Теория экспериментальной волны

Эксперименты Кудера ^[1]^[2], «материализующие» модель пилотной волны .

В теоретической физике , то волновая теория пилота , также известная как бомовские механики , была первым известный примером скрытой переменной теории , представленной Луи де Бройль в 1927 году его более современная версия, в теории де Бройль-Бома , трактует квантовую механику в качестве детерминированной теории, избегающей проблемных понятий, таких как дуальность волна-частица , мгновенный коллапс волновой функции и парадокс кота Шредингера . Для решения этих проблем теория по своей сути нелокальна .

Теория пилотных волн де Бройля – Бома - одна из нескольких интерпретаций (нерелятивистской) квантовой механики. Расширение релятивистского случая разрабатывается с 1990-х годов. ^[3]^[4]^[5]^[6]

История [ править ]

Ранние результаты Луи де Бройля по теории пилотных волн были представлены в его диссертации (1924) в контексте атомных орбиталей, где волны стационарны. Ранние попытки разработать общую формулировку динамики этих направляющих волн в терминах релятивистского волнового уравнения были безуспешными, пока в 1926 году Шредингер не разработал свое нерелятивистское волновое уравнение , и далее предположил, что, поскольку уравнение описывает волны в конфигурационном пространстве, картина частиц следует отказаться. ^[7] Вскоре после этого ^[8] Макс Борнпредположил, что волновая функция волнового уравнения Шредингера представляет собой плотность вероятности нахождения частицы. Следуя этим результатам, де Бройль разработал динамические уравнения для своей теории пилотных волн. ^[9] Первоначально де Бройль предложил подход двойного решения , в котором квантовый объект состоит из физической волны ( u- волны ) в реальном пространстве, которая имеет сферическую сингулярную область, которая вызывает поведение, подобное частице; в этой первоначальной форме своей теории ему не нужно было постулировать существование квантовой частицы. ^[10] Позже он сформулировал это как теорию, в которой частица сопровождается пилотной волной.

Де Бройль представил теорию пилотных волн на Сольвеевской конференции 1927 года . ^[11] Однако Вольфганг Паули возразил против этого на конференции, заявив, что он не рассматривает должным образом случай неупругого рассеяния . Де Бройль не смог найти ответа на это возражение и отказался от подхода экспериментальной волны. В отличие от Дэвида Бома много лет спустя, де Бройль не завершил свою теорию, чтобы охватить случай многих частиц. ^[10] Случай многих частиц математически показывает, что диссипация энергии при неупругом рассеянии может быть распределена по структуре окружающего поля с помощью еще неизвестного механизма теории скрытых переменных. ^{[требуется разъяснение ]}

В 1932 году Джон фон Нейман опубликовал книгу, часть которой утверждала, что доказывает невозможность всех теорий скрытых переменных. ^[12] Три года спустя Грета Херманн обнаружила, что этот результат ошибочен , хотя физическое сообщество оставило это незамеченным более пятидесяти лет ^{[ необходима цитата ]} .

В 1952 году Дэвид Бом , недовольный господствующей ортодоксией, заново открыл теорию пилотной волны де Бройля. Бом развил теорию пилотных волн в то, что сейчас называется теорией де Бройля – Бома . ^[13]^[14] Сама теория де Бройля – Бома могла бы остаться незамеченной для большинства физиков, если бы ее не поддерживал Джон Белл , который также возражал против ее возражений. В 1987 году Джон Белл заново открыл работу Греты Герман ^[15] и, таким образом, показал физическому сообществу, что возражения Паули и фон Неймана «всего лишь» показали, что теория пилотных волн не имеет локальности .

Ив Кудер и его сотрудники в 2010 году сообщили о макроскопической экспериментальной волновой системе в виде шагающих капель . Было сказано, что эта система демонстрирует поведение пилотной волны, которое до сих пор считалось зарезервированным для микроскопических явлений. ^[1] Однако более тщательные эксперименты по гидродинамике проводились с 2015 года двумя американскими группами и одной датской группой под руководством Томаса Бора (внука Нильса Бора ). Эти новые эксперименты не воспроизводили результаты эксперимента 2010 года по состоянию на 2018 год ^[16].

