Идеальный набор

В общей топологии подмножество топологического пространства является совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек . Эквивалентно: набор идеально подходит , если , где обозначает множество всех предельных точек зрения , также известные как производное множество из .${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S = S '}$${\ displaystyle S '}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

В идеальном множестве каждая точка может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована другими точками из множества: для любой точки и любой окрестности точки есть другая точка , лежащая в этой окрестности. Более того, любая точка пространства, которая может быть аппроксимирована точками из, принадлежит .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Обратите внимание, что термин « идеальное пространство» также несовместимо используется для обозначения других свойств топологического пространства, таких как G _δ- пространство .

Примеры [ править ]

Примеры совершенных подмножеств реальной прямой : пустое множество , все отрезки , сама реальная линия и множество Кантора . Последний примечателен тем, что полностью отключен .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Связь с другими топологическими свойствами [ править ]

Каждое топологическое пространство может быть записано уникальным образом как несвязное объединение совершенного множества и рассеянного множества . ^{[1] [2]}

Кантор доказал, что каждое замкнутое подмножество вещественной прямой можно однозначно записать как несвязное объединение совершенного множества и счетного множества . Это также верно в более общем смысле для всех замкнутых подмножеств польских пространств , и в этом случае теорема известна как теорема Кантора – Бендиксона .

Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество действительной прямой имеет мощность , мощность континуума . Эти результаты расширены в описательной теории множеств следующим образом:${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

• Если Х представляет собой полное метрическое пространство без изолированных точек, то Кантор пространства 2 ^ω может быть непрерывно вложено в X . Таким образом, X имеет мощность не менее . Если X - сепарабельное полное метрическое пространство без изолированных точек, мощность X равна точно .${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$
• Если X - локально компактное хаусдорфово пространство без изолированных точек, существует инъективная функция (не обязательно непрерывная) из пространства Кантора в X , и поэтому X имеет мощность не менее .${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

См. Также [ править ]

• Плотный в себе
• Свойство конечного пересечения
• Топология подпространства

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Энгелькинг, Рышард, Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
• Леви А. (1979), Основная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• отредактированный Эллиоттом Перлом. (2007), Перл, Эллиотт (ред.), Открытые проблемы топологии. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5, Руководство по ремонту  2367385CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )