Паравектор

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Февраль 2010 г. )

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Имя паравектора используется для суммы скаляра и вектора в любой алгебре Клиффорда ( в физическом сообществе алгебра Клиффорда также известна как геометрическая алгебра ).

Это название было дано Дж. Г. Максом, докторской диссертацией, Технический университет Делфта (Нидерланды), 1989.

Полная алгебра паравекторов вместе с соответствующими обобщениями более высокого уровня, все в контексте евклидова пространства трех измерений, представляет собой альтернативный подход к алгебре пространства-времени (STA), введенный Дэвидом Хестенесом . Эта альтернативная алгебра называется алгеброй физического пространства (APS).

Основная аксиома [ править ]

Для евклидовых пространств основная аксиома указывает, что произведение вектора на себя является скалярным значением квадрата длины (положительным).

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ mathbf {v} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}}$

Пишу

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {u} + \ mathbf {w},}$

и вводя это в выражение основной аксиомы

${\ Displaystyle (\ mathbf {u} + \ mathbf {w}) ^ {2} = \ mathbf {u} \ mathbf {u} + \ mathbf {u} \ mathbf {w} + \ mathbf {w} \ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ mathbf {w},}$

после повторного обращения к основной аксиоме мы получим следующее выражение

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} +2 \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w} + \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w} = \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} + \ mathbf {u} \ mathbf {w} + \ mathbf {w} \ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w},}$

что позволяет идентифицировать скалярное произведение двух векторов как

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {w} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathbf {u} \ mathbf {w} + \ mathbf {w} \ mathbf {u} \Правильно).}$

В качестве важного следствия мы заключаем, что два ортогональных вектора (с нулевым скалярным произведением) антикоммутируют

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ mathbf {w} + \ mathbf {w} \ mathbf {u} = 0}$

Трехмерное евклидово пространство [ править ]

Следующий список представляет собой пример полной основы для пространства,${\displaystyle C\ell _{3}}$

${\displaystyle \{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},}$

который образует восьмимерное пространство, где несколько индексов указывают произведение соответствующих базисных векторов, например

${\displaystyle \mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$

Степень базового элемента определяется в терминах кратности вектора, так что

Оценка	Тип	Базовый элемент / ы
0	Унитарный действительный скаляр	${\displaystyle 1}$
1	Вектор	${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$
2	Бивектор	${\displaystyle \{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}}$
3	Элемент объемного тривектора	${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

Согласно основной аксиоме, два разных базисных вектора антикоммутируют ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}}$

или другими словами,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j}$

Это означает, что квадрат элемента объема равен${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{123}^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1.}$

Более того, элемент объема коммутирует с любым другим элементом алгебры, так что его можно отождествить с комплексным числом , когда нет опасности путаницы. Фактически, элемент объема вместе с вещественным скаляром образует алгебру, изоморфную стандартной комплексной алгебре. Элемент объема можно использовать для перезаписи эквивалентной формы основы как${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$${\displaystyle C\ell (3)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

Оценка	Тип	Базовый элемент / ы
0	Унитарный действительный скаляр	${\displaystyle 1}$
1	Вектор	${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$
2	Бивектор	${\displaystyle \{i\mathbf {e} _{1},i\mathbf {e} _{2},i\mathbf {e} _{3}\}}$
3	Элемент объемного тривектора	${\displaystyle i}$

Paravectors [ править ]

Соответствующий паравекторный базис, объединяющий действительный скаляр и векторы, есть

${\displaystyle \{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$,

который образует четырехмерное линейное пространство. Паравекторное пространство в трехмерном евклидовом пространстве может использоваться для представления пространства-времени специальной теории относительности, выраженного в алгебре физического пространства (APS).${\displaystyle C\ell _{3}}$

Единичный скаляр удобно записать как , так что полный базис может быть записан в компактной форме как${\displaystyle 1=\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\mu }\},}$

где греческие индексы, например, бегут от до .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 3}$

Антиавтоморфизм [ править ]

Обратное спряжение [ править ]

Реверсия антиавтоморфизм обозначается . Действие этого спряжения - изменить порядок геометрического произведения (произведение чисел Клиффорда в целом).${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$,

где векторы и действительные скалярные числа инвариантны относительно обратного сопряжения и называются действительными , например:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a} }$

${\displaystyle 1^{\dagger }=1}$

С другой стороны, тривектор и бивектор меняют знак при обратном сопряжении и называются чисто мнимыми . Обратное сопряжение, применяемое к каждому базисному элементу, приведено ниже.

