число Пи

Часть цикла статей о
математическая константа π
3,14159 26535 89793 23846 26433 ...
Использует
Площадь круга Длина окружности Использование в других формулах
Характеристики
Иррациональность Трансцендентность
Ценить
Менее 22/7 Приближения Запоминание
Люди
Архимед Лю Хуэй Цзу Чунчжи Арьябхата Мадхава Людольф ван Сеулен Секи Такакадзу Такебе Кенко Уильям Джонс Джон Мачин Уильям Шанкс Шриниваса Рамануджан Джон Ренч Братья Чудновские Yasumasa Kanada
История
Хронология Книга
В культуре
Законодательство День Пи
похожие темы
Квадрат круга Базельская проблема Шесть девяток в π Другие темы, связанные с π
v т е

Число π ( / p aɪ / ) - математическая константа . Она определяется как отношение в виде круга «s окружности к ее диаметру , и она также имеет различные эквивалентные определения. Оказывается , во многих формулах во всех областях математики и физики и самых ранних известных использования греческой буквы П , чтобы представить отношение длины окружности к ее диаметру был на валлийском математик Уильям Джонс в 1706 году ^[1] Это приблизительно равно 3.14159. Он был представлен греческой буквой "π »с середины 18 века и обозначается как« пи ». Его также называют постоянной Архимеда . ^{[2] [3] [4]}

Будучи иррациональным числом , π не может быть выражено как обычная дробь , хотя дроби, такие как 22/7, обычно используются для его приближения . Точно так же его десятичное представление никогда не заканчивается и никогда не превращается в постоянно повторяющийся узор . Его десятичные (или другие базовые ) цифры, по-видимому, распределены случайным образом и, как предполагается, удовлетворяют определенному типу статистической случайности .

Известно, что π - трансцендентное число : ^[3] оно не является корнем любого многочлена с рациональными коэффициентами . Трансцендентность числа π означает, что невозможно решить древнюю задачу возведения круга в квадрат с помощью циркуля и линейки .

Древние цивилизации , в том числе египтяне и вавилоняне , требовали довольно точных приближений числа π для практических вычислений. Около 250 г. до н.э. греческий математик Архимед создал алгоритм для вычисления числа π с произвольной точностью. В V веке нашей эры китайская математика приближала π к семи цифрам, в то время как индийская математика прибегала к пятизначной аппроксимации, причем обе с использованием геометрических методов. Первая точная формула для π , основанная на бесконечных рядах , была открыта тысячелетием позже, когда в 14 векеРяд Мадхава – Лейбница был открыт в индийской математике. ^{[5] [6]}

Изобретение математического анализа вскоре привело к вычислению сотен цифр числа π , достаточного для всех практических научных вычислений. Тем не менее, в 20-м и 21-м веках математики и компьютерные ученые использовали новые подходы, которые в сочетании с увеличением вычислительной мощности расширили десятичное представление числа π до многих триллионов цифр. ^{[7] [8]} Основная мотивация этих вычислений - это тестовый пример для разработки эффективных алгоритмов вычисления числовых рядов, а также стремление побить рекорды. ^{[9] [10]} Обширные расчеты также использовались для тестирования суперкомпьютеров.и высокоточные алгоритмы умножения .

Поскольку его наиболее элементарное определение относится к кругу, π встречается во многих формулах тригонометрии и геометрии , особенно в формулах , касающихся кругов, эллипсов и сфер. В более современном математическом анализе число вместо этого определяется с использованием спектральных свойств действительной системы счисления, как собственное значение или период , без какой-либо ссылки на геометрию. Таким образом, он появляется в областях математики и наук, имеющих мало общего с геометрией окружностей, таких как теория чисел и статистика , а также почти во всех областях физики . Повсеместность πделает его одной из наиболее широко известных математических констант - как внутри, так и за пределами научного сообщества. Было опубликовано несколько книг, посвященных π , и рекордные вычисления цифр π часто приводят к заголовкам новостей. Адептам удалось запомнить значение π до более чем 70 000 цифр.

Основы

Имя

Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности круга к его диаметру, - это строчная греческая буква π , иногда обозначаемая как пи и производная от первой буквы греческого слова perimetros, означающего длину окружности. ^[11] На английском языке, π является выраженным , как "пирог" ( / р aɪ / PY ). ^[12] В математическом использовании, строчная буква π отличаются от его капитализируемого и расширенного аналога П , который обозначает произведение последовательности , аналогичный тот , как Еобозначает суммирование .

Выбор символа π обсуждается в разделе Принятие символа π .

Определение

π обычно определяется как отношение в виде круга «s окружности C к ее диаметру D : ^{[13] [3]}

${\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}.}$

Отношение C / d постоянно, независимо от размера круга. Например, если диаметр круга в два раза больше диаметра другого круга, он также будет иметь вдвое большую длину окружности с сохранением отношения C / d . Это определение π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию ; хотя понятие круга может быть распространено на любую кривую (неевклидову) геометрию , эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле π = C / d . ^[13]

Здесь окружность круга - это длина дуги по периметру круга, величина, которая может быть формально определена независимо от геометрии с использованием пределов - концепции в математике . ^[14] Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичного круга, заданную в декартовых координатах уравнением x ² + y ² = 1 , как интеграл : ^[15]

${\ displaystyle \ pi = \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}.$

Неотъемлемой такие , как это было принято в качестве определения П по Карла Вейерштрасса , который определил его непосредственно как интеграл в 1841. ^[а]

Интеграция больше не используется обычно в первом аналитическом определении, потому что, как объясняет Реммерт 2012 , дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение π, которое не полагается на последнее. Одно из таких определений, данное Ричардом Бальцером ^[16] и популяризированное Эдмундом Ландау , ^[17] следующее: π - это дважды наименьшее положительное число, при котором функция косинуса равна 0. ^{[13] [15] [18]} Косинус можно определить независимо от геометрии как степенной ряд ,^[19] или как решение дифференциального уравнения . ^[18]

В аналогичном духе, π может быть определен с использованием свойств комплексной экспоненты , ехром г , из комплексного переменного г . Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, при котором exp z равен единице, тогда представляет собой (мнимую) арифметическую прогрессию вида:

${\ Displaystyle \ {\ точки, -2 \ пи я, 0,2 \ пи я, 4 \ пи я, \ точки \} = \ {2 \ пи ки \ середина к \ в \ mathbb {Z} \}}$

и существует единственное положительное вещественное число π с этим свойством. ^{[15] [20]}

Более абстрактные вариации на ту же идею, что делает использование сложных математических понятий топологии и алгебр , являются следующей теоремой: ^[21] существует единственный ( до автоморфизма ) непрерывный изоморфизм из группы R / Z действительных чисел при добавлении по модулю целых чисел ( круговая группа ) на мультипликативную группу комплексных чисел с абсолютным значением один. Тогда число π определяется как половина величины производной этого гомоморфизма. ^[22]

Иррациональность и нормальность

π - иррациональное число , то есть его нельзя записать как отношение двух целых чисел . ^[3] Такие дроби, как22/7 и 355/113обычно используются для аппроксимации π , но никакая обычная дробь (отношение целых чисел) не может быть ее точным значением. ^[23] Поскольку π иррационально, оно имеет бесконечное количество цифр в своем десятичном представлении и не превращается в бесконечно повторяющийся образец цифр. Есть несколько доказательств иррациональности π ; они обычно требуют исчисления и полагаются на технику reductio ad absurdum . Степень приближения π рациональными числами (так называемая мера иррациональности) точно не известно; оценки установили, что мера иррациональности больше меры e или ln 2, но меньше меры чисел Лиувилля . ^[24]

Цифры π не имеют видимого рисунка и прошли тесты на статистическую случайность , включая тесты на нормальность ; число бесконечной длины называется нормальным, если все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) встречаются одинаково часто. ^[25] Предположение , что π является нормальным не была доказана или опровергнута. ^[25]

С момента появления компьютеров стало доступно большое количество цифр π для статистического анализа. Ясумаса Канада провел подробный статистический анализ десятичных цифр числа π и обнаружил, что они соответствуют нормам; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тестам на статистическую значимость , и не было обнаружено никаких доказательств закономерности. ^[26] Любая случайная последовательность цифр содержит произвольно длинные подпоследовательности, которые кажутся неслучайными по теореме о бесконечной обезьяне . Таким образом, поскольку последовательность πЦифры проходят статистические тесты на случайность, они содержат некоторые последовательности цифр, которые могут показаться неслучайными, например, последовательность из шести последовательных девяток, которая начинается с 762-го десятичного разряда десятичного представления числа π . ^[27] Это также называется «точкой Фейнмана» в математическом фольклоре в честь Ричарда Фейнмана , хотя связь с Фейнманом не известна.

