Плоская кривая

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике плоская кривая - это кривая на плоскости, которая может быть евклидовой плоскостью , аффинной плоскостью или проективной плоскостью . Наиболее часто изучаемые случаи - гладкие плоские кривые (включая кусочно гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые . Плоские кривые также включают жордановы кривые (кривые, которые охватывают часть плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций .

Символическое представление [ править ]

Плоской кривой часто может быть представлена в декартовой системе координат с помощью неявного уравнения вида для некоторой функции конкретных F . Если это уравнение может быть решено явно для y или x, то есть переписано как или для конкретной функции g или h, то это обеспечивает альтернативную, явную форму представления. Плоская кривая также часто может быть представлена ​​в декартовых координатах параметрическим уравнением вида для конкретных функций и${\ displaystyle f (x, y) = 0}$${\ Displaystyle у = г (х)}$${\ Displaystyle х = час (у)}$${\ Displaystyle (х, у) = (х (т), у (т))}$${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle y (t).}$

Плоские кривые иногда также могут быть представлены в альтернативных системах координат , таких как полярные координаты, которые выражают положение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.

Гладкая кривая плоскости [ править ]

Гладкая плоская кривая представляет собой кривую в реальном евклидовой плоскости R ² и представляет собой одномерное гладкое многообразие . Это означает, что гладкая плоская кривая - это плоская кривая, которая «локально выглядит как линия » в том смысле, что около каждой точки она может быть отображена на линию с помощью гладкой функции . Эквивалентно гладкая плоская кривая может быть задана локально уравнением f ( x , y ) = 0 , где f  : R ² → R - гладкая функция , а частные производные ∂ f / ∂x и ∂ f / ∂ y никогда не равны 0 в точке кривой.

Кривая алгебраической плоскости [ править ]

Алгебраическая кривая плоская кривая в аффинной или проективной плоскости , заданной одной полиномиальное уравнение F ( х , у ) = 0 (или F ( х , у , г ) = 0 , где Р представляет собой однородный многочлен , в проективном случае .)

Алгебраические кривые широко изучаются с 18 века.

Каждая алгебраическая плоская кривая имеет степень, степень определяющего уравнения, которая в случае алгебраически замкнутого поля равна числу пересечений кривой с линией общего положения . Например, круг, заданный уравнением x ² + y ² = 1, имеет степень 2.

В несингулярном плоских алгебраических кривых степени 2 называются коническими сечениями , и их проективное пополнение все изоморфно проективному завершение окружности х ² + у ² = 1 (то есть проективные кривая уравнения х ² + у ² - z ² = 0 ). Плоские кривые степени 3 называются плоскими кубическими кривыми и, если они неособые, эллиптическими кривыми . Кривые степени 4 называются плоскими кривыми четвертой степени .

Примеры [ править ]

Многочисленные примеры плоских кривых показаны в Галерее кривых и перечислены в Списке кривых . Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):

Имя	Неявное уравнение	Параметрическое уравнение	Как функция	график
Прямая линия	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
Круг	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
Парабола	${\displaystyle y-x^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2})}$	${\displaystyle y=x^{2}}$
Эллипс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
Гипербола	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$

См. Также [ править ]

• Дифференциальная геометрия
• Алгебраическая геометрия
• Кривая Осгуда
• Аппроксимация кривой плоскости
• Проективные многообразия

Ссылки [ править ]

• Кулидж, Дж. Л. (28 апреля 2004 г.), Трактат об алгебраических плоских кривых , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Справочник по кривым и их свойствам , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Довер, ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Плоская кривая" . MathWorld .