Число Нуссельта

В гидродинамике число Нуссельта ( Nu ) - это отношение конвективной теплопередачи к кондуктивной на границе в жидкости . Конвекция включает как адвекцию (движение жидкости), так и диффузию (проводимость). Проводящая составляющая измеряется в тех же условиях, что и конвективная, но для гипотетически неподвижной жидкости. Это безразмерное число , тесно связанное с числом Рэлея жидкости . ^[1]

Число Нуссельта, равное единице, представляет собой теплопередачу за счет чистой теплопроводности. ^[2] Значение от 1 до 10 характерно для снарядного или ламинарного потока . ^[3] Большее число Нуссельта соответствует более активной конвекции с турбулентным потоком, как правило, в диапазоне 100–1000. ^[3] Число Нуссельта названо в честь Вильгельма Нуссельта , внесшего значительный вклад в науку о конвективной теплопередаче. ^[2]

Аналогичным безразмерным свойством является число Био , которое касается теплопроводности твердого тела, а не жидкости. Аналогом массопереноса числа Нуссельта является число Шервуда ,

Определение [ править ]

Число Нуссельта - это отношение конвективной теплопередачи к кондуктивной через границу. В конвекции и проводимости тепла потоки параллельны друг к другу и к нормали поверхности граничной поверхности, и все они перпендикулярно к среднему потоку жидкости в простом случае.

${\ displaystyle \ mathrm {Nu} _ {L} = {\ frac {\ mbox {Конвективная теплопередача}} {\ mbox {Проводящая теплопередача}}} = {\ frac {h} {k / L}} = { \ frac {hL} {k}}}$

где h - коэффициент конвективной теплоотдачи потока, L - характерная длина , k - теплопроводность жидкости.

• Подбирать характерную длину следует в направлении роста (или толщины) пограничного слоя; некоторые примеры характеристической длины: внешний диаметр цилиндра при (внешнем) поперечном потоке (перпендикулярном оси цилиндра), длина вертикальной пластины, подвергающейся естественной конвекции , или диаметр сферы. Для сложных форм длина может быть определена как объем жидкого тела, деленный на площадь поверхности.
• Теплопроводность жидкости обычно (но не всегда) оценивается при температуре пленки , которая для инженерных целей может быть рассчитана как среднее значение температуры жидкости в объеме и температуры поверхности стенки.

В отличие от приведенного выше определения, известного как среднее число Нуссельта , локальное число Нуссельта определяется путем принятия длины как расстояния от границы поверхности ^[4] до локальной точки интереса.

${\ displaystyle \ mathrm {Nu} _ {x} = {\ frac {h_ {x} x} {k}}}$

Среднее или среднее , число получается путем интегрирования выражения в диапазоне интереса, таких как: ^[5]

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {Nu}}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {0} ^ {H} {\ mathrm {Nu} _ {x} (x) \ cdot dx}}$

Контекст [ править ]

Понимание конвективных пограничных слоев необходимо для понимания конвективного теплообмена между поверхностью и текучей средой, протекающей мимо нее. Тепловой пограничный слой образуется, если температура в набегающем потоке жидкости и температура поверхности различаются. Температурный профиль существует из-за обмена энергией в результате этой разницы температур.

Скорость теплопередачи может быть записана как,

${\displaystyle {{Q}_{y}}=hA\left({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}\right)}$

А поскольку теплопередача на поверхности происходит за счет теплопроводности,

${\displaystyle {{Q}_{y}}=-kA{\frac {\partial }{\partial y}}{{\left.\left(T-{{T}_{s}}\right)\right|}_{y=0}}}$

Эти два члена равны; таким образом

${\displaystyle -kA{\frac {\partial }{\partial y}}{{\left.\left(T-{{T}_{s}}\right)\right|}_{y=0}}=hA\left({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}\right)}$

Перестановка,

${\displaystyle {\frac {h}{k}}={\frac {{\left.{\frac {\partial \left({{T}_{s}}-T\right)}{\partial y}}\right|}_{y=0}}{\left({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}\right)}}}$

Сделав его безразмерным путем умножения на репрезентативную длину L,

${\displaystyle {\frac {hL}{k}}={\frac {{\left.{\frac {\partial \left({{T}_{s}}-T\right)}{\partial y}}\right|}_{y=0}}{\frac {\left({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}\right)}{L}}}}$

Теперь правая часть представляет собой отношение градиента температуры на поверхности к эталонному градиенту температуры, а левая часть аналогична модулю Био. Это становится отношением теплопроводящего теплового сопротивления к конвективному тепловому сопротивлению жидкости, иначе известному как число Нуссельта, Nu.