Теория пилотной волны [ править ]

Принципы [ править ]

(а) Ходок в круглом загоне. Траектории увеличивающейся длины имеют цветовую кодировку в соответствии с локальной скоростью капли. (B) Распределение вероятностей положения пешехода примерно соответствует амплитуде волны Фарадея в загоне. ^[17]

Теория пилотной волны - это теория скрытых переменных . Вследствие этого:

теория имеет реализм (то есть ее концепции существуют независимо от наблюдателя);
теория имеет детерминизм .

Положение частиц считается скрытыми переменными. Наблюдатель не только не знает точного значения этих переменных рассматриваемой квантовой системы, но и не может знать их точно, потому что любое измерение нарушает их. С другой стороны, человек (наблюдатель) определяется не волновой функцией своих атомов, а их положением. Итак, то, что человек видит вокруг себя, также является положением соседних предметов, а не их волновыми функциями.

С набором частиц связана волна материи, которая развивается в соответствии с уравнением Шредингера . Каждая частица следует детерминированной траектории, которая определяется волновой функцией; в совокупности плотность частиц соответствует величине волновой функции. Волновая функция не зависит от частицы и может существовать также как пустая волновая функция . ^[18]

Теория выявляет нелокальность, которая подразумевается в нерелятивистской формулировке квантовой механики, и использует ее для удовлетворения теоремы Белла . Можно показать, что эти нелокальные эффекты совместимы с теоремой об отсутствии связи , которая запрещает их использование для связи со скоростью, превышающей скорость света, и поэтому эмпирически совместима с теорией относительности. ^[19]

Математические основы [ править ]

Чтобы получить пилотную волну де Бройля – Бома для электрона, квантовый лагранжиан

{\ displaystyle L (t) = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} - (V + Q),}

где - потенциальная энергия, - скорость и - потенциал, связанный с квантовой силой (частица, толкаемая волновой функцией), интегрируется точно по одному пути (по которому электрон фактически следует). Это приводит к следующей формуле для пропагатора Бома ^[^ссылка^] : ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle K ^ {Q} (X_ {1}, t_ {1}; X_ {0}, t_ {0}) = {\ frac {1} {J (t) ^ {\ frac {1} {2} }}}} \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} L (t) \, dt \ right].}

Этот пропагатор позволяет точно отслеживать электрон во времени под действием квантового потенциала . ${\ displaystyle Q}$

Вывод уравнения Шредингера [ править ]

Теория Пилотный волны основана на динамике Гамильтона-Якоби , ^[20] , а не лагранжиана или гамильтоновой динамики . Используя уравнение Гамильтона – Якоби

{\ displaystyle H \ left (\ mathbf {q}, {\ partial S \ over \ partial \ mathbf {q}}, t \ right) + {\ partial S \ over \ partial t} \ left (\ mathbf {q }, t \ right) = 0}

можно вывести уравнение Шредингера :

Рассмотрим классическую частицу, положение которой достоверно неизвестно. Мы должны иметь дело с этим статистически, поэтому известна только плотность вероятности . Вероятность должна быть сохранена, т.е. для каждого . Следовательно, он должен удовлетворять уравнению неразрывности ${\ Displaystyle \ rho (х, т)}$ ${\ displaystyle \ int \ rho \, d ^ {3} x = 1}$ ${\ displaystyle t}$

\partial \rho /\partial t=-\nabla \cdot (\rho v)\quad (1)

где - скорость частицы. $v(x,t)$

В формулировке классической механики Гамильтона – Якоби скорость определяется выражением где - решение уравнения Гамильтона-Якоби $v(x,t)={\frac {\nabla S(x,t)}{m}}$ $S(x,t)$

-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+{\tilde {V}}\quad (2)

$(1)$ и могут быть объединены в одно комплексное уравнение, введя комплексную функцию , тогда два уравнения эквивалентны $(2)$ $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{\frac {iS}{\hbar }}$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\tilde {V}}-Q\right)\psi \quad

с участием

Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}.