Элемент	Обратное спряжение
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{12}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{23}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{31}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{31}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{123}}$

Спряжение Клиффорда [ править ]

Спряжение Клиффорда обозначается полосой над объектом . Это спряжение также называется конъюгацией бара .${\displaystyle {\bar {}}}$

Конъюгация Клиффорда - это комбинированное действие ступенчатой ​​инволюции и реверсии.

Действие конъюгации Клиффорда на паравектор состоит в том, чтобы изменить знак векторов, сохраняя знак действительных скалярных чисел, например

${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\bar {1}}=1}$

Это связано с тем, что как скаляры, так и векторы инвариантны к реверсии (невозможно изменить порядок одного или ни одного объекта), а скаляры имеют нулевой порядок и поэтому имеют четный класс, в то время как векторы имеют нечетный класс и поэтому претерпевают изменение знака. в стадии инволюции.

Как антиавтоморфизм, конъюгация Клиффорда распределяется как

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}}$

Сопряжение столбцов, применяемое к каждому элементу базиса, приведено ниже.

Элемент	Барное спряжение
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{1}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{2}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{3}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{12}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{23}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{31}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{31}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

• Примечание. Элемент объема инвариантен относительно сопряжения стержня.

Уровень автоморфизма [ править ]

Автоморфизм степени определяется как составное действие как реверсивного спряжения, так и конъюгации Клиффорда, и имеет эффект инвертирования знака многовекторов нечетной степени при сохранении инвариантности многовекторов четной степени:${\displaystyle {\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }}$

Элемент	Инволюция степени
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{1}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{2}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{3}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{31}}$	${\displaystyle \mathbf {e} _{31}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{123}}$

Инвариантные подпространства согласно сопряжениям [ править ]

Четыре специальных подпространства могут быть определены в пространстве на основе их симметрии относительно реверсии и сопряжения Клиффорда.${\displaystyle C\ell _{3}}$

• Скалярное подпространство : инвариантно относительно сопряжения Клиффорда.
• Векторное подпространство : меняет знак при спряжении Клиффорда.
• Действительное подпространство : инвариантно относительно обратного сопряжения.
• Воображаемое подпространство : меняет знак при обратном сопряжении.

Заданные как общее число Клиффорда, дополнительные скалярные и векторные части задаются симметричными и антисимметричными комбинациями с сопряжением Клиффорда${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})}$.

Аналогичным образом, дополнительные Реальная и Мнимая части задаются симметричными и антисимметричными комбинациями с реверсивным сопряжением${\displaystyle p}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })}$.

Можно определить четыре перекрестка, перечисленных ниже.

${\displaystyle \langle p\rangle _{RS}=\langle p\rangle _{SR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{S}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{RV}=\langle p\rangle _{VR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{V}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{IV}=\langle p\rangle _{VI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{V}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{IS}=\langle p\rangle _{SI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{S}}$

В следующей таблице приведены оценки соответствующих подпространств, где, например, оценка 0 может рассматриваться как пересечение подпространств Real и Scalar.

• Замечание: термин «мнимый» используется в контексте алгебры и не подразумевает введения стандартных комплексных чисел в какой-либо форме.${\displaystyle C\ell _{3}}$

Закрытые подпространства относительно продукта [ править ]

Есть два подпространства, которые замкнуты относительно произведения. Это скалярное пространство и четное пространство, изоморфные хорошо известным алгебрам комплексных чисел и кватернионов.

• Скалярное пространство, составленное из степеней 0 и 3, изоморфно стандартной алгебре комплексных чисел с отождествлением

${\displaystyle \mathbf {e} _{123}=i}$

• Четное пространство, составленное из элементов 0 и 2 степени, изоморфно алгебре кватернионов с отождествлением

${\displaystyle -\mathbf {e} _{23}=i}$

${\displaystyle -\mathbf {e} _{31}=j}$

${\displaystyle -\mathbf {e} _{12}=k}$

Скалярное произведение [ править ]

Учитывая два паравектора и , обобщение скалярного произведения имеет вид${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \langle u{\bar {v}}\rangle _{S}.}$

Квадрат величин паравектора равен${\displaystyle u}$

${\displaystyle \langle u{\bar {u}}\rangle _{S},}$

которая не является определенной билинейной формой и может быть равна нулю, даже если паравектор не равен нулю.

