Квадратное уровненеие

	${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
Квадратичная формула для корней общего квадратного уравнения

В алгебре , А квадратное уравнение (от латинского Quadratus для « квадрата ») является любое уравнение , которое может быть перестроены в стандартной форме , как

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

где x представляет неизвестное , а a , b и c представляют известные числа, где a 0 . Если a = 0 , то уравнение линейное , а не квадратичное, так как нет члена. Числа a , b и c являются коэффициентами уравнения и могут быть выделены, называя их, соответственно, квадратичным коэффициентом , линейным коэффициентом и постоянным или свободным членом . ^[1]${\ displaystyle ax ^ {2}}$

Значения х , которые удовлетворяют уравнению называются решения уравнения, а корни или нули на выражение на его левой стороне. Квадратное уравнение имеет не более двух решений. Если нет реального решения, есть два сложных решения. Если есть только одно решение, говорят, что это двойной корень . Квадратное уравнение всегда имеет два корня, если включены комплексные корни и двойной корень считается за два. Квадратное уравнение можно разложить на эквивалентное уравнение

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (xr) (xs) = 0}$

где r и s - решения для x . Завершение квадрата квадратного уравнения в стандартной форме приводит к квадратной формуле , которая выражает решения через a , b и c . Решения проблем, которые можно выразить квадратными уравнениями, были известны еще в 2000 году до нашей эры.

Поскольку квадратное уравнение включает только одну неизвестную, оно называется « одномерным ». Квадратное уравнение содержит только полномочия по й , которые являются неотрицательными целыми числами, и поэтому он является полиномиальным уравнением . В частности, это полиномиальное уравнение второй степени , поскольку наибольшая степень равна двум.

Решение квадратного уравнения [ править ]

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет два решения, называемых корнями . Эти два решения могут быть, а могут и не быть разными, и они могут быть или не быть реальными.

Факторинг путем проверки [ править ]

Можно выразить квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 как произведение ( px + q ) ( rx + s ) = 0 . В некоторых случаях можно путем простой проверки определить значения p , q , r и s, которые делают две формы эквивалентными друг другу. Если квадратное уравнение записано во второй форме, то «Свойство нулевого фактора» утверждает, что квадратное уравнение удовлетворяется, если px + q = 0 или rx + s= 0 . Решение этих двух линейных уравнений дает корни квадратичной.

Для большинства студентов факторинг путем осмотра - это первый метод решения квадратных уравнений, с которым они сталкиваются. ^{[2] : 202–207} Если задано квадратное уравнение в виде x ² + bx + c = 0 , искомая факторизация имеет вид ( x + q ) ( x + s ) , и нужно найти два числа q и s, которые в сумме дают b , произведение которых равно c (это иногда называют «правилом Виета» ^[3] и связано с формулами Виета ). Например, x ² + 5 x + 6 множится как ( x + 3) ( x + 2) . Более общий случай, когда a не равно 1, может потребовать значительных усилий при поиске и проверке методом проб и ошибок, предполагая, что это вообще может быть учтено путем проверки.

За исключением особых случаев, таких как b = 0 или c = 0 , разложение на множители работает только для квадратных уравнений с рациональными корнями. Это означает, что подавляющее большинство квадратных уравнений, возникающих в практических приложениях, не может быть решено факторизацией путем проверки. ^{[2] : 207}

Завершение квадрата [ править ]

Процесс завершения квадрата использует алгебраическое тождество

${\ displaystyle x ^ {2} + 2hx + h ^ {2} = (x + h) ^ {2},}$

который представляет собой четко определенный алгоритм, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения. ^{[2] : 207} Начиная с квадратного уравнения в стандартной форме, ax ² + bx + c = 0

1. Разделить каждую сторону от , коэффициент квадрата срока.
2. Вычтите постоянный член c / a из обеих частей.
3. К обеим сторонам прибавьте квадрат, равный половине b / a , коэффициент при x . Это «завершает квадрат», превращая левую часть в идеальный квадрат.
4. Запишите левую часть в виде квадрата и при необходимости упростите правую.
5. Получите два линейных уравнения, приравняв квадратный корень из левой части к положительным и отрицательным квадратным корням из правой части.
6. Решите каждое из двух линейных уравнений.

Мы проиллюстрируем использование этого алгоритма, решив 2 x ² + 4 x - 4 = 0

${\ displaystyle 1) \ x ^ {2} + 2x-2 = 0}$

${\ displaystyle 2) \ x ^ {2} + 2x = 2}$

${\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}$

${\displaystyle 4)\ \left(x+1\right)^{2}=3}$

${\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}$

Знак плюс-минус «±» указывает, что и x = −1 + √ 3, и x = −1 - √ 3 являются решениями квадратного уравнения. ^[4]

Квадратичная формула и ее вывод [ править ]

Завершение квадрата может быть использовано для вывода общей формулы решения квадратных уравнений, называемой квадратной формулой. ^[5] математическое доказательство будет теперь кратко. ^[6] С помощью полиномиального разложения легко увидеть, что следующее уравнение эквивалентно квадратному уравнению:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

Взяв квадратный корень из обеих частей и изолировав x , получим:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Некоторые источники, особенно старые, используют альтернативные параметризации квадратного уравнения, такие как ax ² + 2 bx + c = 0 или ax ² - 2 bx + c = 0  , ^[7] где b имеет величину, составляющую половину более распространенной один, возможно, с противоположным знаком. Это приводит к несколько разным формам решения, но в остальном они эквивалентны.

В литературе можно найти ряд альтернативных выводов . Эти доказательства проще, чем стандартное завершение метода квадратов, представляют собой интересные приложения других часто используемых методов в алгебре или предлагают понимание других областей математики.

Менее известная квадратная формула, используемая в методе Мюллера, дает те же корни через уравнение

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

Это можно вывести из стандартной формулы квадратиков по формулам Виета , которые утверждают, что произведение корней равно c / a .

Одним из свойств этой формы является то, что она дает один действительный корень, когда a = 0 , в то время как другой корень содержит деление на ноль, потому что, когда a = 0 , квадратное уравнение становится линейным уравнением с одним корнем. Напротив, в этом случае более распространенная формула имеет деление на ноль для одного корня и неопределенную форму 0/0 для другого корня. С другой стороны, когда c = 0 , более общая формула дает два правильных корня, тогда как эта форма дает нулевой корень и неопределенную форму 0/0 .

Сокращенное квадратное уравнение [ править ]

Иногда бывает удобно сократить квадратное уравнение так, чтобы его старший коэффициент был равен единице. Это делается путем деления обеих сторон на a , что всегда возможно, поскольку a не равно нулю. Это дает сокращенное квадратное уравнение : ^[8]

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$

где p = b / a и q = c / a . Это моническое уравнение имеет те же решения, что и исходное.

Квадратичная формула для решений приведенного квадратного уравнения, записанная через его коэффициенты, имеет следующий вид:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),}$

или эквивалентно:

${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}$

Дискриминант [ править ]

В квадратной формуле выражение под знаком квадратного корня называется дискриминантом квадратного уравнения и часто представляется с использованием буквы D в верхнем регистре или греческой дельты в верхнем регистре : ^[9]

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$

Квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь один или два различных действительных корня или два различных комплексных корня. В этом случае дискриминант определяет количество и характер корней. Есть три случая:

• Если дискриминант положительный, то есть два различных корня

${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$

оба из которых являются действительными числами. Для квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, если дискриминант является квадратным числом , то корни рациональны - в других случаях они могут быть квадратичными иррациональными числами .

• Если дискриминант равен нулю, то существует ровно один действительный корень

${\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}$

иногда называют повторным или двойным корнем .

• Если дискриминант отрицательный, то настоящих корней нет. Скорее, есть два различных (не действительных) комплексных корня ^[10]

${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$

которые являются комплексно сопряженными друг другу. В этих выражениях i - мнимая единица .

Таким образом, корни различны тогда и только тогда, когда дискриминант не равен нулю, а корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.

Геометрическая интерпретация [ править ]

Функция f ( x ) = ax ² + bx + c является квадратичной функцией . ^[12] График любой квадратичной функции имеет одинаковую общую форму, которая называется параболой . Расположение и размер параболы, а также то, как она открывается, зависят от значений a , b и c . Как показано на рисунке 1, если a > 0 , парабола имеет точку минимума и открывается вверх. Если a <0, парабола имеет максимальную точку и открывается вниз. Крайняя точка параболы, будь то минимум или максимум, соответствует ее вершине . Х координату вершины будет расположено на , и у -координаты вершины можно найти, подставляя е -value в функцию. У -intercept находится в точке (0, гр ) .${\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}$

Решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 соответствуют корням функции f ( x ) = ax ² + bx + c , поскольку они являются значениями x, для которых f ( x ) = 0 . Как показано на рисунке 2, если a , b и c - действительные числа, а область определения f - это набор действительных чисел, то корни fв точности х - координаты точек , где график коснется й Оу. Как показано на рисунке 3, если дискриминант положительный, график касается оси x в двух точках; если ноль, график касается в одной точке; и если отрицательный, график не касается оси x .