Уравнение Шредингера, зависящее от времени, получается, если мы начнем с обычного потенциала с дополнительным квантовым потенциалом . Квантовый потенциал - это потенциал квантовой силы, который пропорционален (в приближении) кривизне амплитуды волновой функции. ${\tilde {V}}=V+Q$ $Q$

Математическая формулировка отдельной частицы [ править ]

Волна материи де Бройля описывается нестационарным уравнением Шредингера:

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad

Комплексную волновую функцию можно представить как:

$\psi ={\sqrt {\rho }}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)$

Подставляя это в уравнение Шредингера, можно вывести два новых уравнения для действительных переменных. Первый - это уравнение неразрывности для плотности вероятности : ^[13] $\rho$

\partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0\;,

где поле скорости определяется уравнением наведения

{\vec {v}}({\vec {r}},t)={\frac {\nabla S({\vec {r}},t)}{m}}\;.

Согласно теории пилотной волны, точечная частица и волна материи являются как реальными, так и отдельными физическими объектами (в отличие от стандартной квантовой механики, где частицы и волны считаются одними и теми же объектами, связанными дуализмом волна-частица). Пилотная волна направляет движение точечных частиц, как описано в уравнении наведения.

Обычная квантовая механика и теория пилотных волн основаны на одном и том же уравнении в частных производных. Основное отличие состоит в том, что в обычной квантовой механике уравнение Шредингера связано с реальностью постулатом Борна, который утверждает, что плотность вероятности положения частицы определяется выражением . Теория пилотных волн рассматривает уравнение наведения как фундаментальный закон, а правило Борна рассматривает как производную концепцию. $\rho =|\psi |^{2}$

Второе уравнение представляет собой модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби для действия : $S$

-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\;,

где Q - квантовый потенциал, определяемый формулой

Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}

Пренебрегая Q, наше уравнение сводится к уравнению Гамильтона – Якоби классической точечной частицы. (Строго говоря, это всего лишь полуклассический предел ^{[ требуется пояснение ]} , потому что принцип суперпозиции все еще сохраняется, и чтобы избавиться от него, нужен механизм декогеренции. Взаимодействие с окружающей средой может обеспечить этот механизм.) Итак, квантовый потенциал отвечает за все таинственные эффекты квантовой механики.

Можно также объединить модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби с уравнением управления для вывода квазиньютоновского уравнения движения

m\,{\frac {d}{dt}}\,{\vec {v}}=-\nabla (V+Q)\;,

где гидродинамическая производная по времени определяется как

{\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \;.

Математическая формулировка для множественных частиц [ править ]

Уравнение Шредингера для волновой функции многих тел имеет вид $\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdots ,t)$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\right)\psi

Комплексную волновую функцию можно представить как:

\psi ={\sqrt {\rho }}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)

Пилотная волна направляет движение частиц. Уравнение наведения для j-й частицы:

{\vec {v}}_{j}={\frac {\nabla _{j}S}{m_{j}}}\;.

Скорость j-й частицы явно зависит от положения других частиц. Это означает, что теория нелокальна.

Пустая волновая функция [ править ]

Люсьен Харди ^[21] и Джон Стюарт Белл ^[18] подчеркнули, что в картине квантовой механики де Бройля – Бома могут существовать пустые волны , представленные волновыми функциями, распространяющимися в пространстве и времени, но не несущими энергию или импульс ^[22]. и не связан с частицей. Эту же концепцию Альберт Эйнштейн назвал призрачными волнами (или «Gespensterfelder», призрачными полями ) . ^[22] Понятие пустой волновой функции обсуждалось неоднозначно. ^[23]^[24]^[25] Напротив, многомировая интерпретацияквантовой механики не требует пустых волновых функций. ^[18]

См. Также [ править ]

Гидродинамические квантовые аналоги
Модель атома в свободном падении - современный поиск траектории электрона
Квантовый потенциал

Ссылки [ править ]

