестидесятеричное счисление в вавилонском стиле все еще используется в современном обществе для измерения времени (минут в час) и углов (градусов). ^[32]

История современных чисел [ править ]

В Китае армия и провиант подсчитывались с использованием модульных счетчиков простых чисел . Уникальное количество войск и меры риса появляются как уникальные комбинации этих подсчетов. Большое удобство модульной арифметики состоит в том, что ее легко умножать. ^[33] Это делает использование модульной арифметики особенно привлекательным. Обычные подсчеты довольно сложно умножать и делить. В наше время модульная арифметика иногда используется в цифровой обработке сигналов . ^[34]

Самая старая греческая система была , что из аттических цифр , ^[35] , но в 4 веке до н.э. они начали использовать quasidecimal алфавитной системы (см греческих цифр ). ^[36] Евреи начали использовать подобную систему ( еврейские цифры ), самые старые известные примеры - монеты примерно 100 г. до н.э. ^[37]

Римская империя использовала таблицы, написанные на воске, папирусе и камне, и примерно следовала греческому обычаю присваивать буквы различным числам. Система римских цифр оставалась обычным явлением в Европе до тех пор, пока позиционное обозначение не стало обычным явлением в 16 веке. ^[38]

Майя Центральной Америки использовали смешанную основание 18 и основание 20 системы, возможно , унаследованного от ольмеков , в том числе дополнительных функций , таких как позиционной системы счисления и нулем . ^[39] Они использовали эту систему для продвинутых астрономических расчетов, включая высокоточные вычисления продолжительности солнечного года и орбиты Венеры . ^[40]

Империя инков управляла крупной командной экономикой, используя кипу , счетчики, сделанные путем завязывания цветных волокон. ^[41] Знание кодировок узлов и цветов было подавлено испанскими конкистадорами в 16 веке и не сохранилось, хотя простые записывающие устройства, подобные кипу, все еще используются в Андском регионе.

Некоторые авторитеты считают, что позиционная арифметика началась с широкого использования счетных стержней в Китае. ^[42] Самые ранние письменные позиционные записи, по-видимому, представляют собой результаты стержневого исчисления в Китае около 400 г. Ноль впервые был использован в Индии в 7 веке нашей эры Брахмагуптой . ^[43]

Современная позиционная арабская система счисления была разработана математиками в Индии и передана мусульманским математикам вместе с астрономическими таблицами, привезенными в Багдад индийским послом около 773 г. ^[44]

Из Индии процветающая торговля между исламскими султанами и Африкой принесла эту идею в Каир . Арабские математики расширили систему, включив в нее десятичные дроби , и Мухаммад ибн Муса аль-Сваризми написал важную работу об этом в IX веке. ^[45] Современные арабские цифры были введены в Европу с переводом этой работы в XII веке в Испании и « Liber Abaci» Леонардо из Пизы 1201 года. ^[46] В Европе полная индийская система с нулем была получена из арабы в 12 веке. ^[47]

Бинарная система (основание 2), размножали в 17 - м веке Готфридом Лейбницем . ^[48] Лейбниц разработал эту концепцию в начале своей карьеры и пересмотрел ее, когда рецензировал копию И Цзин из Китая. ^[49] Двоичные числа стали широко использоваться в 20 веке из-за компьютерных приложений. ^[48]

Цифры в самых популярных системах [ править ]

Западноарабский	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Асомия (ассамский); Бенгальский	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Деванагари	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Восточноарабский	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Персидский	٠	١	٢	٣	۴	۵	۶	٧	٨	٩
Гурмукхи	੦	੧	੨	੩	੪	੫	੬	੭	੮	੯
Урду
Китайский (повседневный)	〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
Китайский (формальный)	零	壹	贰 / 貳	叁 / 叄	肆	伍	陆 / 陸	柒	捌	玖
Китайский (Сучжоу)	〇	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩
Геэз (эфиопский)		፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
Гуджарати	૦	૧	૨	૩	૪	૫	૬	૭	૮	૯
Иероглифический египетский		𓏺	𓏻	𓏼	𓏽	𓏾	𓏿	𓐀	𓐁	𓐂
Японский	零/ 〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九
Каннада	೦	೧	೨	೩	೪	೫	೬	೭	೮	೯
Кхмерский (Камбоджа)	០	១	២	៣	៤	៥	៦	៧	៨	៩
Лаосский	໐	໑	໒	໓	໔	໕	໖	໗	໘	໙
Лимбу	᥆	᥇	᥈	᥉	᥊	᥋	᥌	᥍	᥎	᥏
Малаялам	൦	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯
Монгольский	᠐	᠑	᠒	᠓	᠔	᠕	᠖	᠗	᠘	᠙
Бирманский	၀	၁	၂	၃	၄	၅	၆	၇	၈	၉
Ория	୦	୧	୨	୩	୪	୫	୬	୭	୮	୯
Римский		я	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
Шан	႐	႑	ဋ္ဌ	႓	႔	႕	႖	႗	႘	႙
Сингальский		𑇡	𑇢	𑇣	𑇤	𑇥	𑇦	𑇧	𑇨	𑇩
Тамильский	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯
телугу	౦	౧	౨	౩	౪	౫	౬	౭	౮	౯
Тайский	๐	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙
тибетский	༠	༡	༢	༣	༤	༥	༦	༧	༨	༩
Новый Тай Лю	᧐	᧑	᧒	᧓	᧔	᧕	᧖	᧗	᧘	᧙
Яванский	꧐	꧑	꧒	꧓	꧔	꧕	꧖	꧗	꧘	꧙

Дополнительные цифры [ править ]

См. Также [ править ]

• Шестнадцатеричный
• Двоичная цифра ( бит ), квантовая двоичная цифра ( кубит )
• Троичный разряд ( Трит ), Quantum тройной цифры ( кутрит )
• Десятичная цифра ( dit )
• Шестнадцатеричная цифра ( Hexit )
• Натуральная цифра ( нат , нит )
• Наперский палец ( непит )
• Значащая цифра
• Большие числа
• Текстовые рисунки
• Счеты
• История больших чисел
• Список тем о системе счисления

Цифровые обозначения в различных шрифтах [ править ]

• арабские цифры
• Армянские цифры
• Вавилонские цифры
• Балийские цифры
• Бенгальские цифры
• Бирманские цифры
• Китайские цифры
• Цифры дзонгха
• Восточные арабские цифры
• Греческие цифры
• Цифры гурмухи
• Еврейские цифры
• Цифры Хоккиена
• Индийские цифры
• Японские цифры
• Яванские цифры
• Кхмерские цифры
• Корейские цифры
• Лаосские цифры
• Цифры майя
• Монгольские цифры
• Quipu
• Стержневые цифры
• римские цифры
• Сингальские цифры
• Цифры Сучжоу
• Тамильские цифры
• Тайские цифры
• Вьетнамские цифры

Ссылки [ править ]