Фаза (волны)

График одного цикла синусоидальной функции. Фаза для каждого значения аргумента относительно начала цикла отображается внизу в градусах от 0 ° до 360 ° и в радианах от 0 до 2π.

В физике и математике , то фаза из периодической функции некоторых реальных переменного (например, время) представляет собой угол , представляющее число периодов , натянутых на этом переменный. Он обозначается и выражается в таком масштабе, что он изменяется на один полный оборот, когда переменная проходит через каждый период (и проходит через каждый полный цикл). Он может быть измерен в любой угловой единице, например, в градусах или радианах , увеличиваясь, таким образом, на 360 ° или${\ displaystyle F}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ phi (т)}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle F (т)}$${\ displaystyle 2 \ pi}$поскольку переменная завершает полный период. ^[1]${\ displaystyle t}$

Это соглашение особенно подходит для синусоидальной функции, поскольку ее значение при любом аргументе может быть выражено как синус фазы , умноженный на некоторый коэффициент ( амплитуда синусоиды). ( Косинус может использоваться вместо синуса, в зависимости от того, где каждый период считается началом.)${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ phi (т)}$

Обычно при выражении фазы игнорируются целые витки; так что это также периодическая функция с тем же периодом , что и, которая многократно сканирует тот же диапазон углов, который проходит через каждый период. Тогда говорят, что он находится «в одной фазе» при двух значениях аргумента и (то есть ), если разница между ними составляет целое число периодов.${\ Displaystyle \ phi (т)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle t_ {2}}$${\displaystyle \phi (t_{1})=\phi (t_{2})}$

Числовое значение фазы зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, на который должен быть отображен каждый период. ${\displaystyle \phi (t)}$

Термин «фаза» также используется при сравнении периодической функции со смещенной ее версией . Если сдвиг в выражаются в виде доли от периода, а затем масштабируется до угла , охватывающего весь поворот, каждый получает фазовый сдвиг , фазовый сдвиг или разность фаз по отношению к . Если это «каноническая» функция для класса сигналов, как для всех синусоидальных сигналов, то называется начальная фаза из .${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sin(t)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$

Математическое определение [ править ]

Позвольте быть периодическим сигналом (то есть функцией одной действительной переменной), и быть его периодом (то есть наименьшим положительным действительным числом такое, что для всех ). Тогда фаза при любом аргументе равна ${\displaystyle F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F(t+T)=F(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]}$

Здесь обозначает дробную часть действительного числа, отбрасывая его целую часть; то есть ,; и является произвольным «исходным» значением аргумента, которое считается началом цикла. ${\displaystyle [\![\,\cdot \,]\!]\!\,}$${\displaystyle [\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,}$${\displaystyle t_{0}}$

Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью, совершает полный оборот каждую секунду и указывает прямо во времени . Фаза - это угол от положения 12:00 до текущего положения стрелки во времени , измеренный по часовой стрелке . ${\displaystyle T}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \phi (t)}$${\displaystyle t}$

Концепция фазы наиболее полезна, когда происхождение выбирается на основе характеристик . Например, для синусоиды удобный выбор - это любое место, где значение функции изменяется от нуля до положительного.${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$

Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и . Чтобы получить фазу как угол между и , вместо этого используется${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle -\pi }$${\displaystyle +\pi }$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)}$

Фаза, выраженная в градусах (от 0 ° до 360 ° или от -180 ° до + 180 °), определяется таким же образом, за исключением «360 °» вместо «2π».

Последствия [ править ]

При любом из приведенных выше определений фаза периодического сигнала также является периодической с тем же периодом :${\displaystyle \phi (t)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\quad \quad {}}$для всех .${\displaystyle t}$

В начале каждого периода фаза равна нулю; то есть

${\displaystyle \phi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {}}$для любого целого числа .${\displaystyle k}$

Более того, для любого заданного выбора источника значение сигнала для любого аргумента зависит только от его фазы при . А именно, можно написать , где - функция угла, определенная только для одного полного поворота, которая описывает изменение как диапазонов за один период. ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F(t)=f(\phi (t))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$

Фактически, каждый периодический сигнал с определенной формой волны можно выразить как ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(t)=A\,w(\phi (t))}$

где - «каноническая» функция фазового угла в диапазоне от 0 до 2π, которая описывает только один цикл этой формы волны; и - коэффициент масштабирования для амплитуды. (Это утверждение предполагает, что время начала, выбранное для вычисления фазы, соответствует аргументу 0 of .)${\displaystyle w}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle w}$

Добавление и сравнение фаз [ править ]

Поскольку фазы являются углами, при выполнении арифметических операций над ними обычно следует игнорировать любые полные витки. То есть сумму и разность двух фаз (в градусах) следует вычислять по формулам

${\displaystyle 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad }$ и ${\displaystyle \quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]}$

соответственно. Так, например, сумма фазовых углов 190 ° + 200 ° составляет 30 ° ( 190 + 200 = 390 , минус один полный оборот), а вычитание 50 ° из 30 ° дает фазу 340 ° ( 30-50 = - 20 плюс один полный оборот).