${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}$

Вывод [ править ]

Число Нуссельта может быть получено безразмерным анализом закона Фурье, поскольку оно равно безразмерному градиенту температуры на поверхности:

${\displaystyle q=-kA\nabla T}$, где q - скорость теплопередачи , k - постоянная теплопроводность, а T - температура жидкости .

Действительно, если: и ${\displaystyle \nabla '=L\nabla }$${\displaystyle T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}}$

мы приходим к

${\displaystyle -\nabla 'T'={\frac {L}{kA(T_{h}-T_{c})}}q={\frac {hL}{k}}}$

затем мы определяем

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {hL}{k}}}$

поэтому уравнение становится

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}=-\nabla 'T'}$

Интегрируя по поверхности тела:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^{}\mathrm {Nu} \,\mathrm {d} S'\!}$,

куда ${\displaystyle S'={\frac {S}{L^{2}}}}$

Эмпирические корреляции [ править ]

Обычно для свободной конвекции среднее число Нуссельта выражается как функция числа Рэлея и числа Прандтля и записывается как:

${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Ra} ,\mathrm {Pr} )}$

В противном случае для принудительной конвекции число Нуссельта обычно является функцией числа Рейнольдса и числа Прандтля , или

${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Re} ,\mathrm {Pr} )}$

Доступны эмпирические корреляции для самых разных геометрий, которые выражают число Нуссельта в вышеупомянутых формах.

Свободная конвекция [ править ]

Свободная конвекция у вертикальной стены [ править ]

Цитируется ^[6] как исходящий от Черчилля и Чу:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.68+{\frac {0.663\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}}{\left[1+(0.492/\mathrm {Pr} )^{9/16}\,\right]^{4/9}\,}}\quad \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{8}}$

Свободная конвекция от горизонтальных пластин [ править ]

Если характерная длина определена

${\displaystyle L\ ={\frac {A_{s}}{P}}}$

где - площадь поверхности пластины, - ее периметр.${\displaystyle \mathrm {A} _{s}}$${\displaystyle P}$

Затем для верхней поверхности горячего объекта в более холодной среде или нижней поверхности холодного объекта в более горячей среде ^[6]

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.54\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}\,\quad 10^{4}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{7}}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.15\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}\,\quad 10^{7}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{11}}$

И для нижней поверхности горячего объекта в более холодной среде или верхней поверхности холодного объекта в более горячей среде ^[6]

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.52\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}\,\quad 10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{10}}$

Принудительная конвекция на плоской пластине

Плоская пластина в ламинарном потоке [ править ]

Локальное число Нуссельта для ламинарного обтекания плоской пластины на расстоянии ниже по потоку от края пластины определяется выражением ^[7]${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}\ =0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}$

Среднее число Нуссельта для ламинарного обтекания плоской пластины от края пластины до расстояния ниже по потоку определяется выражением ^[7]${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}\ ={2}\cdot 0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\ =0.664\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}$

^[8]

Сфера в конвективном потоке [ править ]

В некоторых приложениях, таких как испарение сферических капель жидкости в воздухе, используется следующая корреляция: ^[9]

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}\ ={2}+0.4\,\mathrm {Re} _{D}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\,}$

Принудительная конвекция в турбулентном потоке в трубе [ править ]

Корреляция Гниелинского [ править ]

Корреляция Гниелинского для турбулентного потока в трубах: ^{[7] [10]}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}={\frac {\left(f/8\right)\left(\mathrm {Re} _{D}-1000\right)\mathrm {Pr} }{1+12.7(f/8)^{1/2}\left(\mathrm {Pr} ^{2/3}-1\right)}}}$

где f - коэффициент трения Дарси, который может быть получен либо из диаграммы Муди, либо для гладких трубок из корреляции, разработанной Петуховым: ^[7]