^ a b Couder, Y .; Boudaoud, A .; Protière, S .; Moukhtar, J .; Форт, Э. (2010). «Бегущие капли: форма дуальности волна-частица на макроскопическом уровне?» (PDF) . Новости Еврофизики . 41 (1): 14–18. Bibcode : 2010ENews..41 ... 14C . DOI : 10.1051 / EPN / 2010101 .
^ «Эксперименты Ива Кудера объясняют дуальность волны / частицы через кремниевые капли». Как устроена Вселенная? . Через червоточину . 13 июля 2011 г.
^ Николич, Х. (2004). «Траектории бомовских частиц в релятивистской бозонной квантовой теории поля». Основы физики . 17 (4): 363–380. arXiv : квант-ph / 0208185 . Bibcode : 2004FoPhL..17..363N . CiteSeerX 10.1.1.253.838 . DOI : 10,1023 / Б: FOPL.0000035670.31755.0a .
^ Николич, Х. (2005). «Траектории бомовских частиц в релятивистской фермионной квантовой теории поля». Основы физики . 18 (2): 123–138. arXiv : квант-ph / 0302152 . Bibcode : 2005FoPhL..18..123N . DOI : 10.1007 / s10702-005-3957-3 .
^ Dürr, D .; Goldstein, S .; Münch-Berndl, K .; Занхи, Н. (1999). «Гиперповерхностные модели Бома – Дирака». Physical Review . 60 (4): 2729–2736. arXiv : квант-ph / 9801070 . Bibcode : 1999PhRvA..60.2729D . DOI : 10.1103 / physreva.60.2729 .
^ Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Норсен, Трэвис; Струйве, Уорд; Занхи, Нино (2014). «Можно ли сделать бомовскую механику релятивистской?» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 470 (2162): 20130699. arXiv : 1307.1714 . Bibcode : 2013RSPSA.47030699D . DOI : 10,1098 / rspa.2013.0699 . PMC 3896068 . PMID 24511259 .
^ Валентини, Антоний; Бачиагалуппи, Гвидо (24 сентября 2006 г.). «Квантовая теория на перепутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 года». arXiv : квант-ph / 0609184 .
^ Борн, М. (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Bibcode : 1926ZPhy ... 38..803B . DOI : 10.1007 / BF01397184 .
^ де Бройль, Л. (1927). "La mécanique ondulatoire et la structure atomique de la matière et du rayonnement" . Journal de Physique et le Radium . 8 (5): 225–241. Bibcode : 1927JPhRa ... 8..225D . DOI : 10.1051 / jphysrad: 0192700805022500 .
^ a b Dewdney, C .; Horton, G .; Лам, ММ; Малик, З .; Шмидт, М. (1992). «Дуализм волна – частица и интерпретация квантовой механики». Основы физики . 22 (10): 1217–1265. Bibcode : 1992FoPh ... 22.1217D . DOI : 10.1007 / BF01889712 .
^ Institut International de Physique Solvay (1928). Электроны и фотоны: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 . Готье-Виллар.
^ фон Нейман, J. (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Springer.
^ а б Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах скрытых переменных, I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..166B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.166 .
^ Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах скрытых переменных, II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..180B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.180 .
Перейти ↑ Bell, JS (1987). Разговорчивый и невыразимый в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521334952.
^ Wolchover, Натали (11 октября 2018). «Знаменитый эксперимент обрекает себя на альтернативу квантовым странностям» . Журнал Quanta . Проверено 17 октября 2018 года . Капли масла, управляемые «пилотными волнами», не смогли воспроизвести результаты квантового эксперимента с двумя щелями.
^ Харрис, Дэниел М .; Буш, Джон WM (2013). «Пилотно-волновая динамика шагающих капель» (PDF) . Физика жидкостей . 25 (9): 091112–091112–2. Bibcode : 2013PhFl ... 25i1112H . DOI : 10.1063 / 1.4820128 . hdl : 1721,1 / 92913 . Архивировано из оригинального (PDF) 27 ноября 2016 года . Проверено 27 ноября 2016 года .
^ a b c Белл, Дж. С. (1992). Шесть возможных миров квантовой механики . Основы физики (Дипломная работа). 22 . С. 1201–1215. Bibcode : 1992FoPh ... 22.1201B . DOI : 10.1007 / BF01889711 .
^ Westman, Hans (29 октября 2004). Разделы основ квантовой теории и теории относительности (PhD). Гетеборгский университет. ЛВП : 2077/16325 .
^ Towler, M. (10 февраля 2009). "Теория волны-пилота Де Бройля-Бома и основы квантовой механики" . Кембриджский университет . Проверено 3 июля 2014 года .
^ Харди, Л. (1992). «О существовании пустых волн в квантовой теории». Физика Буквы A . 167 (1): 11–16. Bibcode : 1992PhLA..167 ... 11H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (92) 90618-V .
^ a b Selleri, F .; Ван дер Мерве, А. (1990). Квантовые парадоксы и физическая реальность . Kluwer Academic Publishers. С. 85–86. ISBN 978-0-7923-0253-7.
^ Zukowski, М. (1993). « « О существовании пустых волн в квантовой теории »: комментарий». Физика Буквы A . 175 (3–4): 257–258. Bibcode : 1993PhLA..175..257Z . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (93) 90837-P .
^ Це, HD (1999). «Почему квантовая теория Бома?». Основы физики . 12 (2): 197–200. arXiv : квант-ph / 9812059 . Bibcode : 1999FoPhL..12..197Z . DOI : 10,1023 / A: 1021669308832 .
^ Вайдман, Л. (2005). «Реальность в бомовской квантовой механике или можно ли убить пустой волновой пулей?». Основы физики . 35 (2): 299–312. arXiv : квант-ph / 0312227 . Bibcode : 2005FoPh ... 35..299V . DOI : 10.1007 / s10701-004-1945-2 .