Трансцендентность

В дополнение к нерациональным, π также число трансцендентно , ^[3] Это означает , что это не решение любого непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, такие , какх ⁵/120 - х ³/6+ х = 0 . ^{[28] [b]}

Превосхождение П имеет два важных следствия: Во- первых, π не может быть выражено с помощью любого конечного сочетание рациональных чисел и квадратных корней или п -х корней (например, ³ √ 31 или √ 10 ). Во-вторых, поскольку никакое трансцендентное число не может быть построено с помощью циркуля и линейки , невозможно « возвести круг в квадрат ». Другими словами, невозможно построить, используя только циркуль и линейку, квадрат, площадь которого точно равна площади данного круга. ^[29] Возведение круга в квадрат было одной из важных геометрических проблемклассическая древность . ^[30] Современные математики-любители иногда пытались возвести круг в квадрат и претендовать на успех, несмотря на то, что это невозможно с математической точки зрения. ^[31]

Непрерывные дроби

Как и все иррациональные числа, π не может быть представлено как обычная дробь (также известная как простая или вульгарная дробь ) по самому определению иррационального числа (т. Е. Не рационального числа). Но каждое иррациональное число, включая π , может быть представлено бесконечной серией вложенных дробей, называемой непрерывной дробью :

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

Усечение цепной дроби в любой точке дает рациональное приближение для π ; первые четыре из них - 3, 22/7, 333/106 и 355/113. Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений постоянной. Каждое приближение, полученное таким образом, является наилучшим рациональным приближением; то есть каждая дробь ближе к π, чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем. ^[32] Поскольку π, как известно, трансцендентно, оно по определению не алгебраическое и поэтому не может быть квадратичным иррациональным . Следовательно, у π не может быть периодической цепной дроби . Хотя простая цепная дробь дляπ (показанное выше) также не демонстрирует никаких других очевидных закономерностей, ^[33] математики обнаружили несколько обобщенных цепных дробей, которые имеют, например: ^[34]

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}\\[8pt]&=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{3+\textstyle {\cfrac {2^{2}}{5+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{7+\textstyle {\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Приблизительное значение и цифры

Некоторые приближения числа пи включают:

• Целые числа : 3
• Дроби : приблизительные дроби включают (в порядке увеличения точности)22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, и 245850922/78256779. ^[32] (Список выбран терминов из OEIS :  A063674 и OEIS :  A063673 .)
• Цифры : Первые 50 десятичных цифр являются 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ... ^[35] (см OEIS :  A000796 )

Цифры в других системах счисления

• Первые 48 двоичных ( основание 2) цифр (называемых битами ): 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 ... (см. OEIS :  A004601 )
• Первые 20 цифр в шестнадцатеричной системе (основание 16) являются 3.243F 6A88 85a3 08D3 1319 ... ^[36] (см OEIS :  A062964 )
• Первые пять шестидесятеричных (основание 60) цифр - 3; 8,29,44,0,47 ^[37] (см. OEIS :  A060707 )

Комплексные числа и тождество Эйлера

Любое комплексное число , например z , можно выразить парой действительных чисел . В полярной системе координат , одно число ( радиус или г ) используется для представления г «s расстояние от происхождения в комплексной плоскости , а другой (угол или ф ) против часовой стрелки на вращение от положительной действительной линии: ^{[38 ]}

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$

где i - мнимая единица, удовлетворяющая i ² = −1. Частое появление π в комплексном анализе может быть связано с поведением экспоненциальной функции комплексной переменной, описываемой формулой Эйлера : ^[39]

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$

где постоянная e является основанием натурального логарифма . Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями е и точками на единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Установка φ = π в формуле Эйлера приводит к тождеству Эйлера , известному в математике благодаря тому, что оно содержит пять наиболее важных математических констант: ^{[39] [40]}

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Есть п разного комплексных чисел г , удовлетворяющий г ^п = 1 , и они называются « п -й корнями из единицы » ^[41] и определяются по формуле:

${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$

История

Античность

Наиболее известные приближения к π- датированию до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; это было улучшено в китайской математике, особенно к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого не было никакого дальнейшего прогресса до позднего средневековья.

Основываясь на измерениях Великой пирамиды в Гизе (ок. 2560 г. до н. Э.) , ^[C] некоторые египтологи утверждали, что древние египтяне использовали приближение π как22/7еще со времен Древнего царства . ^{[42] [43]} Это утверждение было встречено скептически. ^{[44] [45] [46] [47] [48]} Самые ранние письменные приближения π найдены в Вавилоне и Египте, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне на глиняной табличке, датируемой 1900–1600 гг. До н.э., есть геометрическое утверждение, которое косвенно трактует π как25/8 = 3,125. ^[49] В Египте Папирус Ринда , датированный примерно 1650 г. до н.э., но скопированный из документа, датированного 1850 г. до н.э., имеет формулу для площади круга, в которой π рассматривается как (16/9) ² ≈ 3,16. ^[49]

Астрономические расчеты в Shatapatha Brahmana (приблизительно 4 век до н.э.) используют дробное приближение339/108 ≈ 3,139 (точность 9 × 10 ⁻⁴ ). ^[50] Другие индийские источники примерно 150 г. до н.э. трактуют π как √ 10  ≈ 3,1622. ^[51]

Эпоха приближения многоугольника

Первым зарегистрированным алгоритмом для точного вычисления значения π был геометрический подход с использованием многоугольников, разработанный около 250 г. до н.э. греческим математиком Архимедом . ^[52] Этот многоугольный алгоритм доминировал более 1000 лет, и в результате π иногда называют «постоянной Архимеда». ^[53] Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы π , нарисовав правильный шестиугольник внутри и снаружи круга и последовательно удвоив количество сторон, пока не достиг 96-стороннего правильного многоугольника. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что223/71< π <22/7(то есть 3,1408 < π <3,1429 ). ^[54] Верхняя граница Архимеда22/7возможно, привело к широко распространенному мнению, что π равно22/7. ^[55] Около 150 г. н.э. греко-римский ученый Птолемей в своем Альмагесте дал значение π 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского . ^{[56] [57]} Математики, использующие многоугольные алгоритмы, достигли 39 цифр числа π в 1630 году, рекорд был побит только в 1699 году, когда бесконечные серии использовались для достижения 71 цифры. ^[58]