Аналогичные формулы справедливы для радианов, вместо 360.${\displaystyle 2\pi }$

Сдвиг фазы [ редактировать ]

Общее определение [ править ]

Разница между фазами двух периодических сигналов и называется разность фаз по отношению к . ^[1] При значениях, когда разница равна нулю, два сигнала считаются синфазными , в противном случае они не совпадают по фазе друг с другом.${\displaystyle \varphi (t)=\phi _{G}(t)-\phi _{F}(t)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$

В аналогии с часами каждый сигнал представлен стрелкой (или указателем) одних и тех же часов, которые вращаются с постоянной, но, возможно, разной скоростью. Разность фаз - это угол между двумя стрелками, измеренный по часовой стрелке.

Разность фаз особенно важна, когда два сигнала складываются вместе физическим процессом, например, две периодические звуковые волны, излучаемые двумя источниками и записываемые вместе микрофоном. Обычно это имеет место в линейных системах, когда выполняется принцип суперпозиции .

Для аргументов, когда разность фаз равна нулю, два сигнала будут иметь одинаковый знак и будут усиливать друг друга. Говорят, что происходит конструктивное вмешательство . В аргументах, когда фазы разные, значение суммы зависит от формы сигнала.${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

Для синусоид [ править ]

Для синусоидальных сигналов, когда разность фаз составляет 180 ° ( радиан), говорят, что фазы противоположны , и что сигналы находятся в противофазе . Тогда сигналы имеют противоположные знаки, и возникает деструктивная помеха . ${\displaystyle \varphi (t)}$${\displaystyle \pi }$

Когда разность фаз составляет четверть оборота (прямой угол, + 90 ° = π / 2 или -90 ° = 270 ° = -π / 2 = 3π / 2 ), иногда говорят, что синусоидальные сигналы находятся в квадратуре .${\displaystyle \varphi (t)}$

Если частоты разные, разность фаз линейно увеличивается с аргументом . Периодические смены подкрепления и противодействия вызывают явление, называемое избиением .${\displaystyle \varphi (t)}$${\displaystyle t}$

Для смещенных сигналов [ править ]

Разность фаз особенно важна при сравнении периодического сигнала со смещенной и, возможно, масштабированной версией его. То есть предположим, что для некоторых констант и все . Предположим также, что начало отсчета для вычисления фазы тоже было смещено. В этом случае разность фаз является постоянной (независимо от ), называется фазовый сдвиг или сдвиг фазы по отношению к . В аналогии с часами эта ситуация соответствует двум стрелкам, вращающимся с одинаковой скоростью, так что угол между ними постоянен.${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(t)=\alpha \,F(t+\tau )}$${\displaystyle \alpha ,\tau }$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

В этом случае фазовый сдвиг - это просто сдвиг аргумента , выраженный как часть общего периода (в терминах операции по модулю ) двух сигналов, а затем масштабированный до полного оборота:${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right]\!\!\right]}$.

Если это «каноническое» представитель класса сигналов, как для всех синусоидальных сигналов, то фазовый сдвиг называется просто начальная фаза из .${\displaystyle F}$${\displaystyle \sin(t)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$

Следовательно, когда два периодических сигнала имеют одинаковую частоту, они всегда совпадают по фазе или всегда не совпадают по фазе. Физически такая ситуация возникает обычно по многим причинам. Например, два сигнала могут быть периодической звуковой волной, записанной двумя микрофонами в разных местах. Или, наоборот, это могут быть периодические звуковые волны, создаваемые двумя отдельными динамиками из одного и того же электрического сигнала и записываемые одним микрофоном. Это может быть радиосигнал, который достигает приемной антенны по прямой линии, и его копия, отраженная от большого здания поблизости.