${\displaystyle f=\left(0.79\ln \left(\mathrm {Re} _{D}\right)-1.64\right)^{-2}}$

Корреляция Гниелинского действительна для: ^[7]

${\displaystyle 0.5\leq \mathrm {Pr} \leq 2000}$

${\displaystyle 3000\leq \mathrm {Re} _{D}\leq 5\times 10^{6}}$

Уравнение Диттуса-Боелтера [ править ]

Уравнение Диттуса-Боелтера (для турбулентного потока) является явной функцией для вычисления числа Нуссельта. Его легко решить, но он менее точен при большой разнице температур в жидкости. Он предназначен для гладких труб, поэтому рекомендуется использовать его для грубых труб (в большинстве коммерческих применений). Уравнение Диттуса-Боелтера:

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.023\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{n}}$

куда:

${\displaystyle D}$ внутренний диаметр круглого воздуховода

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$это число Прандтля

${\displaystyle n=0.4}$для нагреваемой жидкости и для охлаждаемой жидкости. ^[6]${\displaystyle n=0.3}$

Уравнение Диттуса-Боелтера справедливо для ^[11]

${\displaystyle 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 160}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\gtrsim 10\,000}$

${\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}$

Пример Уравнение Диттуса-Боелтера является хорошим приближением, где разница температур между объемной жидкостью и поверхностью теплопередачи минимальна, что позволяет избежать сложности уравнения и итеративного решения. Взяв воду со средней температурой жидкости в объеме 20 ° C, вязкостью 10,07 × 10 ^-4 Па · с и температурой поверхности теплопередачи 40 ° C (вязкость 6,96 × 10 ^-4 , поправочный коэффициент вязкости для может быть получен как 1,45. Это увеличивается до 3,57 при температуре поверхности теплопередачи 100 ° C (вязкость 2,82 × 10 ^-4 Па · с), что существенно влияет на число Нуссельта и коэффициент теплопередачи.${\displaystyle ({\mu }/{\mu _{s}})}$

Корреляция Сидера-Тейта [ править ]

Корреляция Зидера-Тейта для турбулентного потока является неявной функцией , поскольку она анализирует систему как нелинейную краевую задачу . Результат Зидера-Тейта может быть более точным, поскольку он учитывает изменение вязкости ( и ) из-за изменения температуры между средней температурой жидкости в объеме и температурой поверхности теплопередачи, соответственно. Корреляция Зидера-Тейта обычно решается с помощью итеративного процесса, поскольку коэффициент вязкости будет меняться по мере изменения числа Нуссельта. ^[12]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{s}}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.027\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\left({\frac {\mu }{\mu _{s}}}\right)^{0.14}}$^[6]

куда:

${\displaystyle \mu }$ вязкость жидкости при температуре жидкости в объеме

${\displaystyle \mu _{s}}$ - вязкость жидкости при температуре поверхности границы теплопередачи

Корреляция Зидера-Тейта действительна для ^[6]

${\displaystyle 0.7\leq \mathrm {Pr} \leq 16\,700}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\geq 10\,000}$

${\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}$

Принудительная конвекция в полностью развитом ламинарном потоке трубы [ править ]

Для полностью развитого внутреннего ламинарного потока числа Нуссельта имеют тенденцию к постоянному значению для длинных труб.

Для внутреннего потока:

${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hD_{h}}{k_{f}}}}$

куда:

D _h = гидравлический диаметр

k _f = теплопроводность жидкости

h = коэффициент конвективной теплопередачи

Конвекция с равномерной температурой для круглых труб [ править ]

Из Incropera & DeWitt, ^[13]

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.66}$

Последовательность OEIS A282581 дает это значение как .${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.6567934577632923619...}$

Конвекция с однородным тепловым потоком для круглых труб [ править ]

Для случая постоянного поверхностного теплового потока ^[13]

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=4.36}$

См. Также [ править ]

• Число Шервуда (массообменное число Нуссельта)
• Уравнение Черчилля – Бернштейна
• Число Био
• Число Рейнольдса
• Конвективная теплопередача
• Коэффициент теплопередачи
• Теплопроводность

Внешние ссылки [ править ]

• Простой вывод числа Нуссельта из закона охлаждения Ньютона (по состоянию на 23 сентября 2009 г.)

Ссылки [ править ]