В древнем Китае значения π включали 3,1547 (примерно 1 год нашей эры), √ 10 (100 год нашей эры, примерно 3,1623) и142/45(3 век, приблизительно 3,1556). ^[59] Примерно в 265 году нашей эры математик из Королевства Вэй Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольника и использовал его с 3072-сторонним многоугольником, чтобы получить значение π, равное 3,1416. ^{[60] [61]} Лю позже изобрел более быстрый метод вычисления π и получил значение 3,14 с 96-сторонним многоугольником, воспользовавшись тем фактом, что разницы в площади последовательных многоугольников образуют геометрическую серию с коэффициентом 4. ^[60] Китайский математик Цзу Чунчжи , около 480 г. н.э., подсчитал, что 3,1415926 < π <3,1415927и предложил приближения π ≈355/113= 3,14159292035 ... и π ≈22/7= 3,142857142857 ..., которые он назвал Milü ("близкое соотношение") и Yuelü ("приблизительное соотношение"), соответственно, используя алгоритм Лю Хуэя, примененный к многоугольнику с 12 288 сторонами. С правильным значением для его семи первых десятичных знаков. цифр, это значение оставалось наиболее точным приближением π, доступным в течение следующих 800 лет. ^[62]

Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своей Арьябхатии (499 г. н.э.). ^[63] Фибоначчи в c. 1220 вычислил 3,1418 с использованием метода многоугольников, не зависящего от Архимеда. ^[64] Итальянский автор Данте явно использовал значение 3+.√ 2/10≈ 3,14142 . ^[64]

Персидский астроном Джамшид аль-Каши произвел 9 шестидесятеричных цифр, что примерно эквивалентно 16 десятичным цифрам, в 1424 году, используя многоугольник с ²⁸ сторонами 3 × 2 , ^{[65] [66],} который оставался мировым рекордом в течение примерно 180 лет. ^[67] Французский математик Франсуа Виет в 1579 г. получил 9 цифр с многоугольником 3 × 2 ¹⁷ сторон. ^[67] Фламандский математик Адриан ван Румен пришел к 15 десятичным знакам в 1593 году. ^[67] В 1596 году голландский математик Людольф ван Сеулен достиг 20 цифр, позже этот рекорд он увеличил до 35 цифр (в результате πдо начала 20 века называлось в Германии «лудольфианским числом»). ^[68] Голландский ученый Виллеброрд Снеллиус достиг 34 цифр в 1621 году ^[69], а австрийский астроном Кристоф Гринбергер получил 38 цифр в 1630 году, используя ^10-40 сторон, ^[70] что остается наиболее точным приближением, полученным вручную с использованием многоугольных алгоритмов. ^[69]

Бесконечная серия

Вычисление π произвело революцию с развитием техники бесконечных рядов в 16-17 веках. Бесконечный ряд - это сумма членов бесконечной последовательности . ^[71] Бесконечный ряд позволил математикам вычислять π с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы. ^[71] Хотя бесконечные ряды использовались для вычисления числа π, в первую очередь европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц , этот подход был впервые открыт в Индии где-то между 1400 и 1500 годами нашей эры.^{[72] [73]} Первое письменное описание бесконечного ряда, которое можно было использовать для вычисления π, было изложено в стихах на санскрите индийским астрономом Нилакантхой Сомаяджи в его « Тантрасамграхе» около 1500 года нашей эры. ^[74] Серии представлены без доказательств, но доказательства представлены в более поздней индийской работе « Юктибхана» , датируемой примерно 1530 годом нашей эры. Нилаканта приписывает эту серию более раннему индийскому математику Мадхаве из Сангамаграмы , который жил c. 1350 - ок. 1425. ^[74] Описано несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса, тангенса и косинуса, которые теперь называются рядами Мадхавы илиСерия Григория – Лейбница . ^[74] Мадхава использовал бесконечный ряд для оценки π до 11 цифр около 1400, но это значение было улучшено примерно до 1430 года персидским математиком Джамшидом аль-Каши с использованием многоугольного алгоритма. ^[75]

Первая бесконечная последовательность обнаружена в Европе было бесконечное произведение (а не бесконечная сумма , которая более обычно используется в п расчетах) найден французский математик Виет в 1593: ^{[77] [78] [79]}

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

Вторая бесконечная последовательность , обнаруженная в Европе , по Валлису в 1655 году, была также бесконечное произведением: ^[77]

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$

Открытие исчисления английским ученым Исааком Ньютоном и немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1660-х годах привело к разработке многих бесконечных рядов для приближения π . Сам Ньютон использовал ряд arcsin для вычисления 15-значного приближения числа π в 1665 или 1666 году, позже написав: «Мне стыдно сказать вам, сколько чисел я провел эти вычисления, не имея в то время других дел». ^[76]

В Европе формула Мадхавы была заново открыта шотландским математиком Джеймсом Грегори в 1671 году и Лейбницем в 1674 году: ^{[80] [81]}

${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$

Эта формула, ряд Грегори – Лейбница, равна π / 4 при вычислении с z  = 1. ^[81] В 1699 году английский математик Абрахам Шарп использовал ряд Грегори – Лейбница для вычисления числа π до 71 цифры, побив предыдущий рекорд в 39 цифр, который задавался многоугольным алгоритмом. ^[82] Метод Грегори – Лейбница для рядов прост, но сходится очень медленно (то есть приближается к ответу постепенно), поэтому он не используется в современных π- вычислениях. ^[83]${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$${\displaystyle z=1}$

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори – Лейбница для создания алгоритма, который сходился намного быстрее: ^[84]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$

С помощью этой формулы Мачин достиг 100 цифр числа π . ^[85] Другие математики создали варианты, теперь известные как формулы типа Мачина , которые использовались для установки нескольких последовательных рекордов для вычисления цифр числа π . ^[85] Формулы типа Машина оставались самым известным методом вычисления π в эпоху компьютеров, и использовались для установления рекордов за 250 лет, достигнув высшей точки в 620-значном приближении Дэниела Фергюсона в 1946 году - наилучшее приближение, достигнутое без помощи счетного устройства. ^[86]

Рекорд был установлен вундеркиндом Захариасом Дасе , который в 1844 году по указанию немецкого математика Карла Фридриха Гаусса использовал формулу типа Мачина для вычисления 200 десятичных знаков числа π в своей голове . ^[87] Британский математик Уильям Шэнкс, как известно, потратил 15 лет, чтобы вычислить π до 707 цифр, но сделал ошибку в 528-й цифре, сделав все последующие цифры неверными. ^[87]

Скорость сходимости

Некоторые бесконечные ряды для π сходятся быстрее других. При выборе двух бесконечных рядов для π математики обычно будут использовать тот, который сходится быстрее, потому что более быстрая сходимость сокращает объем вычислений, необходимых для вычисления π с любой заданной точностью. ^[88] Простой бесконечный ряд для π - это ряд Грегори – Лейбница : ^[89]

${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$

По мере того, как отдельные члены этого бесконечного ряда добавляются к сумме, общая сумма постепенно приближается к π и - при достаточном количестве членов - может приближаться к π, насколько это необходимо. Однако он сходится довольно медленно - после 500 000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр числа π . ^[90]

Бесконечный ряд для π (опубликованный Нилакантхой в 15 веке), сходящийся быстрее, чем ряд Грегори – Лейбница: ^[91] Обратите внимание, что ( n  - 1) n ( n  + 1) = n ³  -  n . ^[92]

${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$

В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:

Бесконечный ряд для π	После 1 семестра	После 2 семестра	После 3-го срока	После 4-го семестра	После 5 семестра	Сходится к:
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots }$	4,0000	2.6666 ...	3,4666 ...	2,8952 ...	3,3396 ...	π = 3,1415 ...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}+\cdots }$	3,0000	3,1666 ...	3,1333 ...	3,1452 ...	3,1396 ...

После пяти членов сумма ряда Грегори – Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения π , тогда как сумма ряда Нилаканты находится в пределах 0,002 от правильного значения π . Ряд Нилаканта сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр числа π . Серия, сходящиеся еще быстрее включать ряд MACHIN в и ряд Чудновского , последний производит 14 правильных десятичных цифр в триместр. ^[88]

Иррациональность и трансцендентность

Не все математические достижения, касающиеся π, были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер решил проблему Базеля в 1735 году, найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между π и простыми числами, которая позже внесла свой вклад в развитие и изучение дзета-функции Римана : ^[93]

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$

Швейцарский ученый Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году доказал , что π является иррациональным , то есть он не равен частному от любых двух целых чисел. ^[23] В доказательстве Ламберта использовалось представление касательной функции в виде цепной дроби. ^[94] Французский математик Адриан-Мари Лежандр доказал в 1794 году, что π ² также иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал , что π есть трансцендентное , что подтверждает гипотезу , сделанное как Лежандра и Эйлера. ^{[95] [96]}Харди и Райт заявляют, что «доказательства были впоследствии изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами». ^[97]

Принятие символа π

В самых ранних употреблениях греческая буква π была сокращением греческого слова, обозначающего периферию ( περιφέρεια ), ^[99] и объединялась в соотношениях с δ (для диаметра ) или ρ (для радиуса ) для образования констант круга. ^{[100] [101] [102]} (До этого математики иногда использовали вместо них такие буквы, как c или p . ^[103] ) Первое зарегистрированное использование - это " " Oughtred , чтобы выразить отношение периферии и диаметра в 1647 г. редакции Clavis Mathematicae${\displaystyle \delta .\pi }$. ^{[104] [103]} Барроу также использовал " " для обозначения константы 3,14 ..., ^{[105] в} то время как Грегори вместо этого использовал " " для представления 6,28 .... ^{[106] [101]}${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

Самое раннее известное использование одной только греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было валлийским математиком Уильямом Джонсом в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos ; или «Новое введение в математику» . ^{[107] [108]} Греческая буква впервые появляется во фразе «1/2 Периферия ( π )» при обсуждении круга с радиусом один. ^[109] Однако он пишет, что его уравнения для π написаны «наготове поистине гениального мистера Джона Мачина », что приводит к предположению, что Мачин, возможно, использовал греческую букву до Джонса. ^[103]Обозначения Джонса не сразу были приняты другими математиками, при этом обозначение дробей использовалось до 1767 года. ^{[100] [110]}

Эйлер начал использовать однобуквенную форму, начиная с его эссе 1727 г., объясняющего свойства воздуха , хотя он использовал π = 6,28 ... , отношение радиуса к периферии, в этом и некоторых более поздних работах. ^{[111] [112]} Эйлер впервые использовал л = 3,14 ... в его 1736 работы Механике , ^[113] и продолжил в своем начитанный 1748 работы Введении в анализ бесконечно малых (он писал: «ради краткости мы будем писать это число как π ; таким образом, π равно половине длины окружности радиуса 1 "). ^[114]Поскольку Эйлер переписывался сильно с другими математиками в Европе, использование греческой буквы быстро распространилась, и эта практика была повсеместно принята в дальнейшем в западном мире , ^[103] , хотя это определение все еще колебалась от 3,14 ... 6,28 и ... , как в конце 1761 года. ^[115]

Современные поиски большего количества цифр

Компьютерная эра и итерационные алгоритмы

Развитие компьютеров в середине 20 века снова произвело революцию в охоте за цифрами π . Математики Джон Ренч и Леви Смит достигли 1120 цифр в 1949 году с помощью настольного калькулятора. ^[116] Используя обратный тангенс ( арктангенс ) бесконечный ряд, команда под руководством Джорджа Рейтвиснера и Джона фон Неймана в том же году достигла 2037 цифр с вычислением, которое заняло 70 часов компьютерного времени на компьютере ENIAC . ^{[117] [118]} Рекорд, всегда основанный на арктановых рядах, неоднократно побивался (7480 цифр в 1957 году; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1973 году не был достигнут 1 миллион цифр. ^[117]

Два дополнительных события около 1980 г. снова ускорили вычисление π . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов вычисления π , которые были намного быстрее, чем бесконечный ряд; и, во-вторых, изобретение алгоритмов быстрого умножения, которые могут очень быстро умножать большие числа. ^[119] Такие алгоритмы особенно важны в современных π- вычислениях, поскольку большая часть времени компьютера тратится на умножение. ^[120] Они включают алгоритм Карацубы , умножение Тоома – Кука и методы, основанные на преобразовании Фурье . ^[121]

Итерационные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 годах физиком Юджином Саламином и ученым Ричардом Брентом . ^[122] Это позволяет избежать использования бесконечных рядов. Итерационный алгоритм повторяет конкретное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве входных данных, и на каждом шаге выдает результат, который сходится к желаемому значению. Этот подход был изобретен более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом в том, что сейчас называется методом среднего арифметико-геометрического (метод AGM) или алгоритмом Гаусса – Лежандра . ^[122] В модификации Саламина и Брента он также называется алгоритмом Брента – Саламина.

Итерационные алгоритмы широко использовались после 1980 года, потому что они быстрее, чем алгоритмы бесконечного ряда: в то время как бесконечный ряд обычно увеличивает количество правильных цифр аддитивно в последовательных выражениях, итерационные алгоритмы обычно умножают количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн разработали итерационный алгоритм, увеличивающий в четыре раза количество цифр на каждом шаге; а в 1987 году - тот, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом этапе. ^[123] Итерационные методы были использованы японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы установить несколько рекордов для вычисления πмежду 1995 и 2002 гг. ^[124] Такая быстрая сходимость имеет свою цену: итерационные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные серии. ^[124]

Мотивы вычисления π

Для большинства численных вычислений с использованием π несколько цифр обеспечивают достаточную точность. Согласно Йоргу Арндту и Кристофу Хенелю, тридцать девять цифр достаточно для выполнения большинства космологических вычислений, потому что это точность, необходимая для вычисления длины окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома. ^[125] Принимая во внимание дополнительные цифры, необходимые для компенсации ошибок округления при вычислениях , Арндт приходит к выводу, что нескольких сотен цифр будет достаточно для любого научного приложения. Несмотря на это, люди работали усиленно , чтобы вычислить π до тысяч и миллионов цифр. ^[126]Эти усилия могут быть частично приписаны человеческому стремлению побить рекорды, и такие достижения с π часто становятся заголовками во всем мире. ^{[127] [128]} Они также имеют практические преимущества, такие как тестирование суперкомпьютеров , тестирование алгоритмов численного анализа (включая алгоритмы высокоточного умножения ); и внутри самой чистой математики, предоставляя данные для оценки случайности цифр числа π . ^[129]

Быстро сходящийся ряд

Современные π- калькуляторы не используют исключительно итерационные алгоритмы. Новые бесконечные серии были открыты в 1980-х и 1990-х годах, которые работают так же быстро, как итерационные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти. ^[124] Быстрые итерационные алгоритмы ожидались в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал десятки новаторских формул для π , замечательных своей элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью. ^[130] Одна из его формул, основанная на модульных уравнениях , такова:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$

Этот ряд сходится намного быстрее, чем большинство арктановых рядов, включая формулу Мачина. ^[131] Билл Госпер был первым, кто использовал его для достижения прогресса в вычислении π , установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году. ^[132] Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн и братьями Чудновски . ^[133] Формула Чудновского, разработанная в 1987 г.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}$

Он дает около 14 цифр π на член ^[134] и использовался для нескольких рекордных вычислений π , в том числе первого, которое в 1989 году превысило 1 миллиард (10 ⁹ ) цифр, сделанное братьями Чудновскими, 10 триллионов (10 ¹³ ) цифр в 2011 году Александра Йи и Шигеру Кондо ^[135], более 22 триллионов цифр в 2016 году Питера Труба ^{[136] [137]} и 50 триллионов цифр Тимоти Мулликана в 2020 году. ^[138] Подобные формулы см. также в Рамануджане– Сато серии .

