Pons asinorum

Pons asinorum в издании Бирна Элементов показывает часть доказательства Евклида.

В геометрии , утверждение о том , что углы противоположных равных сторон равнобедренного треугольник сами равняться известен как Pons asinorum ( латыни :  [Pos asɪnoːrũː] , английский язык: / р ɒ п г ˌ æ с ɪ п ɔːr ə м / PONZ ass-i- NOR -əm ), обычно переводится как «мост ослов ». Это утверждение является предложением 5 книги 1 в « Элементах Евклида »., и также известна как теорема о равнобедренном треугольнике . Его обратное также верно: если два угла одного треугольника равны, то стороны напротив них также равны. Этот термин также применяется к теореме Пифагора . ^[1]

Название этого утверждения также используется метафорически для обозначения проблемы или вызова, которые отделяют уверенный разум от простого, стремительного мыслителя от медлительного, решительного от более медлительного, чтобы представить критический тест на способности или понимание. Его первое известное использование было в 1645 году. ^[2]

Доказательства [ править ]

Доказательство Прокла

Книга 1 Евклида, предложение 5; Pons asinorum

Евклид и Прокл [ править ]

Утверждение Евклида о pons asinorum включает второй вывод о том, что если равные стороны треугольника продолжаются ниже основания, то углы между расширениями и основанием также равны. Доказательство Евклида включает в себя дополнительные линии этих расширений. Но, как указывает комментатор Евклида Прокл , Евклид никогда не использует второй вывод, и его доказательство можно несколько упростить, вместо этого проведя вспомогательные линии к сторонам треугольника, а остальная часть доказательства проходит более или менее таким же образом.

Было много предположений и споров о том, почему Евклид добавил к теореме второй вывод, учитывая, что это усложняет доказательство. Одно правдоподобное объяснение, данное Проклом, состоит в том, что второй вывод может использоваться в возможных возражениях против доказательств более поздних утверждений, где Евклид не охватывает все случаи. ^[3] Доказательство в значительной степени опирается на то, что сегодня называют стороной-углом-стороной , предыдущее предложение в Элементах .

Вариант доказательства Евклида Прокл состоит в следующем: ^[4]

Пусть ABC - равнобедренный треугольник , стороны которого равны AB и AC . Выберите произвольную точку D на стороне AB и постройте E на AC так, чтобы AD  =  AE . Проведите линии BE , DC и DE .

Рассмотрим треугольники BAE и CAD ; BA  =  CA , AE  =  AD и равняется самому себе, поэтому при выборе стороны-угла-стороны треугольники совпадают, а соответствующие стороны и углы равны.${\ displaystyle \ angle A}$

Следовательно, и , и BE  =  CD .${\ Displaystyle \ угол ABE = \ угол ACD}$${\ Displaystyle \ угол АЦП = \ угол AEB}$

Поскольку AB  =  AC и AD  =  AE , BD  =  CE путем вычитания равных частей.

Теперь рассмотрим треугольники DBE и ECD ; BD  =  CE , BE  =  CD , и были только что показаны, поэтому, снова применяя сторону-угол-сторону, треугольники конгруэнтны.${\ displaystyle \ angle DBE = \ angle ECD}$

Поэтому и .${\ displaystyle \ angle BDE = \ angle CED}$${\ displaystyle \ angle BED = \ angle CDE}$

Поскольку и , вычитанием равных частей.${\ displaystyle \ angle BDE = \ angle CED}$${\ displaystyle \ angle CDE = \ angle КРОВАТЬ}$${\ Displaystyle \ угол BDC = \ угол CEB}$

Рассмотрим третью пару треугольников, BDC и CEB ; DB  =  EC , DC  =  EB , и , таким образом, применяя сторону-угол-сторону в третий раз, треугольники совпадают.${\ Displaystyle \ угол BDC = \ угол CEB}$

В частности, угол CBD  =  BCE , который требовал доказательства.

Папп [ править ]

Прокл дает гораздо более короткое доказательство, приписываемое Паппу Александрийскому . Это не только проще, но и не требует дополнительных конструкций. Метод доказательства состоит в том, чтобы нанести треугольник и его зеркальное отображение под углом. Более современные авторы, подражая методу доказательства, данному для предыдущего предложения, описывают это как поднятие треугольника, его переворачивание и возложение на себя. ^[5] Этот метод высмеивает Чарльз Лютвидж Доджсон в своей книге « Евклид и современные соперники» , называя его « ирландским быком », потому что он явно требует, чтобы треугольник находился в двух местах одновременно. ^[6]

Доказательство выглядит следующим образом: ^[7]

Пусть ABC - равнобедренный треугольник , стороны которого равны AB и AC .

Рассмотрим треугольники ABC и ACB , где ACB считается вторым треугольником с вершинами A , C и B, соответствующими соответственно A , B и C в исходном треугольнике.

${\ displaystyle \ angle A}$равняется самому себе, AB  =  AC и AC  =  AB , поэтому треугольники ABC и ACB совпадают с точки зрения стороны-угла-стороны .

