Октаэдр

Правильный октаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2)
Лица по сторонам	8 {3}
Обозначение Конвея	О АТ
Символы Шлефли	{3,4}
	г {3,3} или ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Конфигурация лица	V4.4.4
Символ Wythoff	4 | 2 3
Диаграмма Кокстера
Симметрия	O h , BC 3 , [4,3], (* 432)
Группа вращения	О , [4,3] + , (432)
Рекомендации	U 05 , C 17 , W 2
Характеристики	правильный , выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	109.47122 ° = агссоз (- 1 / 3 )
3.3.3.3 ( Вершинная фигура )	Куб ( двойственный многогранник )
Сеть

3D-модель правильного октаэдра.

В геометрии , октаэдр (множественное число: октаэдров) представляет собой полиэдр с восемью гранями, двенадцать ребер, и шесть вершин. Этот термин чаще всего используется для обозначения правильного октаэдра, платонового тела, состоящего из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых пересекаются в каждой вершине .

Регулярное октаэдр является двойной многогранник из куба . Это выпрямленный тетраэдр . Это квадратная бипирамида в любой из трех ортогональных ориентаций. Это также треугольная антипризма в любой из четырех ориентаций.

Октаэдр - это трехмерный случай более общей концепции кросс-многогранника .

Регулярное октаэдр представляет собой 3-шар в Манхэттене ( ℓ ₁ ) метрики .

Правильный октаэдр [ править ]

Размеры [ править ]

Если длина ребра правильного октаэдра равна a , то радиус описанной сферы (той, которая касается октаэдра во всех вершинах) равен

${\ displaystyle r_ {u} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} a \ приблизительно 0,707 \ cdot a}$

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней октаэдра) равен

${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {\ sqrt {6}} {6}} a \ приблизительно 0,408 \ cdot a}$

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

${\ displaystyle r_ {m} = {\ tfrac {1} {2}} a = 0,5 \ cdot a}$

Ортогональные проекции [ править ]

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональные проекции , по центру, на кромке, вершины, лица и нормали к поверхности. Вторая и третья соответствуют плоскостям Кокстера B ₂ и A ₂ .

Сферическая мозаика [ править ]

Октаэдр также можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Декартовы координаты [ править ]

Октаэдр с длиной ребра √ 2 может быть размещен так, чтобы его центр находился в начале координат, а его вершины - на осях координат; тогда декартовы координаты вершин равны

(± 1, 0, 0);

(0, ± 1, 0);

(0, 0, ± 1).

В декартовой системе координат x - y - z октаэдр с координатами центра ( a , b , c ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y , z ) таких, что

${\ displaystyle \ left | xa \ right | + \ left | yb \ right | + \ left | zc \ right | = r.}$

Площадь и объем [ править ]

Площадь поверхности A и объем V правильного октаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}}$

Таким образом, объем в четыре раза больше, чем у правильного тетраэдра с той же длиной ребра, а площадь поверхности в два раза (потому что у нас 8, а не 4 треугольника).

Если октаэдр был растянут так, что он подчиняется уравнению

${\displaystyle \left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1,}$

формулы для площади поверхности и объема расширяются, чтобы стать

${\displaystyle A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}},}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}.}$

Кроме того, тензор инерции вытянутого октаэдра равен

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}-y_{m}^{2})\end{bmatrix}}.}$

Они сводятся к уравнениям для правильного октаэдра, когда

${\displaystyle x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

Геометрические отношения [ править ]

Внутри соединения двух двойных тетраэдров является октаэдр, и это соединение, называемое октангулой стелы , является его первой и единственной звездчатой ​​формой . Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т.е. выпрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в середине ребер тетраэдра, и в этом смысле он относится к тетраэдру так же, как кубооктаэдр и икосододекаэдр относятся к другим Платоновым телам. Также можно разделить ребра октаэдра в соотношении золотой середины.для определения вершин икосаэдра . Это делается путем размещения векторов по краям октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбивая каждое ребро на золотую середину в направлении его вектора. Есть пять октаэдров, которые определяют любой данный икосаэдр таким образом, и вместе они определяют правильное соединение .

Октаэдры и тетраэдры можно чередовать с образованием вершины, краев и лицом равномерной тесселяции пространства , называется октет ферма по Бакминстеру Фуллер . Это единственная такая мозаика, за исключением регулярной мозаики кубов , и одна из 28 выпуклых однородных сот . Другой - мозаика октаэдров и кубооктаэдров .

Октаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что имеет четное число граней, пересекающихся в каждой вершине. Следовательно, это единственный член этой группы, у которого есть зеркальные плоскости, которые не проходят через какие-либо грани.

Используя стандартную номенклатуру твердых тел Джонсона , октаэдр можно было бы назвать квадратной бипирамидой . Усечение двух противоположных вершин приводит к квадратному раздвоению .

Октаэдр 4-связан , а это означает , что он принимает удаление из четырех вершин , чтобы отключить остальные вершины. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством - это пятиугольная дипирамида , курносый дисфеноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[1]

Октаэдр также может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями, установленными на 1.

Равномерная окраска и симметрия [ править ]

Октаэдр имеет 3 одинаковых цвета , названных по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

Группа симметрии октаэдра - O _h порядка 48, трехмерная гипероктаэдрическая группа . Подгруппы этой группы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16) - группа симметрии квадратной бипирамиды ; и T _d (порядок 24) - группа симметрии выпрямленного тетраэдра . Эти симметрии можно подчеркнуть разной окраской лиц.