В 2006 году математик Саймон Плафф использовал алгоритм целочисленных отношений PSLQ ^[139], чтобы сгенерировать несколько новых формул для π , соответствующих следующему шаблону:

${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$

где q - e π (константа Гельфонда), k - нечетное число , а a , b , c - определенные рациональные числа, вычисленные Плуффом. ^[140]

Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло , которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут использоваться для создания приближений π . ^[141] иглы Бюффона является одним из таких способов: Если игла длины л отбрасывается п раз на поверхности , на которой параллельные линии нарисованы т единиц друг от друга, и если х тех времен он приходит в состояние покоя пересечения линии ( х  > 0 ), то можно приблизить π на основе подсчетов: ^[142]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$

Другой метод Монте-Карло для вычисления π - нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом расставить точки в этом квадрате. Отношение точек внутри круга к общему количеству точек будет примерно равно π / 4 . ^[143]

Другой способ вычисления π с использованием вероятности - начать со случайного блуждания , генерируемого последовательностью (справедливых) подбрасываний монеты: независимых случайных величин X _k, таких что X _k ∈ {−1,1} с равными вероятностями. Соответствующее случайное блуждание

${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$

так что, для каждого п , W _п взята из смещенных и масштабируется биномиальное распределение . В п изменяется, W _п определяет (дискретный) случайный процесс . Тогда π можно вычислить по ^[144]

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$

Этот метод Монте-Карло не зависит от какого-либо отношения к окружностям и является следствием центральной предельной теоремы , обсуждаемой ниже .

Эти методы Монте-Карло для аппроксимации π очень медленны по сравнению с другими методами и не предоставляют никакой информации о точном количестве получаемых цифр. Таким образом, они никогда не используются для аппроксимации π, когда требуется скорость или точность. ^[145]

Алгоритмы втулки

В 1995 году были открыты два алгоритма, которые открыли новые возможности для исследования π . Они называются алгоритмами патрубка, потому что, как вода, капающая из патрубка , они производят однозначные числа π , которые не используются повторно после вычисления. ^{[146] [147]} Это контрастирует с бесконечными последовательностями или итерационными алгоритмами, которые сохраняют и используют все промежуточные цифры до получения окончательного результата. ^[146]

Математики Стэн Вагон и Стэнли Рабинович разработали простой алгоритм втулки в 1995 году. ^{[147] [148] [149]} Его скорость сопоставима с алгоритмами arctan, но не так быстро, как итерационные алгоритмы. ^[148]

Другой алгоритм, алгоритм извлечения цифр BBP , был открыт в 1995 году Саймоном Плаффом: ^{[150] [151]}

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

Эта формула, в отличие от других до нее, может дать любую отдельную шестнадцатеричную цифру π без вычисления всех предыдущих цифр. ^[150] Отдельные двоичные цифры могут быть извлечены из отдельных шестнадцатеричных цифр, а восьмеричные цифры могут быть извлечены из одной или двух шестнадцатеричных цифр. Были обнаружены вариации алгоритма, но еще не найден алгоритм извлечения цифр, который быстро производит десятичные цифры. ^[152] Важным применением алгоритмов извлечения цифр является проверка новых заявлений о записи πвычисления: после запроса новой записи десятичный результат преобразуется в шестнадцатеричный, а затем используется алгоритм извлечения цифр для вычисления нескольких случайных шестнадцатеричных цифр в конце; если они совпадают, это дает меру уверенности в том, что все вычисления верны. ^[135]

В период с 1998 по 2000 году распределенный вычислительный проект PiHex используется формула беллара (модификация алгоритма ВВРА) , чтобы вычислить квадриллионные (10 ¹⁵ - я) бит П , которое оказалось равной 0. ^[153] В сентябре 2010 года, Yahoo ! сотрудник использовал компании Hadoop приложение на одну тысячу компьютеров в течение периода 23 дней , чтобы вычислить 256 битов из П в два-квадриллионной (2 × 10 ¹⁵ бит й), который также бывает равным нулю. ^[154]

Роль и характеристики в математике

Поскольку π тесно связано с кругом, его можно найти во многих формулах из области геометрии и тригонометрии, особенно в формулах , касающихся кругов, сфер или эллипсов. Другие отрасли науки, такие как статистика, физика, анализ Фурье и теория чисел, также включают π в некоторые из своих важных формул.

Геометрия и тригонометрия

π появляется в формулах для площадей и объемов геометрических фигур, основанных на окружностях, таких как эллипсы , сферы , конусы и торы . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных формул, содержащих π . ^[155]

• Длина окружности радиуса r равна 2π r .
• Площадь круга с радиусом г является π г ² .
• Объем сферы радиуса r равен4/3π r ³ .
• Площадь поверхности сферы радиуса r равна 4π r ² .

Приведенные выше формулы являются частными случаями объема n- мерного шара и площади поверхности его границы, ( n - 1) -мерной сферы , приведенной ниже .

Определенные интегралы , описывающие окружность, площадь или объем форм, образованных кругами, обычно имеют значения, включающие π . Например, интеграл, определяющий половину площади круга радиуса один, имеет вид: ^[156]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

В этом интеграле функция √ 1 -  x ² представляет собой верхнюю половину круга ( квадратный корень является следствием теоремы Пифагора ), а интеграл ∫¹
_-1вычисляет площадь между этой половиной круга и осью x .

В тригонометрических функциях зависят от углов, и математики обычно используют радианы в качестве единиц измерения. π играет важную роль в углах, измеряемых в радианах , которые определены так, что полный круг охватывает угол 2 π радиан. ^[157] Угловая мера 180 ° равна π радиан, а 1 ° = π / 180 радиан. ^[157]

Обычные тригонометрические функции имеют периоды, кратные π ; например, синус и косинус имеют период 2 π , ^[158] поэтому для любого угла θ и любого целого числа k ,

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$^[158]

Собственные значения

Многие появления π в формулах математики и естественных наук связаны с его тесной взаимосвязью с геометрией. Однако π также появляется во многих естественных ситуациях, очевидно не имеющих ничего общего с геометрией.

Во многих приложениях оно играет заметную роль как собственное значение . Например, идеализированная вибрирующая струна может быть смоделирована как график функции f на единичном интервале [0,1] с фиксированными концами f (0) = f (1) = 0 . Виды колебаний струны являются решениями дифференциального уравнения , или . Таким образом, λ является собственным значением оператора второй производной и ограничено теорией Штурма – Лиувилля, чтобы принимать только определенные конкретные значения. Он должен быть положительным, поскольку оператор отрицательно определен.${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$, поэтому удобно записать λ = ν ² , где ν> 0 называется волновым числом . Тогда f ( x ) = sin (π x ) удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению с ν = π . ^[159]

Фактически, значение π является наименьшим из таких значений волнового числа и связано с основной модой колебаний струны. Один из способов показать это - оценить энергию , которая удовлетворяет неравенству Виртингера : ^[160] для функции f  : [0, 1] → ℂ с f (0) = f (1) = 0 и f , f ' оба возводятся в квадрат интегрируемые , имеем:

${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$

с равенством именно тогда, когда f делится на sin (π x ) . Здесь π появляется как оптимальная константа в неравенстве Виртингера, и отсюда следует, что это наименьшее волновое число, используя вариационную характеристику собственного значения. Как следствие, π - наименьшее сингулярное значение оператора производной на пространстве функций на [0,1], равное нулю на обоих концах ( пространство Соболева ).${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

Неравенства

Число π появляется в аналогичных задачах на собственные значения в многомерном анализе. Как упоминалось выше , его можно охарактеризовать через роль наилучшей константы в изопериметрическом неравенстве : площадь A, ограниченная плоской жордановой кривой периметра P, удовлетворяет неравенству

${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$

и равенство явно достигается для круга, поскольку в этом случае A = π r ² и P = 2π r . ^[161]

В конечном итоге, как следствие изопериметрического неравенства, π появляется в оптимальной константе для критического неравенства Соболева в n измерениях, что, таким образом, характеризует роль π также во многих физических явлениях, например, в классической теории потенциала . ^{[162] [163] [164]} В двух измерениях критическое неравенство Соболева имеет вид

${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$

для е гладкой функции с компактным носителем в R ² , является градиентом из F , а и относятся соответственно к L 2 и L 1 -норму . Неравенство Соболева эквивалентно изопериметрическому неравенству (в любой размерности) с теми же лучшими константами.${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle \|f\|_{2}}$${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

Неравенство Виртингер также обобщается Многомерными неравенства Пуанкара , которые обеспечивают лучшие константы для энергии Дирихля из п - мерной мембраны. В частности, π - наибольшая константа такая, что

${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$

для всех выпуклых подмножеств G из R ^п диаметра 1, и квадратные интегрируемых функций ¯u на G среднего нуля. ^[165] Так же, как неравенство Виртингера является вариационной формой проблемы собственных значений Дирихле в одном измерении, неравенство Пуанкаре является вариационной формой проблемы собственных значений Неймана в любом измерении.