В частности, . ^[8]${\ Displaystyle \ угол В = \ угол С}$

Другое [ править ]

Стандартный метод Учебник для построения биссектрисы угла в A . ^[9] Это проще, чем доказательство Евклида, но Евклид не представляет конструкции биссектрисы угла до предложения 9. Таким образом, порядок представления предложений Евклида должен быть изменен, чтобы избежать возможности рассуждений по кругу.

Доказательство проводится следующим образом: ^[10]

Как и раньше, пусть это треугольник ABC с AB  =  AC .

Построить угол биссектрису и продлить его в соответствии с нашей эры на X .${\displaystyle \angle BAC}$

AB  =  AC и AX равно самому себе.

Кроме того, таким образом, применение стороны-угла-стороны, треугольник BAX и треугольник CAX конгруэнтны.${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$

Отсюда следует, что углы при B и C равны.

Лежандр использует аналогичную конструкцию в Éléments de géométrie , но принимает X за середину BC . ^[11] Доказательство аналогично, но сторона-сторона-сторона должна использоваться вместо стороны-угла-стороны, а сторона-сторона-сторона не приводится Евклидом до тех пор, пока не появится более поздняя часть « Элементов» .

Во внутренних пространствах продукта [ править ]

Теорема о равнобедренном треугольнике верна в пространствах внутреннего произведения над действительными или комплексными числами . В таких пространствах он принимает форму, которая говорит о векторах x , y и z, что если ^[12]

${\displaystyle x+y+z=0{\text{ and }}\|x\|=\|y\|,}$

тогда

${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

С

${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2},}$

и

${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta }$

где θ - угол между двумя векторами, заключение этой пространственной формы внутреннего продукта теоремы эквивалентно утверждению о равенстве углов.

Этимология и связанные с ней термины [ править ]

Другой средневековый термин для обозначения pons asinorum был Элефуга, что, по словам Роджера Бэкона , происходит от греческого elegia «страдание» и латинского fuga «бегство», то есть «бегство негодяев». Хотя эта этимология сомнительна, она перекликается с тем, что Чосер использует для обозначения теоремы термин «флеминг затонувших кораблей». ^[13]

Есть два возможных объяснения названия pons asinorum , самое простое из которых состоит в том, что использованная диаграмма напоминает настоящий мост. Но более популярное объяснение состоит в том, что это первая настоящая проверка в Элементах интеллекта читателя и функционирует как «мост» к более сложным предложениям, которые следуют. ^[14] Гаусс предположительно однажды поддержал аналогичную веру в необходимость немедленного понимания личности Эйлера в качестве ориентира для того, чтобы стать первоклассным математиком. ^[15]

Точно так же имя Дулькарнон было дано 47- му утверждению Книги I Евклида, более известному как теорема Пифагора , после арабского Dhū 'l qarnain ذُو ٱلْقَرْنَيْن, что означает «обладатель двух рогов», потому что диаграммы теоремы показывают два меньших квадрата, похожие на рожки, вверху рисунка. Этот термин также используется как метафора для дилеммы. ^[13] Теорема также иногда называлась «Ветряная мельница» по тем же причинам. ^[16]

Метафорическое употребление [ править ]

Использование pons asinorum в качестве метафоры включает:

• Филобиблон Ричарда Аунгервилля содержит отрывок «Quot Euclidis dispulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum Suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est its sermo; quis potest eum audire?», В котором теорема сравнивается с крутой скалой? что никакая лестница не может помочь в масштабировании, и спрашивает, сколько потенциальных геометров отвергли. ^[13]
• Термин pons asinorum , как мост, так и тест, используется как метафора для нахождения среднего термина силлогизма . ^[13]
• Поэт 18-го века Томас Кэмпбелл написал юмористическое стихотворение под названием «Pons asinorum», в котором класс геометрии оспаривает теорему, как рота солдат может атаковать крепость; битва не обошлась без потерь. ^[17]
• Экономист Джон Стюарт Милль назвал Рикардо Закон аренды в PONS asinorum экономики. ^[18]
• Pons Asinorum этого название конкретной конфигурации ^[19] о наличии Кубика Рубика .
• Эрик Реймонд назвал проблему синтаксически значимых пробелов в языке программирования Python своим pons asinorum. ^[20]
• Финский aasinsilta и шведский åsnebrygga это литературный прием , где разреженная, даже ухитрилась связь между двумя аргументами или тем, что почти , но не совсем нелогичным заключением , используются в качестве неловкого перехода между ними. ^[21] В серьезном тексте это считается стилистической ошибкой, поскольку принадлежит собственно потоку сознания - или причинастиль письма. Типичные примеры: завершение раздела рассказом о том, о чем идет речь в следующем разделе, без необходимости объяснять, почему темы связаны, расширение случайного упоминания до подробного рассмотрения или обнаружение надуманной связи между темами (например, «Мы купили красного вина ; если говорить о красных жидкостях, завтра Всемирный день донора крови »).
• В голландском , ezelsbruggetje ( «маленький мост ослов») является слово для мнемоника . То же самое и с немецким Eselsbrücke .
• В Чехии , oslí Můstek имеет два значения - он может описать либо надуманную связь между двумя темами или мнемоническими.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Поищите pons asinorum в Викисловаре, бесплатном словаре.

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье: Предложение 5 элементов Евклида

• Pons asinorum в PlanetMath .
• Презентация Д. Джойса Элементов Евклида