Точное заявление выглядит следующим образом. [3] Предположим, что это дифференциальная 1-форма на n- мерном многообразии, имеющая постоянный ранг p . Если
везде,
тогда существует локальная система координат, в которой
.
Если же, с другой стороны,
везде,
тогда существует локальная система координат ', в которой
В частности, предположим , что симплектическая 2-форма на п = 2 м мерного многообразия М . В окрестности каждой точки p многообразия M по лемме Пуанкаре существует 1-форма с . Более того, удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта U около p, в которой
Диаграмма U называется диаграммой Дарбу вокруг p . [4] Такими картами можно покрыть многообразие M.
Другими словами, отождествляйтесь с тем, что позволяете . Если это диаграмма Дарбу, то это откат стандартной симплектической формы на :
Сравнение с римановой геометрией
Этот результат означает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: всегда можно взять базис Дарбу , справедливый вблизи любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии, где кривизна является локальным инвариантом, а препятствие для метрики локально является суммой квадратов координатных дифференциалов.
Разница заключается в том, что теорема Дарбу утверждает , что ω можно взять стандартную форму в целом окрестности вокруг р . В римановой геометрии метрика всегда может принимать стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.
Дарбу, Гастон (1882). "Sur le problème de Pfaff" . Бык. Sci. Математика . 6 : 14–36, 49–68.
Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes difficarum partialium nec non aequationes Differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque переменные, полные интегранды". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине : 76–136.
Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис Холл.
McDuff, D .; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850451-9.
внешние ссылки
«Доказательство теоремы Дарбу» . PlanetMath .
Дарбу Дж. К проблеме Пфаффа. по Д.Х. Дельфених
Дж. Дарбу, "О проблеме Пфаффа (продолжение)", пер. по Д.Х. Дельфених