В прикладной статистике оптимальная оценка - это метод обратной регуляризованной матрицы, основанный на теореме Байеса . Он очень часто используется в науках о Земле , особенно для атмосферного зондирования . Матричная обратная задача выглядит так:
Основная идея состоит в том, чтобы преобразовать матрицу A в условную вероятность и переменные а также в вероятностные распределения, предполагая гауссову статистику и используя эмпирически определенные ковариационные матрицы.
Вывод
Обычно ожидается, что статистика большинства измерений будет гауссовой . Так, например, для, мы можем написать:
где m и n - количество элементов в а также соответственно - решаемая матрица (линейная или линеаризованная прямая модель) и ковариационная матрица вектора . Аналогичным образом это можно сделать для:
Здесь принято так называемое «априорное» распределение: обозначает априорные значения для пока - его ковариационная матрица.
Хорошая особенность гауссовых распределений заключается в том, что для их описания необходимы только два параметра, и поэтому вся проблема может быть снова преобразована в матрицы. При условии, что принимает следующий вид:
можно пренебречь, поскольку для данного значения , это просто постоянный член масштабирования. Теперь можно решить как математическое ожидание, , а для его ковариационной матрицы приравнивая а также . Это дает следующие уравнения:
Поскольку мы используем гауссианы, ожидаемое значение эквивалентно максимальному вероятному значению, и поэтому это также форма оценки максимального правдоподобия .
Обычно при оптимальной оценке в дополнение к вектору извлеченных величин возвращается одна дополнительная матрица вместе с ковариационной матрицей. Иногда это называется матрицей разрешения или ядром усреднения и рассчитывается следующим образом:
Это говорит нам, для данного элемента извлеченного вектора, сколько других элементов вектора смешано. В случае извлечения информации профиля, это обычно указывает разрешение по высоте для данной высоты. Например, если векторы разрешения для всех высот содержат ненулевые элементы (с числовым допуском) в своих четырех ближайших соседях, то разрешение по высоте составляет только одну четвертую от фактического размера сетки.
Рекомендации
- Клайв Д. Роджерс (1976). «Восстановление температуры и состава атмосферы по дистанционным измерениям теплового излучения». Обзоры геофизики и космической физики . 14 (4): 609. DOI : 10,1029 / RG014i004p00609 .
- Клайв Д. Роджерс (2000). Обратные методы зондирования атмосферы: теория и практика . World Scientific.
- Клайв Д. Роджерс (2002). «Дистанционное зондирование атмосферы: обратная задача». Труды Четвертой Весенней школы Оксфорда / RAL по количественному наблюдению за Землей . Оксфордский университет.