Солитон сапсана

Трехмерное изображение пространственно-временной эволюции солитона Перегрина

Перегрин солитон (или Перегрин сапун ) представляет собой аналитическое решение из нелинейного уравнения Шредингера . ^[1] Это решение было предложено в 1983 году Хауэллом Перегрином , исследователем математического факультета Бристольского университета .

Основные свойства [ править ]

В отличие от обычного фундаментального солитона, который может сохранять свой профиль неизменным во время распространения, солитон Перегрина имеет двойную пространственно-временную локализацию. Таким образом, начиная со слабого колебания на непрерывном фоне, солитон Перегрина развивается, испытывая прогрессивное увеличение своей амплитуды и сужение временной длительности. В точке максимального сжатия амплитуда в три раза превышает уровень непрерывного фона (и если принять во внимание интенсивность, имеющую отношение к оптике, между пиковой интенсивностью и окружающим фоном имеется коэффициент 9). После этой точки максимального сжатия амплитуда волны уменьшается, ширина увеличивается и, наконец, исчезает.

Эти особенности солитона Перегрина полностью соответствуют количественным критериям, обычно используемым для квалификации волны как волны-убийцы . Следовательно, солитон Перегрина является привлекательной гипотезой для объяснения образования тех волн, которые имеют большую амплитуду и могут появиться из ниоткуда и исчезнуть бесследно. ^[2]

Математическое выражение [ править ]

В пространственно-временной области [ править ]

Пространственные и временные профили солитона Перегрина, полученные в точке максимального сжатия

Солитон Перегрина представляет собой решение одномерного нелинейного уравнения Шредингера, которое может быть записано в нормированных единицах следующим образом:

${\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial \tau }}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}+|\psi |^{2}\psi =0}$

с пространственной координатой и временной координатой. являясь оболочкой поверхностной волны в глубокой воде. Дисперсия является аномальной и нелинейность самофокусировки (обратите внимание , что аналогичные результаты могут быть получены для нормально диспергирующей среды в сочетании с дефокусирующей нелинейностью).${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \psi (\xi ,\tau )}$

Аналитическое выражение Перегрина: ^[1]

${\displaystyle \psi (\xi ,\tau )=\left[1-{\frac {4(1+2i\tau )}{1+4\xi ^{2}+4\tau ^{2}}}\right]e^{i\tau }}$

так что временные и пространственные максимумы получаются для и .${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \tau =0}$

В спектральной области [ править ]

Эволюция спектра солитона Перегрина ^[3]

Также возможно математически выразить солитон Перегрина в соответствии с пространственной частотой : ^[3]${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\eta ,\tau )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int {\psi (\xi ,\tau )e^{i\eta \xi }d\xi }={\sqrt {2\pi }}e^{i\tau }\left[{\frac {1+2i\tau }{\sqrt {1+4\tau ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {|\eta |}{2}}{\sqrt {1+4\tau ^{2}}}\right)-\delta (\eta )\right]}$

с является дельта - функция Дирака .${\displaystyle \delta }$

Это соответствует модулю (при этом постоянный непрерывный фон здесь опущен):${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(\eta ,\tau )|={\sqrt {2\pi }}\exp \left(-{\frac {|\eta |}{2}}{\sqrt {1+4\tau ^{2}}}\right).}$

Можно заметить, что для любого заданного времени модуль спектра имеет типичную треугольную форму при нанесении на график в логарифмическом масштабе. Наиболее широкий спектр получается при , что соответствует максимуму сжатия пространственно-временной нелинейной структуры.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau =0}$

Различные интерпретации солитона Перегрина [ править ]

Как рациональный солитон [ править ]

Солитон Перегрина - рациональный солитон первого порядка.

Как передышка Ахмедиева [ править ]

Солитон Перегрина также можно рассматривать как предельный случай пространственно-периодического бризера Ахмедиева, когда период стремится к бесконечности. ^[4]

Как солитон Кузнецова-Ма [ править ]

Солитон Перегрина также можно рассматривать как предельный случай периодического по времени бризера Кузнецова-Ма, когда период стремится к бесконечности.

Экспериментальная демонстрация [ править ]

Математические предсказания Г. Перегрина первоначально были созданы в области гидродинамики . Однако это сильно отличается от того, где солитон Перегрина был впервые экспериментально создан и охарактеризован.

Поколение в оптике [ править ]

В 2010 году, более чем через 25 лет после первоначальной работы Перегрина, исследователи воспользовались аналогией, которую можно провести между гидродинамикой и оптикой, чтобы создать солитоны Перегрина в оптических волокнах . ^{[4] [6]} Фактически, эволюция света в волоконной оптике и эволюция поверхностных волн на глубокой воде моделируются нелинейным уравнением Шредингера (обратите внимание, однако, что пространственные и временные переменные должны быть переключены). Подобная аналогия использовалась в прошлом для создания оптических солитонов в оптических волокнах.

Более точно, нелинейное уравнение Шредингера может быть записано в контексте оптических волокон в следующей размерной форме:

${\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =0}$

с дисперсией второго порядка (предположительно аномальной, т.е. ) и нелинейным коэффициентом Керра. и - расстояние распространения и временная координата соответственно.${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle \beta _{2}<0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$

В этом контексте солитон Перегрина имеет следующее размерное выражение: ^[5]

${\displaystyle \psi (z,t)={\sqrt {P_{0}}}\left[1-{\frac {4\left(1+2i{\dfrac {z}{L_{NL}}}\right)}{1+4\left({\dfrac {t}{T_{0}}}\right)^{2}+4\left({\dfrac {z}{L_{NL}}}\right)^{2}}}\right]e^{\dfrac {iz}{L_{NL}}}}$.

${\displaystyle L_{NL}}$является нелинейная длина определяется как с быть сила непрерывного фона. - продолжительность, определяемая как .${\displaystyle L_{NL}={\dfrac {1}{\gamma P_{0}}}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{0}={\sqrt {\beta _{2}L_{NL}}}}$

Используя исключительно стандартные компоненты оптической связи , было показано, что даже при приблизительном начальном состоянии (в случае данной работы - начальном синусоидальном биении) можно сгенерировать профиль, очень близкий к идеальному солитону Перегрина. ^{[5] [7]} Однако неидеальные входные условия приводят к подструктурам, которые появляются после точки максимального сжатия. Эти субструктуры также имеют профиль, близкий к солитону Перегрина ^[5], который можно аналитически объяснить с помощью преобразования Дарбу . ^[8]

Типичная треугольная форма спектра также подтверждена экспериментально. ^{[4] [5] [9]}

Генерация в гидродинамике [ править ]

Эти результаты в оптике были подтверждены в 2011 г. в гидродинамике ^{[10] [11]} экспериментами, проведенными в 15-метровом водно- волновом резервуаре . В 2013 году в рамках дополнительных экспериментов с использованием масштабной модели танкера-химовоза обсуждались возможные разрушительные последствия для этого корабля. ^[12]

Генерация в других областях физики [ править ]

Другие эксперименты, проведенные в физике плазмы , также подчеркнули появление солитонов Перегрина в других областях, управляемых нелинейным уравнением Шредингера. ^[13]

См. Также [ править ]

• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Дышащий
• Rogue волна ,
• Оптические волны-убийцы

Примечания и ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме солитона Перегрина .