Внешние ссылки [ править ]

"Гидродинамика пилотных волн" Буш, JWM, 2014, Annu. Rev. Fluid Mech., 49, 269–292.
"Квантовая механика в целом" , Буш, JWM, 2010.
«Пилотные волны, бомовская метафизика и основы квантовой механики» , курс лекций Майка Таулера по теории пилотных волн , Кембриджский университет (2009).
«Гидродинамические квантовые аналоги» Исследования гидродинамических квантовых аналогов и гидродинамической теории пилот-волн, выполненные Джоном Бушем (Массачусетский технологический институт) и его сотрудниками.
Более полная энциклопедическая HTML-страница по данной теме .

[Couder-1] Couder, Y .; Boudaoud, A .; Protière, S .; Moukhtar, J .; Форт, Э. (2010). «Бегущие капли: форма дуальности волна-частица на макроскопическом уровне?» (PDF) . Новости Еврофизики . 41 (1): 14–18. Bibcode : 2010ENews..41 ... 14C . DOI : 10.1051 / EPN / 2010101 .

[droplets-2] «Эксперименты Ива Кудера объясняют дуальность волны / частицы через кремниевые капли». Как устроена Вселенная? . Через червоточину . 13 июля 2011 г.

[3] Николич, Х. (2004). «Траектории бомовских частиц в релятивистской бозонной квантовой теории поля». Основы физики . 17 (4): 363–380. arXiv : квант-ph / 0208185 . Bibcode : 2004FoPhL..17..363N . CiteSeerX 10.1.1.253.838 . DOI : 10,1023 / Б: FOPL.0000035670.31755.0a .

[4] Николич, Х. (2005). «Траектории бомовских частиц в релятивистской фермионной квантовой теории поля». Основы физики . 18 (2): 123–138. arXiv : квант-ph / 0302152 . Bibcode : 2005FoPhL..18..123N . DOI : 10.1007 / s10702-005-3957-3 .

[5] Dürr, D .; Goldstein, S .; Münch-Berndl, K .; Занхи, Н. (1999). «Гиперповерхностные модели Бома – Дирака». Physical Review . 60 (4): 2729–2736. arXiv : квант-ph / 9801070 . Bibcode : 1999PhRvA..60.2729D . DOI : 10.1103 / physreva.60.2729 .

[6] Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Норсен, Трэвис; Струйве, Уорд; Занхи, Нино (2014). «Можно ли сделать бомовскую механику релятивистской?» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 470 (2162): 20130699. arXiv : 1307.1714 . Bibcode : 2013RSPSA.47030699D . DOI : 10,1098 / rspa.2013.0699 . PMC 3896068 . PMID 24511259 .

[7] Валентини, Антоний; Бачиагалуппи, Гвидо (24 сентября 2006 г.). «Квантовая теория на перепутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 года». arXiv : квант-ph / 0609184 .