Имя	Октаэдр	Ректификованный тетраэдра (Tetratetrahedron)	Треугольная антипризма	Квадратная бипирамида	Ромбический фузил
Изображение (раскраска лица)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Кокстера		знак равно
Символ Шлефли	{3,4}	г {3,3}	s {2,6} sr {2,3}	футы {2,4} {} + {4}	ftr {2,2} {} + {} + {}
Символ Wythoff	4 | 3 2	2 | 4 3	2 | 6 2 | 2 3 2
Симметрия	О ч , [4,3], (* 432)	Т д , [3,3], (* 332)	D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (* 422)	D 2h , [2,2], (* 222)
Заказ	48	24	12 6	16	8

Сети [ править ]

В правильном октаэдре одиннадцать сеток .

Двойной [ править ]

Октаэдр является двойственным многогранником к кубу .

Если длина ребра октаэдра , то длина ребра двойственного куба .${\displaystyle =a}$${\displaystyle ={\sqrt {2}}a}$

Фацетирование [ править ]

Равномерный тетрагемигексаэдр представляет собой огранку тетраэдрической симметрии правильного октаэдра, разделяющую ребро и вершину . У него четыре треугольных грани и три центральных квадрата.

Неправильные октаэдры [ править ]

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному многограннику. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые однозначно соответствуют характеристикам правильного октаэдра.

• Треугольные антипризмы : две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
• Тетрагональные бипирамиды , в которых хотя бы один из экваториальных четырехугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр - это частный случай, когда все три четырехугольника представляют собой плоские квадраты.
• Многогранник Шёнхардта , невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
• Октаэдр Брикара , невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник

Другие выпуклые октаэдры [ править ]

В более общем смысле октаэдром может быть любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер, минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. ^[2] Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, исключая зеркальные изображения. Более конкретно, есть 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 для октаэдров с 6-12 вершинами соответственно. ^{[3] [4]} (Два многогранника являются «топологически разными», если они имеют внутренне разное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменив длину ребер или углы между ребрами или гранями. .)

Некоторые более известные неправильные октаэдры включают следующее:

• Шестиугольная призма : две грани - параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов связывают соответствующие пары граней шестиугольника.
• Гептагональная пирамида : одна грань - это семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней - треугольники (обычно равнобедренные). Не все треугольные грани могут быть равносторонними.
• Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усечены, чтобы стать правильными шестиугольниками, и есть еще четыре грани равностороннего треугольника, где каждая вершина тетраэдра была усечена.
• Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней - конгруэнтные воздушные змеи .

Октаэдры в физическом мире [ править ]

Октаэдры в природе [ править ]

• Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно октаэдрические, как тетраэдрически-октаэдрические соты, заполняющие пространство .
• Пластины камаситового сплава в октаэдритовых метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
• Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
• Видманштеттенова структура в никель - железные кристаллы

Октаэдры в искусстве и культуре [ править ]

• Это твердое тело, особенно в ролевых играх , известно как «d8», одна из наиболее распространенных многогранных игральных костей .
• Если каждое ребро октаэдра заменить резистором сопротивлением 1 Ом , сопротивление между противоположными вершинами равно1/2 ом, а между соседними вершинами 5/12ом. ^[5]
• Шесть музыкальных нот могут быть расположены на вершинах октаэдра таким образом, что каждое ребро представляет диаду согласных, а каждая грань представляет собой триаду согласных; см. гексаны .

Тетраэдрическая ферма [ править ]

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров был изобретен Бакминстером Фуллером в 1950-х годах, известный как пространственный каркас , который обычно считается самой прочной структурой для сопротивления консольным напряжениям.

Связанные многогранники [ править ]

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра , добавив 4 тетраэдра на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

Октаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса , многогранника, образованного некоторыми пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающихся в гиперболическую плоскость .

Тетратетраэдр [ править ]

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром - и его можно назвать тетраэдром . Это можно показать на двухцветной модели лица. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения между тетраэдром и его двойником:

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Вышеупомянутые формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять слоев выше расположены на высоте r ,3/8, 1/2, 5/8, и s , где r - любое число в диапазоне 0 < r ≤1/4, а s - любое число в диапазоне3/4≤ s <1 .

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазирегулярных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , переходящих от мозаик сферы к евклидовой плоскости и в гиперболическую плоскость. С орбифолдной симметрией * n 32, все эти мозаики являются конструкциями Витхоффа в фундаментальной области симметрии с точками образующих в правом углу области. ^{[6] [7]}

Тригональная антипризма [ править ]

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагональной двугранной симметрии.

Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Симметрия : [6,2] , (* 622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2 * 3)
{6,2}	т {6,2}	г {6,2}	т {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	с {2,6}
Двойники к униформе
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Квадратная бипирамида [ править ]

«Правильные» правые (симметричные) n -угольные бипирамиды :

Имя	Дигональная бипирамида	Треугольная бипирамида (J 12 )	Квадратная бипирамида (О)	Пятиугольная бипирамида (J 13 )	Шестиугольная бипирамида	Гептагональная бипирамида	Восьмиугольная бипирамида	Эннеагональная бипирамида	Десятиугольная бипирамида	...	Апейрогональная бипирамида
Изображение многогранника										...
Сферическое мозаичное изображение										Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Диаграмма Кокстера										...

См. Также [ править ]

• Октаэдрическое число
• Центрированное октаэдрическое число
• Вращающийся октаэдр
• Стелла октангула
• Октаэдр Триаки
• Октаэдр Hexakis
• Усеченный октаэдр
• Октаэдрическая молекулярная геометрия
• Октаэдрическая симметрия
• Октаэдрический граф
• Октаэдрическая сфера

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Октаэдр»  . Британская энциклопедия . 19 (11-е изд.). 1911 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр» . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o4o - oct» .
• Редактируемая печатная сетка октаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Бумажная модель октаэдра
• К.Дж.Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • Нотация Конвея для многогранников Попробуйте: dP4