Спектральная плотность

Спектральная плотность флуоресцентного света как функция длины оптической волны показывает пики при атомных переходах, обозначенные пронумерованными стрелками.

Форма звуковой волны с течением времени (слева) имеет широкий спектр мощности звука (справа).

Спектр мощности из временного ряда описывает распределение мощности в частотные компоненты , составляющих этот сигнал. ^[1] Согласно анализу Фурье , любой физический сигнал можно разложить на несколько дискретных частот или на спектр частот в непрерывном диапазоне. Среднее статистическое значение определенного сигнала или типа сигнала (включая шум ), проанализированное с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром .${\ Displaystyle S_ {хх} (е)}$ ${\ Displaystyle х (т)}$

Когда энергия сигнала сосредоточена вокруг конечного временного интервала, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени или за достаточно большой период времени (особенно в отношении продолжительности измерения), который также мог бы быть превышен. бесконечный временной интервал. Спектральная плотность мощности (СПМ) тогда относится к спектральному распределению энергии, которое может быть найдено в единицу времени, поскольку полная энергия такого сигнала за все время, как правило, будет бесконечной. Суммированиеили интегрирование спектральных компонентов дает полную мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную тому, что было бы получено путем интегрирования во временной области, как продиктовано теоремой Парсеваля . ^[2]${\ Displaystyle х ^ {2} (т)}$

Спектр физического процесса часто содержит важную информацию о природе . Например, высота и тембр музыкального инструмента сразу же определяются с помощью спектрального анализа. Цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны , как она колеблется в чрезвычайно высокой частоте. Получение спектра из таких временных рядов включает преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область специально не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе.${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E (t)}$или когда звук воспринимается через его воздействие на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых чувствителен к определенной частоте.

Однако в этой статье основное внимание уделяется ситуациям, в которых временные ряды известны (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измерены (например, с помощью микрофона, производимого компьютером). Спектр мощности важен для статистической обработки сигналов и статистического исследования случайных процессов , а также во многих других областях физики и техники . Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, разлагаемые с точки зрения пространственной частоты . ^[3]

Объяснение [ править ]

Любой сигнал, который можно представить как переменную, изменяющуюся во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Сюда входят знакомые объекты, такие как видимый свет (воспринимаемый как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаемые как высота звука ), радио / телевидение (определяемое их частотой или иногда длиной волны ) и даже регулярное вращение Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, выявляются определенные аспекты принимаемых сигналов или лежащие в основе процессы, их производящие. В некоторых случаях частотный спектр может включать отчетливый пик, соответствующий синусоидальной составляющей. И дополнительно могут быть пики, соответствующие гармоникамосновного пика, указывающего на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усиливаются в соответствии с резонансами, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как это может быть произведено режектором .

В физике сигнал может быть волной, такой как электромагнитная волна , акустическая волна или вибрация механизма. Мощности спектральной плотности (PSD) сигнала описывает мощности в сигнале в зависимости от частоты, на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в ваттах на герц (Вт / Гц). ^[4]

Когда сигнал определяется только с точки зрения напряжения , например, нет уникальной мощности, связанной с заявленной амплитудой. В этом случае «мощность» просто рассчитывается в единицах квадрата сигнала, так как он всегда будет пропорционален фактической мощности, передаваемой этим сигналом при заданном импедансе . Таким образом, можно использовать единицы V ²  Гц ^-1 для PSD и V ²  с Гц ^-1 для ESD ( спектральная плотность энергии ) ^[5], даже если фактическая «мощность» или «энергия» не указаны.

Иногда можно встретить амплитудную спектральную плотность (ASD), которая является квадратным корнем из PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц ^-1/2 . ^[6] Это полезно, когда форма спектра довольно постоянна, поскольку изменения в ASD будут пропорциональны изменениям самого уровня напряжения сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой будет значимой с точки зрения фактической мощности на всей частоте или в указанной полосе пропускания.

В общем случае единицы PSD будут отношением единиц дисперсии на единицу частоты; так, например, ряд значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах м ² / Гц. Для анализа случайных вибраций для PSD ускорения часто используются единицы g ²  Гц ^-1 . Здесь g обозначает g-силу . ^[7]

Математически нет необходимости назначать физические размеры сигналу или независимой переменной. В последующем обсуждении значение x (t) останется неопределенным, но предполагается, что независимой переменной является время.

Определение [ править ]

Спектральная плотность энергии[ редактировать ]

Спектральная плотность энергии описывает, как энергия сигнала или временного ряда распределяется по частоте. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигналов; ^[8] , то есть энергия сигнала является :${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle х (т)}$

${\ Displaystyle E \ треугольникq \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \ dt.}$

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть импульсных сигналов, имеющих конечную общую энергию. Конечно или нет, теорема Парсеваля ^[9] (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала :

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {x} } (е) | ^ {2} \ df,}$

где :

${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$

это значение преобразования Фурье по меньшей частоте (в Гц). Теорема верна и для случаев дискретного времени. Поскольку интеграл в правой части представляет собой энергию сигнала, подынтегральное выражение можно интерпретировать как функцию плотности, описывающую энергию, содержащуюся в сигнале на частоте . Таким образом, в спектральной плотности энергии из определяется как : ^[9]${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x(t)}$

Функции и автокорреляции в форме преобразования Фурье пары, результат известен как теорема Винера-Хинчина . (также см. Периодограмму )${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle x(t)}$

В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим, что представляет собой потенциал (в вольтах ) электрического импульса, распространяющегося вдоль линии передачи с полным сопротивлением , и предположим, что линия заканчивается согласованным резистором (так что вся энергия импульса поступает на резистор, и никакая энергия не отражается обратно). По закону Ома мощность, подаваемая на резистор за время , равна , поэтому полная энергия определяется интегрированием по времени по длительности импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии на частоте${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle f}$, можно было бы вставить между линией передачи и резистором полосовой фильтр, который пропускает только узкий диапазон частот ( скажем) около интересующей частоты, а затем измерять полную энергию, рассеиваемую на резисторе. Значение энергии спектральной плотности на затем оцениваются . В этом примере, поскольку мощность имеет единицы V ² Ом ^-1 , энергия имеет единицы V ²  s Ом ^-1  = Дж, и, следовательно, оценка спектральной плотности энергии имеет единицы Дж Гц ^-1 , как требуется. Во многих ситуациях обычно пропускают этап деления на${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle Z}$так что спектральная плотность энергии вместо этого имеет единицы V ²  Гц ^-1 .

Это определение прямо обобщается на дискретный сигнал с бесконечным числом значений, например сигнал, дискретизируемый в дискретные моменты времени :${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}=x(n\Delta t)}$

${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\Delta t}\right|^{2}} _{|{\hat {x}}_{d}(f)|^{2}},}$

где является дискретным время преобразования Фурье от   интервала дискретизации необходимо , чтобы держать правильные физические единицы и для того , чтобы мы восстановить непрерывный случай в пределе   Но в математических науках интервал часто устанавливаются в 1, что упрощает результаты в за счет общности. (также см. Нормализованная частота )${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$${\displaystyle x_{n}.}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

Спектральная плотность мощности [ править ]

Приведенное выше определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых сосредоточена вокруг одного временного окна; тогда обычно существуют преобразования Фурье сигналов. Для непрерывных сигналов в течение всего времени необходимо скорее определить спектральную плотность мощности (PSD), которая существует для стационарных процессов ; это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть реальной физической мощностью или, чаще, для удобства с абстрактными сигналами, просто отождествляется с квадратом значения сигнала. Например, статистики изучают изменение функции во времени.${\displaystyle x(t)}$(или над другой независимой переменной), и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), его принято называть спектром мощности, даже если физическая мощность не задействована. Если создать физический источник напряжения, который следует за ним, и приложить его к клеммам резистора 1 Ом , то действительно мгновенная мощность, рассеиваемая в этом резисторе, будет выражена в ваттах .${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)^{2}}$

Таким образом, средняя мощность сигнала за все время определяется следующим усреднением по времени, где период сосредоточен вокруг некоторого произвольного времени :${\displaystyle P}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=t_{0}}$

${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}|x(t)|^{2}\,dt}$

Однако, чтобы иметь дело с приведенными ниже математическими выкладками, удобнее иметь дело с ограничениями по времени в самом сигнале, а не с ограничениями по времени в границах интеграла. Таким образом, у нас есть альтернативное представление средней мощности, где и равно единице в пределах произвольного периода и нулю в другом месте.${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$${\displaystyle w_{T}(t)}$

${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}\,dt}$

Ясно, что в тех случаях, когда приведенное выше выражение для P не равно нулю (даже если T неограниченно растет), сам интеграл также должен неограниченно расти. Это причина того, что в таких случаях мы не можем использовать саму спектральную плотность энергии, которая является этим расходящимся интегралом.

При анализе частотного содержания сигнала можно вычислить обычное преобразование Фурье ; однако для многих представляющих интерес сигналов преобразование Фурье формально не существует. ^{[N 1]} Тем не менее, теорема Парсеваля говорит нам, что мы можем переписать среднюю степень следующим образом.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$

${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$

Тогда спектральная плотность мощности просто определяется как подынтегральное выражение выше. ^{[11] [12]}

Отсюда, можно также просмотреть , как преобразование Фурье от времени свертки от и${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$${\displaystyle x_{T}(t)}$

${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\mathbf {*} x_{T}(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau }$

Теперь, если мы разделим приведенную выше свертку времени на период и возьмем предел как , он станет автокорреляционной функцией сигнала без окон , который обозначается как , при условии, что он является эргодическим , что верно для большинства, но не для всех, практические кейсы. ^[13] .${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

Отсюда мы видим, снова предполагая эргодичность , что спектральная плотность мощности может быть найдена как преобразование Фурье автокорреляционной функции ( теорема Винера – Хинчина ).${\displaystyle x(t)}$

Многие авторы используют это равенство для определения спектральной плотности мощности. ^[14]

Мощность сигнала в заданной полосе частот , где , может быть вычислена путем интегрирования по частоте. Так как равное количество мощности может быть отнесено к положительным и отрицательным частотным диапазонам, что составляет коэффициент 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений):${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$

${\displaystyle P_{\mathsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$

В более общем смысле, аналогичные методы могут использоваться для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае временной интервал конечен, а не приближается к бесконечности. Это приводит к уменьшению спектрального охвата и разрешения, поскольку частоты меньше, чем не дискретизируются, и результаты на частотах, которые не являются целыми кратными , не являются независимыми. Просто используя один такой временной ряд, оцененный спектр мощности будет очень "шумным"; однако это можно уменьшить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении), используя большое (или бесконечное) количество краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамблям реализаций, оцененных в течение указанного временного окна.${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle x(t)}$

Как и в случае со спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности можно обобщить на дискретные временные переменные . Как и раньше, мы можем рассматривать окно с дискретизацией сигнала в дискретные моменты времени в течение всего периода измерения .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle -N\leq n\leq N}$${\displaystyle x_{n}=x(n\Delta t)}$${\displaystyle T=(2N+1)\Delta t}$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\Delta t}\right|^{2}}$

Обратите внимание, что единую оценку PSD можно получить с помощью конечного числа выборок. Как и раньше, фактическая PSD достигается, когда (и, таким образом ) приближается к бесконечности и формально применяется ожидаемое значение. В реальном приложении обычно можно усреднить PSD конечного измерения по множеству испытаний, чтобы получить более точную оценку теоретической PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Эту вычисленную PSD иногда называют периодограммой . Эта периодограмма сходится к истинной PSD, когда количество оценок, а также интервал времени усреднения приближаются к бесконечности (Brown & Hwang). ^[15]${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Если два сигнала обладают спектральной плотностью мощности, то перекрестная спектральная плотность может быть рассчитана аналогичным образом; как PSD связана с автокорреляцией, так и кросс-спектральная плотность связана с кросс-корреляцией .

Свойства спектральной плотности мощности [ править ]

Некоторые свойства PSD включают: ^[16]

• Спектр мощности всегда реален и неотрицательный, а спектр реального процесса оцениваются также четная функция частоты: .${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
• Для непрерывного случайного процесса x (t) автокорреляционная функция R _xx (t) может быть восстановлена ​​по ее спектру мощности S _xx (f) с помощью обратного преобразования Фурье
• Используя теорему Парсеваля , можно вычислить дисперсию (среднюю мощность) процесса путем интегрирования спектра мощности по всей частоте:

${\displaystyle P={\text{Var}}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df}$

• Для реального процесса x (t) со спектральной плотностью мощности можно вычислить интегрированный спектр или спектральное распределение мощности , которое задает среднюю ограниченную по полосе мощность, содержащуюся в частотах от DC до f, используя: ^[17]${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle F(f)}$

${\displaystyle F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.}$

Обратите внимание, что предыдущее выражение для полной мощности (дисперсии сигнала) является частным случаем, когда f → ∞.