[8] Борн, М. (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Bibcode : 1926ZPhy ... 38..803B . DOI : 10.1007 / BF01397184 .

[9] де Бройль, Л. (1927). "La mécanique ondulatoire et la structure atomique de la matière et du rayonnement" . Journal de Physique et le Radium . 8 (5): 225–241. Bibcode : 1927JPhRa ... 8..225D . DOI : 10.1051 / jphysrad: 0192700805022500 .

[dewdney-et-al-1992-10] Dewdney, C .; Horton, G .; Лам, ММ; Малик, З .; Шмидт, М. (1992). «Дуализм волна – частица и интерпретация квантовой механики». Основы физики . 22 (10): 1217–1265. Bibcode : 1992FoPh ... 22.1217D . DOI : 10.1007 / BF01889712 .

[11] Institut International de Physique Solvay (1928). Электроны и фотоны: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique tenu à Bruxelles du 24 au 29 Octobre 1927 . Готье-Виллар.

[12] фон Нейман, J. (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Springer.

[Bohm1952a-13] а б Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах скрытых переменных, I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..166B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.166 .

[Bohm1952b-14] Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах скрытых переменных, II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Полномочный код : 1952PhRv ... 85..180B . DOI : 10.1103 / PhysRev.85.180 .

[15] Перейти ↑ Bell, JS (1987). Разговорчивый и невыразимый в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521334952.

[16] Wolchover, Натали (11 октября 2018). «Знаменитый эксперимент обрекает себя на альтернативу квантовым странностям» . Журнал Quanta . Проверено 17 октября 2018 года . Капли масла, управляемые «пилотными волнами», не смогли воспроизвести результаты квантового эксперимента с двумя щелями.

[17] Харрис, Дэниел М .; Буш, Джон WM (2013). «Пилотно-волновая динамика шагающих капель» (PDF) . Физика жидкостей . 25 (9): 091112–091112–2. Bibcode : 2013PhFl ... 25i1112H . DOI : 10.1063 / 1.4820128 . hdl : 1721,1 / 92913 . Архивировано из оригинального (PDF) 27 ноября 2016 года . Проверено 27 ноября 2016 года .

[bell-1992-18] Белл, Дж. С. (1992). Шесть возможных миров квантовой механики . Основы физики (Дипломная работа). 22 . С. 1201–1215. Bibcode : 1992FoPh ... 22.1201B . DOI : 10.1007 / BF01889711 .

[hawe-2004-19] Westman, Hans (29 октября 2004). Разделы основ квантовой теории и теории относительности (PhD). Гетеборгский университет. ЛВП : 2077/16325 .

[20] Towler, M. (10 февраля 2009). "Теория волны-пилота Де Бройля-Бома и основы квантовой механики" . Кембриджский университет . Проверено 3 июля 2014 года .

[21] Харди, Л. (1992). «О существовании пустых волн в квантовой теории». Физика Буквы A . 167 (1): 11–16. Bibcode : 1992PhLA..167 ... 11H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (92) 90618-V .

[Selleri-22] Selleri, F .; Ван дер Мерве, А. (1990). Квантовые парадоксы и физическая реальность . Kluwer Academic Publishers. С. 85–86. ISBN 978-0-7923-0253-7.

[23] Zukowski, М. (1993). « « О существовании пустых волн в квантовой теории »: комментарий». Физика Буквы A . 175 (3–4): 257–258. Bibcode : 1993PhLA..175..257Z . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (93) 90837-P .

[24] Це, HD (1999). «Почему квантовая теория Бома?». Основы физики . 12 (2): 197–200. arXiv : квант-ph / 9812059 . Bibcode : 1999FoPhL..12..197Z . DOI : 10,1023 / A: 1021669308832 .

[25] Вайдман, Л. (2005). «Реальность в бомовской квантовой механике или можно ли убить пустой волновой пулей?». Основы физики . 35 (2): 299–312. arXiv : квант-ph / 0312227 . Bibcode : 2005FoPh ... 35..299V . DOI : 10.1007 / s10701-004-1945-2 .

[1]