Очень показательно, что паравекторное пространство автоматически подчиняется метрике пространства Минковского, потому что${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{S}}$

и в частности:

${\displaystyle \eta _{00}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle _{S}=1,}$

${\displaystyle \eta _{11}=\langle \mathbf {e} _{1}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} _{1}(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=-1,}$

${\displaystyle \eta _{01}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=0.}$

Бипаравекторы [ править ]

Учитывая два паравектора и , бипаравектор B определяется как:${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle B=\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}}$.

Бипаравекторный базис можно записать как

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{V}\},}$

который содержит шесть независимых элементов, включая действительные и мнимые члены. Три действительных элемента (вектора) как

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{k},}$

и три мнимых элемента (бивекторы) в виде

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{jk}}$

где запустить от 1 до 3.${\displaystyle j,k}$

В алгебре физического пространства электромагнитное поле выражается как бипаравектор как

${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},}$

где электрическое и магнитное поля являются действительными векторами

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B} }$

и представляет элемент псевдоскалярного объема.${\displaystyle i}$

Другой пример бипаравектора - это представление скорости вращения пространства-времени, которое может быть выражено как

${\displaystyle W=i\theta ^{j}\mathbf {e} _{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

с тремя обычными переменными угла поворота и тремя скоростями .${\displaystyle \theta ^{j}}$ ${\displaystyle \eta ^{j}}$

Трипаравекторы [ править ]

Учитывая три паравектора , и , трипаравектор T определяется как:${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle T=\langle u{\bar {v}}w\rangle _{I}}$.

Базис трипаравектора можно записать как

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }\rangle _{I}\},}$

но есть только четыре независимых трипаравектора, поэтому его можно свести к

${\displaystyle \{i\mathbf {e} _{\rho }\}}$.

Псевдоскаляр [ править ]

Псевдоскалярный базис${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}_{\rho }\rangle _{IS}\},}$

но расчет показывает, что он содержит только один член. Этот термин - элемент объема .${\displaystyle i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}$

Четыре степени, взятые в комбинации пар, образуют пространства паравектора, бипаравектора и трипаравектора, как показано в следующей таблице, где, например, мы видим, что паравектор состоит из оценок 0 и 1.

Параградиент [ править ]

Оператор параградиента - это обобщение оператора градиента в паравекторном пространстве. Параградиент в базисе стандартного паравектора равен

${\displaystyle \partial =\mathbf {e} _{0}\partial _{0}-\mathbf {e} _{1}\partial _{1}-\mathbf {e} _{2}\partial _{2}-\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}$

что позволяет записать оператор Даламбера в виде

${\displaystyle \square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle _{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle _{S}}$

Стандартный оператор градиента можно естественным образом определить как

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{1}\partial _{1}+\mathbf {e} _{2}\partial _{2}+\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}$

так что параградиент можно записать как

${\displaystyle \partial =\partial _{0}-\nabla ,}$

где .${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=1}$

Применение параградиентного оператора должно выполняться осторожно, всегда уважая его некоммутативный характер. Например, широко используемой производной является

${\displaystyle \partial e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{3},}$

где - скалярная функция координат.${\displaystyle f(x)}$

Параградиент - это оператор, который всегда действует слева, если функция является скалярной. Однако, если функция не скалярная, параградиент также может действовать справа. Например, следующее выражение раскрывается как

${\displaystyle (L\partial )=\mathbf {e} _{0}\partial _{0}L+(\partial _{1}L)\mathbf {e} _{1}+(\partial _{2}L)\mathbf {e} _{2}+(\partial _{3}L)\mathbf {e} _{3}}$

Нулевые паравекторы как проекторы [ править ]

Нулевые паравекторы - это элементы, которые не обязательно равны нулю, но имеют нулевую величину. Для нулевого паравектора это свойство обязательно подразумевает следующее тождество${\displaystyle p}$

${\displaystyle p{\bar {p}}=0.}$

В контексте специальной теории относительности их также называют светоподобными паравекторами.

Проекторы - это нулевые паравекторы формы

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),}$

где - единичный вектор.${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Проектор такой формы имеет дополнительный проектор.${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),}$

такой, что

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=1}$

Как проекторы, они идемпотентны.