Преобразование Фурье и принцип неопределенности Гейзенберга

Константа π также появляется как критический спектральный параметр в преобразовании Фурье . Это интегральное преобразование , которое переводит комплекснозначную интегрируемую функцию f на вещественной прямой в функцию, определенную как:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$

Хотя существует несколько различных соглашений для преобразования Фурье и его обратного, любое такое соглашение должно где-то включать π . Однако приведенное выше определение является наиболее каноническим, дающим единственный унитарный оператор на L ^2, который также является гомоморфизмом алгебр L ¹ в L ^∞ . ^[166]

Принцип неопределенности Гейзенберга также содержит число тг . Принцип неопределенности дает четкую нижнюю границу степени, в которой можно локализовать функцию как в пространстве, так и по частоте: с нашими соглашениями для преобразования Фурье,

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$

Физические последствия, связанные с неопределенностью одновременных наблюдений положения и импульса квантово-механической системы, обсуждаются ниже . Появление π в формулах анализа Фурье в конечном итоге является следствием теоремы Стоуна – фон Неймана , утверждающей единственность представления Шредингера группы Гейзенберга . ^[167]

Гауссовские интегралы

Поля вероятности и статистики часто используют нормальное распределение как простую модель для сложных явлений; например, ученые обычно предполагают, что ошибка наблюдения в большинстве экспериментов подчиняется нормальному распределению. ^[168] Функция Гаусса , которая представляет собой функцию плотности вероятности нормального распределения со средним μ и стандартным отклонением σ , естественно, содержит π : ^[169]

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

Коэффициент делает площадь под графиком f равной единице, как требуется для распределения вероятностей. Это следует из замены переменных в гауссовском интеграле : ^[169]${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$

что говорит о том, что площадь под основной колоколообразной кривой на рисунке равна квадратному корню из π .

Центральная предельная теорема объясняет центральную роль нормальных распределений, а следовательно , П , по вероятности и статистике. Эта теорема, в конечном счете связано с спектральной характеристикой из П в качестве собственного значения , связанного с принципом неопределенности Гейзенберга, и тот факт , что имеет место равенство в принципе неопределенности только для функции Гаусса. ^[170] Эквивалентно, π - это единственная постоянная, делающая нормальное распределение Гаусса e ^{-π x 2} равным его собственному преобразованию Фурье. ^[171] Действительно, согласно Хоу (1980), «все дело» по установлению основных теорем анализа Фурье сводится к гауссовскому интегралу.

Проективная геометрия

Пусть V - множество всех дважды дифференцируемых действительных функций , удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению . Тогда V является двумерным вещественным векторным пространством с двумя параметрами, соответствующими паре начальных условий для дифференциального уравнения. Для любого , позвольте быть оценочным функционалом, который связывает каждому значение функции f в реальной точке t . Затем для каждого т , то ядро из является одномерным линейным подпространством в V . Следовательно, определяет функцию из${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\in V}$${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$от реальной линии до реальной проективной линии . Эта функция периодическая, и величину π можно охарактеризовать как период этого отображения. ^[172]

Топология

Константа π появляется в формуле Гаусса – Бонне, которая связывает дифференциальную геометрию поверхностей с их топологией . В частности, если компактная поверхность Σ имеет гауссову кривизну K , то

${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$

где χ ( Σ ) - эйлерова характеристика , которая является целым числом. ^[173] Примером является площадь поверхности сферы S кривизны 1 (так что ее радиус кривизны , который совпадает с ее радиусом, также равен 1.) Эйлерова характеристика сферы может быть вычислена из ее групп гомологий и равна оказалось равным двум. Таким образом, мы имеем

${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$

воспроизводя формулу площади поверхности сферы радиуса 1.

Константа появляется во многих других интегральных формулах топологии, в частности, в формулах, включающих характеристические классы через гомоморфизм Черна – Вейля . ^[174]

Векторное исчисление

Векторное исчисление - это раздел исчисления, который занимается свойствами векторных полей и имеет множество физических приложений, таких как электричество и магнетизм . Ньютонов потенциал для точечного источника Q , расположенной в начале трехмерной декартовой системе координат ^[175]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}}$

который представляет собой потенциальную энергию единицы массы (или заряда), помещенной на расстоянии | х | от источника, а k - размерная постоянная. Поле, обозначенное здесь буквой E , которое может быть (ньютоновским) гравитационным полем или (кулоновским) электрическим полем , является отрицательным градиентом потенциала:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.}$

Особые случаи включают закон Кулона и закон всемирного тяготения Ньютона . Закон Гаусса гласит, что поток поля наружу через любую гладкую простую замкнутую ориентируемую поверхность S, содержащую начало координат, равен 4 π kQ :

${\displaystyle 4\pi kQ=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} .}$

Обычно этот множитель 4π включается в константу k , но этот аргумент показывает, почему он должен где-то появляться . Кроме того, 4π - это площадь поверхности единичной сферы, но мы не предполагали, что S - это сфера. Однако, как следствие теоремы о расходимости , поскольку область, удаленная от начала координат, является вакуумом (без источника), это только класс гомологии поверхности S в R ³ \ {0} это имеет значение при вычислении интеграла, поэтому его можно заменить любой удобной поверхностью в том же классе гомологии, в частности, сферой, где для вычисления интеграла можно использовать сферические координаты.

Следствием закона Гаусса является то, что отрицательный лапласиан потенциала V равен 4π kQ, умноженному на дельта-функцию Дирака :

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).}$

Более общие распределения материи (или заряда) получаются из этого путем свертки , давая уравнение Пуассона

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )}$

где ρ - функция распределения.

Константа π также играет аналогичную роль в четырехмерный потенциалах , связанных с уравнениями Эйнштейна , фундаментальной формулой , которая формирует основу общей теории относительности и описывает фундаментальное взаимодействие с гравитацией в результате пространства - времени быть изогнуто по вопросу и энергии : ^[176]

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}$

где R _μν - тензор кривизны Риччи , R - скалярная кривизна , g _μν - метрический тензор , Λ - космологическая постоянная , G - гравитационная постоянная Ньютона , c - скорость света в вакууме, а T _μν - напряжение - тензор энергии . Левая часть уравнения Эйнштейна является нелинейным аналогом лапласиана метрического тензора и сводится к пределу слабого поля, где член играет роль${\displaystyle \Lambda g}$Множитель Лагранжа , а правая часть - аналог функции распределения, умноженный на 8π .

Интегральная формула Коши

Одним из ключевых инструментов комплексного анализа является контурное интегрирование функции по положительно ориентированной ( спрямляемой ) жордановой кривой γ . Форма интегральной формулы Коши утверждает, что если точка z ₀ находится внутри γ , то ^[177]

${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$

Хотя кривая γ не является окружностью и, следовательно, не имеет очевидной связи с константой π , стандартное доказательство этого результата использует теорему Мореры , из которой следует, что интеграл инвариантен относительно гомотопии кривой, так что он может быть деформирован в круг, а затем явно интегрирован в полярных координатах. В более общем смысле верно, что если спрямляемая замкнутая кривая γ не содержит z ₀ , то указанный выше интеграл равен 2π i, умноженному на число витков кривой.

Общий вид интегральной формулы Коши устанавливает связь между значениями в комплексной аналитической функции F ( г ) на кривой Жордана Г и величины ф ( г ) в любой внутренней точке г ₀ из гамма : ^{[178] [179]}

${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$

при условии, что f ( z ) аналитична в области, заключенной через γ, и непрерывно продолжается до γ . Интегральная формула Коши является частным случаем теоремы о вычетах : если g ( z ) - мероморфная функция, область, ограниченная γ, непрерывна в окрестности γ , то

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$

где сумма из остатков в то полюсов в г ( г ) .

Гамма-функция и приближение Стирлинга

Факториальная функция n ! - произведение всех натуральных чисел до n . Гамма - функция расширяет понятие факториала (обычно определяется только для неотрицательных целых чисел) для всех комплексных чисел, кроме отрицательных действительных чисел. Когда гамма-функция оценивается как полуцелые числа, результат содержит π ; например и . ^[180]${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$

Гамма-функция определяется разработкой продукта Weierstrass : ^[181]

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони . Вычисленное при z = 1/2 и возведенное в квадрат, уравнение Γ (1/2) ² = π сводится к формуле произведения Уоллиса. Гамма-функция также связана с дзета-функцией Римана и тождествами для функционального определителя , в которых константа π играет важную роль .

Гамма - функция используется для вычисления объема V _п ( г ) из п - мерного шара радиуса г в евклидовом п - мерном пространстве, а площадь поверхности S _{п -1} ( г ) ее границы, то ( п -1 ) -мерная сфера : ^[182]

${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$

${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$

Далее, из функционального уравнения следует, что

${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$

Гамма-функцию можно использовать для создания простого приближения к факториальной функции n ! для больших n : которое известно как приближение Стирлинга . ^[183] Аналогично,${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$

В качестве геометрического применения приближения Стирлинга пусть Δ _n обозначает стандартный симплекс в n- мерном евклидовом пространстве, а ( n  + 1) Δ _n обозначает симплекс, все стороны которого увеличены в n  + 1 раз . потом

${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$

Гипотеза Эрхарта об объеме состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклого тела, содержащего только одну точку решетки . ^[184]

Теория чисел и дзета-функция Римана

Дзета - функция Римана ζ ( s ) используется во многих областях математики. При оценке при s = 2 его можно записать как

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$

Нахождение простого решения этой бесконечной серии было известной математической проблемой, называемой проблемой Базеля . Леонард Эйлер решил ее в 1735 году , когда он показал , что он был равен тгом ² /6 . ^[93] Результат Эйлера приводит к результату теории чисел, согласно которому вероятность того, что два случайных числа являются относительно простыми (то есть не имеют общих множителей), равна 6 / π ² . ^{[185] [186]} Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делится на простое число p, равна 1 / p(например, каждое 7-е целое число делится на 7.) Следовательно, вероятность того, что два числа делятся на это простое число, равна 1 / p ² , а вероятность того, что хотя бы одно из них не является, равна 1 - 1 / p ² . Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; таким образом, вероятность того, что два числа являются взаимно простыми, определяется произведением всех простых чисел: ^[187]

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$

Эта вероятность может использоваться в сочетании с генератором случайных чисел для аппроксимации π с использованием подхода Монте-Карло. ^[188]

Решение проблемы Базеля подразумевает, что величина π, полученная геометрически, глубоко связана с распределением простых чисел. Это частный случай гипотезы Вейля о числах Тамагавы , которая утверждает равенство подобных бесконечных произведений арифметических величин, локализованных в каждом простом p , и геометрической величины: обратной величины объема некоторого локально симметричного пространства . В случае проблемы Базеля это 3-мерное гиперболическое многообразие SL 2 ( R ) / SL 2 ( Z ) . ^[189]

Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает π, а также гамма-функцию:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет

${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$

Следствием является то , что π может быть получена из функционального определителя от гармонического осциллятора . Этот функциональный детерминант может быть вычислен с помощью разложения произведения и эквивалентен формуле произведения Уоллиса. ^[190] Расчет может быть переработан в квантовую механику , в частности, в вариационный подход к спектру атома водорода . ^[191]

Ряд Фурье

Константа π также естественным образом появляется в ряд Фурье от периодических функций . Периодические функции - это функции на группе T = R / Z дробных частей действительных чисел. Шоу разложения Фурье , что комплексная функция F на T можно записать в виде бесконечной линейной суперпозиции унитарных символов из T . То есть непрерывные групповые гомоморфизмы из T в круговую группу U (1) комплексных чисел единичного модуля. Это теорема, что каждый персонаж Tявляется одной из комплексных экспонент .${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

На T есть единственный характер с точностью до комплексного сопряжения, то есть изоморфизм групп. Используя меру Хаара на круговой группе, постоянная π составляет половину величины производной Радона – Никодима этого символа. Остальные символы имеют производные, величина которых является целым положительным числом, кратным 2 π . ^[22] В результате константа π - это единственное число, такое что группа T , снабженная мерой Хаара, двойственна по Понтрягину решетке целых кратных 2 π . ^[193] Это вариант одномерной формулы суммирования Пуассона .

Модульные формы и тета-функции

Константа π глубоко связана с теорией модулярных форм и тета-функций . Например, Чудновский алгоритм включает существенным образом J-инвариант в качестве эллиптической кривой .

Модулярные формы - это голоморфные функции в верхней полуплоскости, характеризующиеся своими свойствами преобразования в модулярной группе (или ее различных подгруппах), решетке в группе . Примером может служить тета-функция Якоби.${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$

который является разновидностью модулярной формы, называемой формой Якоби . ^[194] Иногда это пишут в терминах нома .${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Константа π - это единственная константа, делающая тета-функцию Якоби автоморфной формой , что означает, что она преобразуется определенным образом. Некоторые тождества верны для всех автоморфных форм. Примером является

${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$

откуда следует, что θ преобразуется как представление дискретной группы Гейзенберга . Общие модульные формы и другие тэта-функции также включают π , опять же из-за теоремы Стоуна – фон Неймана . ^[194]

Распределение Коши и теория потенциала

Распределение Коши

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$

- функция плотности вероятности . Полная вероятность равна единице благодаря интегралу:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$

Энтропия Шеннона распределения Коши равно п (4л) , который также включает в себя π .

Распределение Коши играет важную роль в теории потенциала, потому что это простейшая мера Фюрстенберга , классическое ядро Пуассона, связанное с броуновским движением в полуплоскости. ^[195] Сопряженные гармонические функции, а также преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта Н является интегральным преобразованием задается главным значением Кошей из особого интеграла

${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$

Константа π - это единственный (положительный) нормирующий множитель, такой что H определяет линейную комплексную структуру в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом вещественных функций на вещественной прямой. ^[196] Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать чисто с точки зрения его свойств преобразования в гильбертовом пространстве L ² ( R ) : с точностью до нормировочного множителя это единственный ограниченный линейный оператор, коммутирующий с положительными растяжениями и антикоммутируется со всеми отражениями реальной линии. ^[197] Константа π является единственным нормирующим множителем, делающим это преобразование унитарным.

