Порядок величины

Масштаб всего. Он начинается с пространства-времени (квантовая пена) и проходит через мелкие элементарные частицы, промежуточные элементарные частицы, большие элементарные частицы, компоненты составных частиц, компоненты атомов, электромагнитные волны, простые атомы, сложные атомы, молекулы, маленькие вирусы, большие вирусы, хромосомы, клетки, волосы, части тела, виды, группы видов, небольшие области, такие как кратеры, большие области, такие как массивы суши, планеты, орбиты, звезды, малые планетные системы, промежуточные планетные системы, большие планетные системы, скопления звезд, звездные скопления, галактики, группы галактик, скопления галактик, сверхскопления галактик, космическая сеть, объемы Хаббла и концы с Вселенной.

Порядок является приближением к логарифму по значению по отношению к некоторым контекстуально понимаемой опорного значения, как правило , десять, интерпретируется как основание логарифма и представитель значений величины одного. Логарифмические распределения являются обычными по своей природе, и рассмотрение порядка величины значений, выбранных из такого распределения, может быть более интуитивным. Когда опорное значение равно десять, порядок может быть понят как количество цифр в представлении базы-10 значения. Аналогичным образом , если опорное значение является одним из определенных степеней числа двух, величина может быть понята как объем памяти компьютера необходимо хранить точное целое значение.

Различия по порядку величины могут быть измерены по десятичной логарифмической шкале в « декадах » (т. Е. С десятикратным коэффициентом). ^[1] Примеры чисел разной величины можно найти на порядках величины (числах) .

Определение [ править ]

Как правило, порядок величины числа - это наименьшая степень 10, используемая для представления этого числа. ^[2] Чтобы определить порядок величины числа , оно сначала выражается в следующей форме:${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle N = a \ times 10 ^ {b}}$

где . Затем представляет собой порядок величины числа. Порядок величины может быть любым целым числом . В таблице ниже перечислен порядок некоторых чисел в свете этого определения:${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {10}}} \ leq a <{\ sqrt {10}}}$${\ displaystyle b}$

Число ${\ displaystyle N}$	Выражение в ${\ displaystyle N = a \ times 10 ^ {b}}$	Порядок величины ${\ displaystyle b}$
0,2	2 × 10 -1	−1
1	1 × 10 0	0
5	0,5 × 10 1	1
6	0,6 × 10 1	1
31 год	3,1 × 10 1	1
32	0,32 × 10 2	2
999	0,999 × 10 3	3
1000	1 × 10 3	3

Среднее геометрическое из и является , а это означает , что значение точно (т.е. ) представляет собой геометрическое «промежуточную точку» в пределах диапазона возможных значений .${\ displaystyle 10 ^ {b-1/2}}$${\ displaystyle 10 ^ {b + 1/2}}$${\ displaystyle 10 ^ {b}}$${\ displaystyle 10 ^ {b}}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle a}$

Некоторые используют более простое определение , где , возможно , потому , что среднее арифметическое из и подходов для увеличения . Это определение имеет эффект небольшого понижения значений :${\ Displaystyle 0,5 <а \ leq 5}$${\ displaystyle 10 ^ {b}}$${\displaystyle 10^{b+c}}$${\displaystyle 5\times 10^{b+c-1}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$

Число ${\displaystyle N}$	Выражение в ${\displaystyle N=a\times 10^{b}}$	Порядок величины ${\displaystyle b}$
0,2	2 × 10 -1	−1
1	1 × 10 0	0
5	5 × 10 0	0
6	0,6 × 10 1	1
31 год	3,1 × 10 1	1
32	3,2 × 10 1	1
999	0,999 × 10 3	3
1000	1 × 10 3	3

Третьи ограничиваются значениями где , делая порядок величины точно равным его экспоненциальной части в научной нотации .${\displaystyle a}$${\displaystyle 1\leq a<10}$

Использует [ редактировать ]

Порядки величины используются для приблизительного сравнения. Если номера различаются на один порядок величины, х составляет приблизительно десять раз в различном количестве , чем у . Если значения различаются на два порядка, они различаются примерно в 100 раз. Два числа одного порядка имеют примерно одинаковый масштаб: большее значение в десять раз меньше меньшего.

Расчет порядка [ править ]

Порядок величины числа, интуитивно говоря, представляет собой количество степеней 10, содержащихся в числе. Точнее, порядок величины числа может быть определен в терминах десятичного логарифма , обычно как целая часть логарифма, полученная путем усечения . Например, число4 000 000 имеет логарифм (по основанию 10) 6,602; его порядок величины равен 6. При усечении число этого порядка составляет от 10 ⁶ до 10 ⁷ . В аналогичном примере с фразой «У него семизначный доход» порядок величины равен количеству цифр минус один, поэтому очень легко определить без калькулятора до 6. Порядок величины - это приблизительное положение. в логарифмической шкале .

Оценка по порядку величины [ править ]

Оценка по порядку величины переменной, точное значение которой неизвестно, представляет собой оценку, округленную до ближайшей степени десяти. Например, оценка порядка величины из-за переменной между около 3 млрд и 30 млрд (например, человеческого населения на Земле ) составляет 10 млрд . Чтобы округлить число до ближайшего порядка величины, нужно округлить его логарифм до ближайшего целого числа. Таким образом4 000 000 , логарифм (по основанию 10) которого равен 6,602, имеет 7 в качестве ближайшего порядка величины, поскольку «ближайший» подразумевает округление, а не усечение. Для числа, записанного в научных обозначениях, эта шкала логарифмического округления требует округления до следующей степени десяти, когда множитель больше квадратного корня из десяти (около 3,162). Например, ближайший порядок величины для1,7 × 10 ⁸ равно 8, тогда как ближайший порядок величины для3,7 × 10 ⁸ равно 9. Оценка по порядку величины иногда также называется приближением нулевого порядка .