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=...}$

и проекция одного на другой равна нулю, потому что они являются нулевыми паравекторами

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=0.}$

Соответствующий единичный вектор проектора может быть извлечен как

${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=P_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}_{\mathbf {k} },}$

это означает, что это оператор с собственными функциями и , с соответствующими собственными значениями и .${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle P_{\mathbf {\mathbf {k} } }}$${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {\mathbf {k} } }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

Исходя из предыдущего результата, следующее тождество верно при условии, что аналитическое значение около нуля.${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})}$

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}$

Это дает начало свойству pacwoman , так что выполняются следующие тождества

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})P_{\mathbf {k} }=f(1)P_{\mathbf {k} },}$

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}$

Нулевое основание для паравекторного пространства [ править ]

Базу элементов, каждый из которых является нулевым, можно построить для всего пространства. В основе интереса лежит следующее${\displaystyle C\ell _{3}}$

${\displaystyle \{{\bar {P}}_{3},P_{3}\mathbf {e} _{1},P_{3},\mathbf {e} _{1}P_{3}\}}$

так что произвольный паравектор

${\displaystyle p=p^{0}\mathbf {e} _{0}+p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}}$

можно записать как

${\displaystyle p=(p^{0}+p^{3})P_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} _{1}P_{3}+(p^{1}-ip^{2})P_{3}\mathbf {e} _{1}}$

Это представление полезно для некоторых систем, которые естественным образом выражаются через переменные светового конуса, которые являются коэффициентами при и соответственно.${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle {\bar {P}}_{3}}$

Каждое выражение в паравекторе можно записать в терминах нулевого базиса. Паравектор обычно параметризуется двумя действительными скалярными числами и общим скалярным числом (включая скалярные и псевдоскалярные числа).${\displaystyle p}$${\displaystyle \{u,v\}}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle p=u{\bar {P}}_{3}+vP_{3}+w\mathbf {e} _{1}P_{3}+w^{\dagger }P_{3}\mathbf {e} _{1}}$

параградиент в нулевом базисе

${\displaystyle \partial =2P_{3}\partial _{u}+2{\bar {P}}_{3}\partial _{v}-2\mathbf {e} _{1}P_{3}\partial _{w^{\dagger }}-2P_{3}\mathbf {e} _{1}\partial _{w}}$

Более высокие измерения [ править ]

N-мерное евклидово пространство допускает существование мультивекторов степени n (n-векторов). Размерность векторного пространства, очевидно, равна n, и простой комбинаторный анализ показывает, что размерность бивекторного пространства равна . В общем случае размерность мультивекторного пространства степени m равна, а размерность всей алгебры Клиффорда равна .${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}}$${\displaystyle C\ell (n)}$${\displaystyle 2^{n}}$

Данный многовектор с однородной оценкой либо инвариантен, либо меняет знак под действием обратного сопряжения . Элементы, которые остаются инвариантными, определяются как эрмитовы, а те, которые меняют знак, определяются как антиэрмитовые. Таким образом, оценки можно классифицировать следующим образом:${\displaystyle \dagger }$

Оценка	Классификация
${\displaystyle 0}$	Эрмитский
${\displaystyle 1}$	Эрмитский
${\displaystyle 2}$	Антиэрмитский
${\displaystyle 3}$	Антиэрмитский
${\displaystyle 4}$	Эрмитский
${\displaystyle 5}$	Эрмитский
${\displaystyle 6}$	Антиэрмитский
${\displaystyle 7}$	Антиэрмитский
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$

Матричное представление [ править ]

Алгебра пространства изоморфна матричной алгебре Паули такой, что${\displaystyle C\ell (3)}$

	Матричное представление 3D	Явная матрица
${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$	${\displaystyle \sigma _{0}^{}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&0\\0&&1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}^{}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{2}^{}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{3}^{}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}}$

из которого нулевые базовые элементы становятся${\displaystyle {P_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P_{3}}\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} _{1}{P}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Общее число Клиффорда в 3D можно записать как

${\displaystyle \Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},}$

где коэффициенты - скалярные элементы (включая псевдоскаляры). Индексы были выбраны так, чтобы представление этого числа Клиффорда в терминах матриц Паули было${\displaystyle \psi _{jk}}$

${\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}}$

Спряжение [ править ]

Обратное сопряжение преобразуется в эрмитово сопряжение, а сопряжение стержня переводится в следующую матрицу: так , что скалярная часть транслируется как${\displaystyle {\bar {\Psi }}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}&-\psi _{12}\\-\psi _{21}&\psi _{11}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{S}\rightarrow {\frac {\psi _{11}+\psi _{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} _{2\times 2}}$

Остальные подпространства переводятся как

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi _{12}\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}+\psi _{11}^{*}&\psi _{12}+\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}+\psi _{12}^{*}&\psi _{22}+\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}-\psi _{11}^{*}&\psi _{12}-\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}-\psi _{12}^{*}&\psi _{22}-\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}$

