В алгебраической геометрии схема Горенштейна — это локально нётерова схема , все локальные кольца которой являются горенштейновыми . [1] Каноническое линейное расслоение определено для любой схемы Горенштейна над полем , и его свойства почти такие же, как и в частном случае гладких схем .
Для схемы Горенштейна X конечного типа над полем f : X → Spec( k ) дуализирующий комплекс f ! ( k ) на X является линейным расслоением (называемым каноническим расслоением K X ), рассматриваемым как комплекс степени −dim( X ). [2] Если X является гладким над k размерности n , то каноническое расслоение K X можно отождествить с линейным расслоением Ωn высшей степенидифференциальные формы . [3]
Используя каноническое расслоение, двойственность Серра принимает ту же форму для схем Горенштейна, что и для гладких схем.
Пусть X — нормальная схема конечного типа над полем k . Тогда X регулярно вне замкнутого подмножества коразмерности не менее 2. Пусть U — открытое подмножество, где X регулярно; тогда каноническое расслоение K U является линейным расслоением. Ограничение группы классов дивизоров Cl( X ) на Cl( U ) является изоморфизмом, и (поскольку U гладкость) Cl( U ) можно отождествить с группой Пикара Pic( U ). В результате К Уопределяет класс линейной эквивалентности дивизоров Вейля на X . Любой такой дивизор называется каноническим дивизором K X . Для нормальной схемы X канонический дивизор K X называется Q-Картье , если некоторое положительное кратное дивизора Вейля K X является Картье . (Это свойство не зависит от выбора дивизора Вейля в его классе линейной эквивалентности.) Альтернативно, нормальные схемы X с K X Q -Картье иногда называют Q-горенштейновыми .
Полезно также рассмотреть нормальные схемы X , для которых канонический дивизор K X является Картье . Такую схему иногда называют Q-горенштейном индекса 1 . (Некоторые авторы используют «горенштейн» для этого свойства, но это может привести к путанице.) Нормальная схема X является горенштейновой (как определено выше) тогда и только тогда, когда K X является Картье, а X является Коэном-Маколеем . [4]