Перекрестная спектральная плотность мощности [ редактировать ]

Имея два сигнала и , каждый из которых обладает спектральными плотностями мощности и , можно определить перекрестную спектральную плотность мощности ( CPSD ) или перекрестную спектральную плотность ( CSD ). Для начала рассмотрим среднюю мощность такого комбинированного сигнала.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$

${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt}$

Используя те же обозначения и методы, которые использовались для вывода спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсеваля и получаем

${\displaystyle S_{xy}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]\ \ \ \ \ \ \ S_{yx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]}$

где, опять же, вклад и уже понятен. Обратите внимание, что , таким образом, полный вклад в перекрестную мощность, как правило, составляет удвоенную реальную часть каждого отдельного CPSD . Как и раньше, отсюда мы преобразовываем эти продукты в преобразование Фурье временной свертки, которое при делении на период и доведении до предела становится преобразованием Фурье функции взаимной корреляции . ^[18]${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$${\displaystyle T\to \infty }$

${\displaystyle S_{xy}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )\mathbf {*} y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

${\displaystyle S_{yx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )\mathbf {*} x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

где это кросс-корреляции из с и является кросс-корреляции из с . В свете этого PSD рассматривается как частный случай CSD для . Для случая, когда и являются сигналами напряжения или тока, соответствующие им амплитудные спектральные плотности и являются строго положительными по соглашению. Следовательно, при типичной обработке сигналов полный CPSD - это всего лишь один из CPSD, масштабированных в два раза.${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$

${\displaystyle CPSD_{Full}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$

Для дискретных сигналов x _n и y _n соотношение между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариацией равно

${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\Delta \tau }$

Оценка [ править ]

Целью оценки спектральной плотности является оценка спектральной плотности случайного сигнала из последовательности временных отсчетов. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрические или непараметрические подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, общий параметрический метод включает подгонку наблюдений к авторегрессионной модели . Распространенным непараметрическим методом является периодограмма .

Спектральная плотность обычно оценивается с использованием методов преобразования Фурье (таких как метод Велча ), но также могут использоваться другие методы, такие как метод максимальной энтропии .

Понятия, связанные с данным [ править ]

• Спектральный центроид сигнала является серединой его спектральной функции плотности, т.е. частоты , которая делит распределение на две равные части.
• Спектральная частота края сигнала является продолжением предыдущей концепции в любой пропорции , а не две равные части.
• Спектральная плотность - это функция частоты, а не времени. Однако спектральная плотность малых окон более длинного сигнала может быть вычислена и нанесена на график в зависимости от времени, связанного с окном. Такой граф называется спектрограммой . Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты .
• «Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отображает распределение содержания сигнала по частоте. Это не следует путать с частотной характеристикой в виде передаточной функции , которая также включает в себя этап (или , что эквивалентно, реальную и мнимую часть в зависимости от частоты). Для передаточных функций (например, график Боде , щебетание ) полная частотная характеристика может быть представлена ​​в виде графика в виде двух частей: амплитуда в зависимости от частоты и фаза в зависимости от частоты (или, реже, как действительная и мнимая части передаточной функции). Импульсная характеристика (во временной области)${\displaystyle h(t)}$, как правило, нельзя однозначно восстановить только по амплитудной части спектральной плотности без фазовой функции. Хотя это также пары преобразования Фурье, нет симметрии (как есть для автокорреляции), заставляющей преобразование Фурье быть действительным. См. Спектральный фазовый и фазовый шум .

Приложения [ править ]

Электротехника [ править ]

Концепция и использование спектра мощности сигнала является фундаментальным в электротехнике , особенно в системах электронной связи , включая радиосвязь , радары и связанные с ними системы, а также технологию пассивного дистанционного зондирования . Электронные инструменты, называемые анализаторами спектра , используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно рассматривать как стационарный процесс, STFT является хорошей сглаженной оценкой его спектральной плотности мощности.

Космология [ править ]

Первичные флуктуации , вариации плотности в ранней Вселенной, количественно оцениваются спектром мощности, который дает мощность вариаций как функцию пространственного масштаба.

См. Также [ править ]

• Спектральная плотность шума
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная эффективность
• Спектральное распределение мощности
• Температура яркости
• Цвета шума
• Спектральная утечка
• Оконная функция
• Биспектр
• Малая вероятность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Скрипты Matlab Power Spectral Density