Более высокие измерения [ править ]

Матричное представление евклидова пространства в более высоких измерениях может быть построено в терминах произведения Кронекера матриц Паули, что приводит к комплексным матрицам размерности . Представление 4D можно было принять как${\displaystyle 2^{n}}$

	Матричное представление 4D
${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{2}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{3}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{2}\otimes \sigma _{0}}$

Представление 7D можно было бы принять как

	Матричное представление 7D
${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{2}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{3}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{4}}$	${\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{2}\otimes \sigma _{0}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{5}}$	${\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{6}}$	${\displaystyle \sigma _{1}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}}$
${\displaystyle \mathbf {e} _{7}}$	${\displaystyle \sigma _{2}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}}$

Алгебры Ли [ править ]

Алгебры Клиффорда могут использоваться для представления любой классической алгебры Ли. В общем, можно идентифицировать алгебры Ли компактных групп , используя антиэрмитовы элементы, которые могут быть расширены до некомпактных групп, добавляя эрмитовы элементы.

Бивекторы n-мерного евклидова пространства являются эрмитовыми элементами и могут использоваться для представления алгебры Ли.${\displaystyle spin(n)}$

В бивекторы трехмерного евклидова пространства образуют алгебру Ли, которая изоморфна к алгебре Ли. Этот случайный изоморфизм позволяет представить геометрическую интерпретацию состояний двумерного гильбертова пространства с помощью сферы Блоха . Одна из таких систем - частица со спином 1/2.${\displaystyle spin(3)}$${\displaystyle su(2)}$

Алгебра Ли может быть расширена добавлением трех унитарных векторов образуют алгебру Ли , изоморфную алгебру Ли, которая является двойной крышкой группы Лоренца . Этот изоморфизм дает возможность разработать формализм специальной теории относительности, основанный на ней , которая осуществляется в форме алгебры физического пространства .${\displaystyle spin(3)}$${\displaystyle SL(2,C)}$${\displaystyle SO(3,1)}$${\displaystyle SL(2,C)}$

Есть только один дополнительный случайный изоморфизм между спиновой алгеброй Ли и алгеброй Ли. Это изоморфизм между и .${\displaystyle su(N)}$${\displaystyle spin(6)}$${\displaystyle su(4)}$

Другой интересный изоморфизм существует между и . Итак, алгебру Ли можно использовать для создания группы. Несмотря на то, что эта группа меньше, чем группа, ее достаточно, чтобы охватить четырехмерное гильбертово пространство.${\displaystyle spin(5)}$${\displaystyle sp(4)}$${\displaystyle sp(4)}$${\displaystyle USp(4)}$${\displaystyle SU(4)}$

См. Также [ править ]

• Алгебра физического пространства
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства

Ссылки [ править ]

Учебники [ править ]

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN  0-8176-4025-8
• Бейлис, Уильям, Клиффордские (геометрические) алгебры с приложениями в физике, математике и инженерии, Бирхаузер (1999)
• [H1999] Дэвид Хестенес: Новые основы классической механики (второе издание). ISBN 0-7923-5514-8 , Kluwer Academic Publishers (1999) 
• Крис Доран и Энтони Ласенби, Геометрическая алгебра для физиков, Кембридж, 2003 г.

Статьи [ править ]

• Бейлис, WE (2004-11-01). «Относительность во вводной физике». Канадский журнал физики . Канадское научное издательство. 82 (11): 853–873. arXiv : физика / 0406158 . DOI : 10.1139 / p04-058 . ISSN  0008-4204 .
• Doran, C .; Hestenes, D .; Sommen, F .; Ван Акер, Н. (1993). «Группы Ли как спиновые группы». Журнал математической физики . Издательство AIP. 34 (8): 3642–3669. DOI : 10.1063 / 1.530050 . ISSN  0022-2488 .
• Cabrera, R .; Rangan, C .; Бейлис, WE (2007-09-04). «Достаточное условие когерентного управления n-кубитными системами». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 76 (3): 033401. Arxiv : колич-фот / 0703220 . DOI : 10.1103 / physreva.76.033401 . ISSN  1050-2947 .
• Ваз, Джейме; Манн, Стивен (2018). «Паравекторы и геометрия трехмерного евклидова пространства». Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 28 (5): 99. arXiv : 1810.09389 . DOI : 10.1007 / s00006-018-0916-1 . ISSN  0188-7009 .