Сложная динамика

Появление П в множестве Мандельброта фрактала был обнаружен Дэвид Болл в 1991 году ^[198] Он исследовал поведение множества Мандельброта вблизи «шеи» на (-0.75, 0) . Если рассматривать точки с координатами (−0,75, ε ) , когда ε стремится к нулю, количество итераций до расхождения для точки, умноженной на ε, сходится к π . Точка (0,25 + ε , 0) на острие большой «долины» на правой стороне множества Мандельброта ведет себя аналогичным образом: количество итераций до расхождения, умноженное на квадратный корень из εстремится к π . ^{[198] [199]}

Вне математики

Описание физических явлений

Хотя π не является физической константой , она обычно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, часто из-за связи π с кругом и сферическими системами координат . Простая формула из области классической механики дает приблизительный период T простого маятника длиной L , раскачивающегося с небольшой амплитудой ( g - ускорение свободного падения Земли ): ^[200]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$

Одной из ключевых формул квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга , который показывает, что неопределенность измерения положения частицы (Δ x ) и импульса (Δ p ) не может быть одновременно сколь угодно малой (где h - постоянная Планка). ): ^[201]

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$

Тот факт, что π приблизительно равно 3, играет роль в относительно долгом времени жизни ортопозитрония . Время жизни, обратное к низшему порядку по постоянной тонкой структуры α, равно ^[202]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6},}$

где m - масса электрона.

π присутствует в некоторых конструкционных формулах, таких как формула потери устойчивости, полученная Эйлером, которая дает максимальную осевую нагрузку F, которую может выдержать длинная тонкая колонна длиной L , модулем упругости E и моментом инерции площади I без потери устойчивости. : ^[203]

${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$

Поле гидродинамики содержит π в законе Стокса , который аппроксимирует силу трения F, действующую на небольшие сферические объекты радиуса R , движущиеся со скоростью v в жидкости с динамической вязкостью η : ^[204]

${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$

В электромагнетизме постоянная проницаемости вакуума μ ₀ появляется в уравнениях Максвелла , которые описывают свойства электрического и магнитного полей и электромагнитного излучения . До 20 мая 2019 года он определялся как

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$

Соотношение скорости света в вакууме c может быть получено из уравнений Максвелла в среде классического вакуума, используя соотношение между μ ₀ и электрической постоянной (диэлектрической проницаемостью вакуума) , ε ₀ в единицах СИ:

${\displaystyle c={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}.}$

В идеальных условиях (равномерный пологий склон на однородно разрушаемую подложке), то волнистость из извилистой реки приближается тг . Извилистость - это соотношение между фактической длиной и расстоянием по прямой от источника до устья. Более быстрые течения по внешним краям изгибов реки вызывают большую эрозию, чем по внутренним краям, таким образом раздвигая изгибы еще дальше и увеличивая общую извилистость реки. Однако эта петля в конечном итоге приводит к тому, что река местами удваивается и «замыкается», создавая при этом озеро из воловьих бугров . Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к среднему отношению πмежду фактической длиной и прямым расстоянием между источником и устьем. ^{[205] [206]}

Запоминание цифр

Пифилология - это практика запоминания большого количества цифр числа π , ^[207], а мировые рекорды содержатся в Книге рекордов Гиннеса . Рекорд по запоминанию цифр π , сертифицированный Книгой рекордов Гиннеса, составляет 70 000 цифр, он произнес в Индии Раджвир Мина за 9 часов 27 минут 21 марта 2015 года. ^[208] В 2006 году Акира Харагути , японский инженер на пенсии, заявил произнесло 100 000 знаков после запятой, но это утверждение не было подтверждено Книгой рекордов Гиннеса. ^[209]

Один из распространенных приемов - запоминание рассказа или стихотворения, в которых длина слова представляет собой цифры числа π : первое слово состоит из трех букв, второе слово - одной, третье - четырех, четвертого - одной, пятого - пяти и скоро. Такие средства запоминания называются мнемоникой . Ранний пример мнемоники для числа Пи, первоначально изобретенной английским ученым Джеймсом Джинсом , - это «Как я хочу выпить, конечно, алкогольного, после тяжелых лекций по квантовой механике». ^[207] Когда используется стихотворение, его иногда называют пьемом . Стихи для запоминания π написаны не только на английском, но и на нескольких языках. ^[207] Рекордная установка πзапоминатели обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых шаблонов и метод локусов . ^[210]

Некоторые авторы использовали цифры π, чтобы установить новую форму ограниченного письма , где длины слова требуются для представления цифр π . Cadaeic Каденция содержит первые цифры 3835 П Таким образом, ^[211] и полноразмерную книга Не Услуга содержит 10000 слов, каждый из которых представляет одну цифру П . ^[212]

В популярной культуре

Возможно, из-за простоты определения и повсеместного присутствия в формулах π было представлено в массовой культуре больше, чем другие математические конструкции. ^[213]

В совместном документальном фильме Открытого университета 2008 года и BBC , The Story of Maths , который был показан в октябре 2008 года на BBC Four , британский математик Маркус дю Сотуа демонстрирует визуализацию - исторически первую точную - формулу для вычисления π при посещении Индии и изучении ее вклад в тригонометрию. ^[214]

Во Пале-де-ла-Декуверт (музей науки в Париже) есть круглая комната, известная как комната Пи . На его стене начертано 707 цифр числа π . Цифры - большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на вычислении 1853 года английским математиком Уильямом Шанксом , которое включало ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 году и исправлена ​​в 1949 году. ^[215]

В романе Карла Сагана « Контакт» предполагается, что создатель вселенной похоронил сообщение глубоко внутри цифр числа π . ^[216] Цифры П также были включены в тексте песни «Пи» с альбома Aerial по Кейт Буш . ^[217]

В Соединенных Штатах День числа Пи приходится на 14 марта (пишется 3/14 в американском стиле) и популярен среди студентов. ^[218] π и его цифровое представление часто используются самопровозглашенными « гиками- математиками » для шуток среди математически и технологически мыслящих групп. Несколько колледжей веселит на Массачусетском технологическом институте , включают «3.14159». ^[219] День числа Пи в 2015 году был особенно значимым, потому что дата и время 15.03.15 9:26:53 отражали намного больше цифр числа Пи. ^[220] В некоторых частях света, где даты обычно обозначаются в формате день / месяц / год, 22 июля представляет «День приближения числа Пи», так как 22/7 = 3,142857.^[221]

Во время аукциона 2011 года на покупку портфеля ценных патентов на технологии Nortel , Google сделал ряд необычно конкретных предложений, основанных на математических и научных константах, включая π . ^[222]

В 1958 году Альберт Игл предложил заменить π на τ ( тау ), где τ = π / 2 , для упрощения формул. ^[223] Однако нет других авторов, использующих τ таким образом. Некоторые люди используют другое значение, τ = 2 π = 6,28318 ... , ^[224], утверждая, что τ как количество радиан в одном обороте или как отношение длины окружности к ее радиусу, а не диаметру, равно более естественен, чем π, и упрощает многие формулы. ^{[225] [226]}В средствах массовой информации сообщалось о праздновании этого числа, которое приблизительно равно 6,28, путем проведения 28 июня «Дня Тау» и употребления «вдвое больше пирога» ^[227] . Однако такое использование τ не вошло в основную математику. ^[228]

В 1897 году математик-любитель попытался убедить законодательный орган штата Индиана принять Билль Индианы Пи , в котором описывался метод квадрата круга и содержался текст, подразумевающий различные неправильные значения для π , включая 3,2. Законопроект печально известен как попытка установить значение научной постоянной посредством законодательного указа. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом, что означает, что он не стал законом. ^[229]

В компьютерной культуре

В современной интернет-культуре люди и организации часто отдают дань уважения числу π . Например, компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий его программы TeX приблизиться к π . Версии 3, 3.1, 3.14 и так далее. ^[230]

Смотрите также

• Приближения π
• Хронология вычисления π
• Список математических констант
• День Пи

Рекомендации

Сноски

Цитаты