Порядок разницы [ править ]

Разница по порядку величины между двумя значениями составляет 10 раз. Например, масса планеты Сатурн в 95 раз больше массы Земли , поэтому Сатурн на два порядка массивнее Земли. При измерении в логарифмической шкале различия по порядку величины называются десятилетиями .

Недесятичные порядки величины [ править ]

Другие порядки величины могут быть рассчитаны с использованием оснований, отличных от 10. Древние греки ранжировали ночную яркость небесных тел по 6 уровням, в которых каждый уровень был корнем пятой степени из ста (около 2,512), равным ближайшему более слабому уровню яркости. , и , следовательно , самый яркий уровень будучи 5 порядков ярче , чем самое слабое указывает на то, что это (100 ^1/5 ) ⁵ или фактором в 100 раз ярче.

Различные десятичные системы счисления в мире используют большее основание, чтобы лучше представить размер числа, и создали имена для степеней этого большего основания. В таблице показано, к какому числу стремится порядок величины для базы 10 и для базы1 000 000 . Можно видеть, что порядок величины включен в название числа в этом примере, потому что bi- означает 2, а tri- означает 3 (они имеют смысл только в длинной шкале), а суффикс -illion говорит о том, что основание1 000 000 . Но сами числа миллиард, триллион (здесь с другим значением, чем в первой главе) не являются названиями порядков величин, это названия «величин», то есть числа 1 000 000 000 000 и т. Д.

Единицы СИ в таблице справа используются вместе с префиксами СИ , которые были разработаны с учетом в основном базовой 1000 величин. Стандартные префиксы IEC с основанием 1024 были изобретены для использования в электронной технике.

Древние видимые величины яркости звезд используют основание и перевернуты. Однако модернизированная версия превратилась в логарифмическую шкалу с нецелыми значениями.${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}\approx 2.512}$

Чрезвычайно большие числа [ править ]

Для очень больших чисел обобщенный порядок величины может быть основан на их двойном логарифме или суперлогарифме . Округление их в меньшую сторону до целого числа дает категории между очень «круглыми числами», округление их до ближайшего целого числа и применение обратной функции дает «ближайшее» круглое число.

Двойной логарифм дает категории:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–10 ¹⁰ , 10 ¹⁰ –10 ¹⁰⁰ , 10 ¹⁰⁰ –10¹⁰⁰⁰ , ...

(первые два упомянутых и расширение слева могут быть не очень полезными, они просто демонстрируют, как последовательность математически продолжается влево).

Суперлогарифм дает категории:

0-1, 1-10, 10-10 ¹⁰ , 10 ¹⁰ -10 ^{10 10} , 10 ^{10 10} -10 ^{10 10 10} , ... или

0- ^- 10, ⁰ 10- ^- 10, ¹ 10 - ² 10, ² 10 - ³ 10, ³ 10- ^- 10, ...

В первом случае "средние точки", определяющие, какое круглое число ближе:

1.076, 2.071, 1453, 4,20 × 10 ³¹ ,1,69 × 10 ³¹⁶ , ...

и, в зависимости от метода интерполяции, во втором случае

-0,301, 0,5, 3,162, 1453 , г.1 × 10 ¹⁴⁵³ , , , ... (см обозначения очень больших чисел )${\displaystyle (10\uparrow )^{1}10^{1453}}$${\displaystyle (10\uparrow )^{2}10^{1453}}$

Для чрезвычайно малых чисел (в смысле близких к нулю) ни один метод не подходит напрямую, но можно рассматривать обобщенный порядок величины обратной величины .

Подобно логарифмической шкале, можно иметь двойную логарифмическую шкалу (пример представлен здесь ) и суперлогарифмическую шкалу. Все интервалы имеют одинаковую длину, а «середины» фактически находятся на полпути. В более общем смысле точка на полпути между двумя точками соответствует обобщенному f- среднему с f ( x ) соответствующей функцией log log x или slog x . В случае log log x это среднее двух чисел (например, 2 и 16 дает 4) не зависит от основания логарифма, как и в случае log x ( среднее геометрическое, 2 и 8 дают 4), но в отличие от случая log log log x (4 и65 536, что дает 16, если основание равно 2, но не иначе).

См. Также [ править ]

• Обозначение Big O
• Децибел
• Математические операторы и символы в Юникоде
• Имена больших чисел
• Имена маленьких чисел
• Чувство числа
• По порядку величины (энергия)
• Порядки величины (числа)
• Научная нотация
• Символы Unicode для совместимости с CJK включают символы единиц SI
• Оценка (алгебра) , алгебраическое обобщение «порядка величины»
• Масштаб (аналитический инструмент)

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Азимов, Исаак Мера Вселенной (1983)

Внешние ссылки [ править ]

• Масштаб Вселенной 2 Интерактивный инструмент от длины Планка 10 ⁻³⁵ метров до размера Вселенной 10 ²⁷
• Космос - иллюстрированное путешествие в измерениях из микрокосмоса в макрокосмос - от Digital Nature Agency
• Полномочия 10 , графический анимированный рисунок , который начинается с видом на Млечном Пути на 10 ²³ метров и заканчивается с субатомных частиц на 10 ^-16 метров.
• Что такое порядок величины?