В физике , то генератор Тода это особый вид нелинейного осциллятора . Он представляет собой цепочку частиц с экспоненциальным потенциалом взаимодействия между соседями. [1] Эти концепции названы в честь Морикадзу Тода . Осциллятор Тоды используется как простая модель для понимания явления автопульсации , которая представляет собой квазипериодическую пульсацию выходной интенсивности твердотельного лазера в переходном режиме .
Определение
Осциллятор Тоды - это динамическая система любого происхождения, которую можно описать зависимой координатой и независимая координата , отличающийся тем, что эволюция по независимой координате можно аппроксимировать уравнением
где , штрих обозначает производную.
Физический смысл
Независимая координата имеет чувство времени . В самом деле, это может быть пропорционально времени с некоторым отношением вроде , где постоянно.
производное может иметь смысл скорости частицы с координатой; тогдаможно интерпретировать как ускорение ; а масса такой частицы равна единице.
Диссипативная функция может иметь смысл коэффициента трения, пропорционального скорости .
Обычно оба параметра а также должны быть положительными; то этот пропорциональный скорости коэффициент трения экспоненциально растет при больших положительных значениях координаты.
Потенциал - фиксированная функция, которая также показывает экспоненциальный рост при больших положительных значениях координаты.
При применении в лазерной физике ,может иметь логарифм числа фотонов в лазерном резонаторе , относящийся к его стационарному значению. Тогда выходная мощность такого лазера пропорциональнаи может показать пульсацию на колебания из.
Обе аналогии с частицей единичной массы и логарифмом числа фотонов полезны при анализе поведения осциллятора Тоды.
Энергия
Строго говоря, колебание является периодическим только при . Действительно, при реализации генератора Тоды в виде самопульсирующего лазера эти параметры могут иметь значения порядка; за несколько импульсов амплитуда пульсации не сильно меняется. В этом случае можно говорить о периоде пульсации, поскольку функция почти периодический.
В случае , энергия осциллятора не зависит от , и может рассматриваться как постоянная движения. Тогда за один период пульсации соотношение между а также можно выразить аналитически: [2] [3]
где а также - минимальные и максимальные значения ; это решение написано для случая, когда.
однако другие решения могут быть получены с использованием принципа трансляционной инвариантности .
Соотношение - удобный параметр для характеристики амплитуды пульсации. Используя это, мы можем выразить медианное значение в виде ; и энергия также является элементарной функцией .
В приложении количество не обязательно должна быть физическая энергия системы; в этих случаях эту безразмерную величину можно назвать квазиэнергией .
Период пульсации
Период пульсации является возрастающей функцией амплитуды .
Когда , Период
Когда , Период
Во всем диапазоне , Период и частота можно аппроксимировать
до не менее 8 значащих цифр . Относительная погрешность этого приближения не превышает.
Затухание пульсации
При небольших (но все же положительных) значениях а также , пульсация затухает медленно, и это затухание можно описать аналитически. В первом приближении параметры а также вносят аддитивный вклад в распад; скорость затухания, а также амплитуда и фаза нелинейных колебаний могут быть аппроксимированы элементарными функциями аналогично периоду, указанному выше. При описании поведения идеализированного осциллятора Тоды погрешность таких приближений меньше, чем разница между идеалом и его экспериментальной реализацией в виде самопульсирующего лазера на оптической скамье . Однако самимпульсный лазер качественно показывает очень похожее поведение. [3]
Непрерывный предел
В Тода цепные уравнения движения, в непрерывном пределе , в котором расстояние между соседними стремится к нулю, становится -де Кортевег Фриза (КдФ). [1] Здесь индекс, обозначающий частицу в цепочке, становится новой пространственной координатой.
Напротив, теория поля Тоды достигается введением новой пространственной координаты, которая не зависит от метки индекса цепи. Это делается релятивистски инвариантным образом, так что время и пространство рассматриваются на равных основаниях. [4] Это означает, что теория поля Тоды не является непрерывным пределом цепочки Тоды.
Рекомендации
- ^ а б Тода, М. (1975). «Исследования нелинейной решетки». Отчеты по физике . 18 (1): 1. Bibcode : 1975PhR .... 18 .... 1T . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (75) 90018-6 .
- ^ Оппо, GL; Полити, А. (1985). «Тода-потенциал в лазерных уравнениях». Zeitschrift für Physik Б . 59 (1): 111–115. Bibcode : 1985ZPhyB..59..111O . DOI : 10.1007 / BF01325388 . S2CID 119657810 .
- ^ а б Кузнецов, Д .; Bisson, J.-F .; Li, J .; Уэда, К. (2007). «Самоимпульсный лазер как генератор Тоды: приближение через элементарные функции». Журнал Physics A . 40 (9): 1–18. Bibcode : 2007JPhA ... 40.2107K . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/9/016 .
- ^ Кашаев, Р.-М .; Решетихин Н. (1997). «Аффинная теория поля Тоды как трехмерная интегрируемая система». Сообщения по математической физике . 188 (2): 251–266. arXiv : hep-th / 9507065 . Bibcode : 1997CMaPh.188..251K . DOI : 10.1007 / s002200050164 . S2CID 17196702 .