Хорошо известный пример разности фаз - длина теней, видимых в разных точках Земли. В первом приближении, если это длина, наблюдаемая в один момент времени в одной точке, и длина, наблюдаемая в то же время на долготе 30 ° к западу от этой точки, то разность фаз между двумя сигналами будет 30 ° (при условии, что , в каждом сигнале каждый период начинается, когда тень самая короткая).${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

Для синусоид с одинаковой частотой [ править ]

Для синусоидальных сигналов (и некоторых других сигналов, таких как квадрат или симметричный треугольник) сдвиг фазы на 180 ° эквивалентен сдвигу фазы на 0 ° с отрицанием амплитуды. Когда два сигнала с этими формами волны, одинаковым периодом и противоположными фазами складываются вместе, сумма либо идентично нулю, либо является синусоидальным сигналом с одинаковым периодом и фазой, амплитуда которого равна разнице исходных амплитуд.${\displaystyle F+G}$

Сдвиг фазы косинусоидальной функции относительно синусоидальной функции составляет + 90 °. Отсюда следует , что в течение двух синусоидальных сигналов , и с той же частотой и амплитудой и , и имеет фазовый сдвиг + 90 ° относительно , сумма является синусоидальный сигнал с той же частотой, с амплитудой и фазовым сдвигом от такой , что${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F+G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle -90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {}}$и .${\displaystyle {}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C}$

Реальный пример звуковой разности фаз возникает в трели флейты коренных американцев . Амплитуда различных гармонических составляющих одной и той же долгой ноты на флейте становится доминирующей в разных точках фазового цикла. Разность фаз между различными гармониками можно наблюдать на спектрограмме звука трели флейты. ^[3]

Сравнение фаз [ править ]

Фазовое сравнение - это сравнение фазы двух сигналов, обычно одной и той же номинальной частоты. По времени и частоте, целью сравнения фазы , как правило , для определения сдвига частоты (разница между циклами сигнала) относительно эталона. ^[2]

Сравнение фаз можно произвести, подключив два сигнала к двухканальному осциллографу . Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на рисунке справа. В соседнем изображении, сигнал верхнего синуса является тест частоты , а нижний сигнал синусоидальной представляет собой сигнал из ссылки.

Если бы две частоты были точно такими же, их фазовое соотношение не изменилось бы, и на экране осциллографа обе частоты казались бы неподвижными. Поскольку две частоты не совсем одинаковые, эталонный сигнал кажется стационарным, а тестовый сигнал движется. Измеряя скорость движения тестового сигнала, можно определить смещение между частотами.

Вертикальные линии проведены через точки, где каждый синусоидальный сигнал проходит через ноль. Внизу рисунка показаны полосы, ширина которых представляет разность фаз между сигналами. В этом случае разность фаз увеличивается, указывая на то, что тестовый сигнал имеет более низкую частоту, чем опорный. ^[2]

Формула для фазы колебания или периодического сигнала [ править ]

Фаза колебания или сигнала относится к синусоидальной функции, такой как следующая:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A\cdot \cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\cdot \sin(2\pi ft+\varphi )=A\cdot \cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

где , и - постоянные параметры, называемые амплитудой , частотой и фазой синусоиды. Эти сигналы периодичны с периодом и идентичны, за исключением смещения вдоль оси. Термин фаза может относиться к нескольким различным вещам :${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle T={\frac {1}{f}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {T}{4}}}$${\displaystyle \textstyle t}$

• Это может относиться к указанной ссылке, таким как , в этом случае мы будем говорить о фазе на это , и фазе в это .${\displaystyle \textstyle \cos(2\pi ft)}$${\displaystyle \textstyle x(t)}$${\displaystyle \textstyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle y(t)}$${\displaystyle \textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$
• Он может относиться к , и в этом случае мы бы сказали, что это одна и та же фаза, но относительно их собственных конкретных ссылок.${\displaystyle \textstyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle x(t)}$${\displaystyle \textstyle y(t)}$
• В контексте сигналов связи изменяющийся во времени угол или его главное значение упоминается как мгновенная фаза , часто просто фаза .${\displaystyle \textstyle 2\pi ft+\varphi }$

См. Также [ править ]

• Синфазная и квадратурная составляющие
• Мгновенная фаза
• Кривая Лиссажу
• Отмена фазы
• Фазовая проблема
• Фазовая скорость
• Фазор
• Поляризация
• Когерентность , качество волны для отображения четко определенного фазового соотношения в различных областях ее области определения.
• Абсолютная фаза
• Преобразование Гильберта , метод изменения фазы на 90 °

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме фазы (волны) .

• « Что такое фаза? ». Проф. Джеффри Хасс. « Учебник по акустике », Раздел 8. Университет Индианы . © 2003. См. Также: ( стр. 1–3 . © 2013)
• Фазовый угол, разность фаз, временная задержка и частота
• ECE 209: Источники фазового сдвига - обсуждает источники фазового сдвига во временной области в простых линейных инвариантных во времени схемах.
• Открытый исходный код физики JavaScript HTML5
• Java-апплет для разности фаз