В дифференциальной геометрии , A проективное соединение представляет собой тип связности Картана на дифференцируемом многообразии .
Структура проективной связности моделируется на геометрии проективного пространства , а не на аффинном пространстве, соответствующем аффинной связности . Подобно аффинным связям, проективные связи также определяют геодезические . Однако эти геодезические не параметризованы аффинно . Скорее они проективно параметризованы, что означает, что их предпочтительный класс параметризации обрабатывается группой дробно-линейных преобразований .
Подобно аффинной связности, проективные связности связаны кручением и кривизной.
Проективное пространство как геометрия модели
Первым шагом в определении любой связности Картана является рассмотрение плоского случая: в котором связность соответствует форме Маурера-Картана на однородном пространстве .
В проективной ситуации лежащее в основе многообразие M однородного пространства является проективным пространством RP n, которое мы будем представлять однородными координатами [ x 0 , ..., x n ]. Группа симметрии M - это G = PSL ( n +1, R ). [1] Пусть H - группа изотропии точки [1,0,0, ..., 0]. Таким образом, M = G / H представляет M как однородное пространство.
Позволять - алгебра Ли группы G ичто из Н . Обратите внимание, что. В качестве матриц относительно однородной основы ,состоит из бесследных ( n +1) × ( n +1) матриц:
- .
А также состоит из всех этих матриц с ( w j ) = 0. По сравнению с матричным представлением, приведенным выше, форма Маурера-Картана группы G представляет собой систему 1-форм (ζ, α j , α j i , α i ), удовлетворяющих структурной уравнения [2]
- d ζ + ∑ i α i ∧α i = 0
- d α j + α j ζ + ∑ k α j k ∧α k = 0
- d α j i + α i ∧α j + ∑ k α k i ∧α j k = 0
- d α i + ζ∧α i + ∑ k α k ∧α k i = 0 [3]
Проективные структуры на многообразиях
Проективная структура - это линейная геометрия на многообразии, в которой две близлежащие точки соединены линией (т. Е. Непараметризованной геодезической ) единственным образом. Кроме того, бесконечно малая окрестность каждой точки снабжена классом проективных реперов . Согласно Картану (1924),
- Une varété (ou espace) à connexion projective est une varété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul les espace projecits morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ...
- Analytiquement, на choisira, сГипе manière d'Ailleurs arbitraire, данс l'Espace projectif Атташе à Chaque точка де - ла - варьете, ип repére définissant ип système де coordonnées проективных. ... Le raccord entre les espaces projectifs attés à deux points infiniment voisins и et a ' se traduira analytiquement par une homographique трансформации. ... [4]
Это аналогично понятию Картана об аффинной связи , в которой близлежащие точки, таким образом, связаны и имеют аффинную систему отсчета, которая переносится от одной к другой (Картан, 1923):
- Разнообразные сыворотки dite à "аффинная связь" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs Arbitreire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attates à deux points infiniment voisins quelconques m et m ' de la varété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine atté au point m ' соответствует tel point de l'espace affine atté au point m , que tel vecteur du premier espace es parallèle or equipollent à tel vecteur du second espace. [5]
На современном языке проективная структура на n -многообразии M - это геометрия Картана, смоделированная на проективном пространстве, где последнее рассматривается как однородное пространство для PSL ( n +1, R ). Другими словами, это PSL ( n +1, R ) -бандл, снабженный
- PSL ( n +1, R ) -соединение ( соединение Картана )
- снижение структурной группы к стабилизатору точки в проективном пространстве
таким образом, что форма припоя, индуцированная этими данными, является изоморфизмом.
Заметки
- ^ Также можно использовать PGL ( n +1, R ), но PSL ( n +1, R ) более удобен, потому что он связан.
- ^ Подход Картана заключался в том, чтобы вывести структурные уравнения из условия сохранения объема на SL ( n +1), так что явная ссылка на алгебру Ли не требовалась.
- ^ Интересно, что это последнее уравнение полностью интегрируемо , что означает, что слои G → G / H могут быть определены с использованием только формы Маурера-Картана по теореме интегрирования Фробениуса .
- ^ Многообразие (или пространство) с проективной связью - это числовое многообразие, которое в непосредственной близости от каждой точки обладает всеми характерами проективного пространства и, кроме того, наделено законом, позволяющим соединить в едином проективном пространстве две небольшие области, которые окружают две бесконечно близкие точки. С аналитической точки зрения мы выбираем, в противном случае произвольно, систему отсчета, определяющую проективную систему отсчета в проективном пространстве, прикрепленную к каждой точке многообразия. .. Связь между проективными пространствами, прикрепленными к двум бесконечно близким точкам а и а ' , аналитически приведет к гомографическому (проективному) преобразованию. ..
- ^ Многообразие будет называться "аффинно связным", если определить, в противном случае произвольным образом, закон, позволяющий разместить аффинные пространства, присоединенные к двум произвольным бесконечно близким точкам m и m ' многообразия, в соответствии с друг с другом; этот закон позволит сказать, что конкретная точка аффинного пространства, присоединенная к точке m ', соответствует определенной точке аффинного пространства, присоединенной к точке m , таким образом, что вектор первого пространства параллелен или равнозначен соответствующему вектору второго пространства.
Рекомендации
- Картан, Эли (1923). "Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 40 : 325–412.
- Картан, Эли (1924). "Sur les varietes a connected projective" . Bulletin de la Société Mathématique . 52 : 205–241.
- Герман, Р., Приложение 1-3 в Картане, Э. Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, Массачусетс, 1983.
- Картана, Эли (1926), "Les Groupes d'holonomie де ESPACES обобщающий", Acta Mathematica , 48 (1-2): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02629755
- Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9.
Внешние ссылки
- Ü. Lumiste (2001) [1994], "Проективная связь" , Энциклопедия математики , EMS Press