Квадратичная факторизация [ править ]

Период, термин

${\displaystyle x-r}$

является множителем полинома

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

тогда и только тогда, когда r является корнем квадратного уравнения

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Из формулы корней квадратного уравнения следует, что

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}$

В частном случае b ² = 4 ac, где квадратичный имеет только один отличный корень ( т. Е. Дискриминант равен нулю), квадратичный многочлен может быть разложен на множители как

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}$

Графическое решение [ править ]

Решения квадратного уравнения

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

может быть выведено из графика в квадратичной функции

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$

которая является параболой .

Если парабола пересекает ось x в двух точках, есть два действительных корня , которые являются координатами x этих двух точек (также называемыми x -пересечением).

Если парабола касательная к й Оу, есть двойной корень, который является й координатой точки контакта между графом и параболой.

Если парабола не пересекает ось x , имеется два комплексно сопряженных корня. Хотя эти корни нельзя визуализировать на графике, их реальная и мнимая части могут быть. ^[13]

Пусть ч и к быть соответственно й координата и у координаты вершины параболы (то есть точка с максимальным или минимальной у -координаты. Квадратичная функция может быть переписана

${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}$

Пусть d есть расстояние между точкой у -координаты 2 к на оси параболы, и точку на параболе с одной и той же у -координаты (см фигуру, есть две такие точки, которые дают такое же расстояние, из-за симметрии параболы). Тогда действительная часть корней равна h , а их мнимая часть равна ± d . То есть корни

${\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad x-id,}$

или в случае примера рисунка

${\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}$

Как избежать потери значимости [ править ]

Хотя квадратная формула обеспечивает точное решение, результат не будет точным, если действительные числа аппроксимируются во время вычислений, как это обычно бывает в численном анализе , где действительные числа аппроксимируются числами с плавающей запятой (во многих языках программирования они называются « действительными» ). В этом контексте квадратичная формула не является полностью устойчивой .

Это происходит, когда корни имеют разный порядок величины или, что то же самое, когда b ² и b ² - 4 ac близки по величине. В этом случае вычитание двух почти равных чисел приведет к потере значимости или катастрофическому удалению меньшего корня. Чтобы избежать этого, корень, который меньше по величине, r , можно вычислить как где R - корень, который больше по величине.${\displaystyle (c/a)/R}$

Вторая форма сокращения может происходить между членами b ² и 4 ac дискриминанта, то есть когда два корня очень близки. Это может привести к потере до половины правильных значащих цифр в корнях. ^{[7] [14]}

Примеры и приложения [ править ]

Траектория прыжка с утеса параболическая, потому что горизонтальное смещение является линейной функцией времени , а вертикальное смещение - квадратичной функцией времени . В результате путь следует квадратному уравнению , где и - горизонтальная и вертикальная составляющие исходной скорости, a - ускорение свободного падения, а h - исходная высота. Значение a здесь следует считать отрицательным, так как его направление (вниз) противоположно измерению высоты (вверх).${\displaystyle x=v_{x}t}$${\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h}$${\displaystyle y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h}$${\displaystyle v_{x}}$${\displaystyle v_{y}}$

Золотое сечение обнаруживается в качестве положительного решения квадратного уравнения${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

Уравнения окружности и других конических сечений - эллипсов , парабол и гипербол - являются квадратными уравнениями с двумя переменными.

Учитывая косинус или синус угла, нахождение косинуса или синуса угла, который вдвое меньше, включает решение квадратного уравнения.

Процесс упрощения выражений, включающих квадратный корень из выражения, включающий квадратный корень из другого выражения, включает нахождение двух решений квадратного уравнения.

Теорема Декарта утверждает, что для каждых четырех целующихся (касающихся друг друга) кругов их радиусы удовлетворяют определенному квадратному уравнению.

Уравнение задается Fuß теоремы , что дает соотношение между радиусом в bicentric четырехугольник «ы вписанной окружности , радиус его окружности , а расстояние между центрами этих окружностей, может быть выраженно как квадратное уравнение , для которого расстояние между центрами двух окружностей в терминах их радиусов - одно из решений. Другое решение того же уравнения в терминах соответствующих радиусов дает расстояние между центром окружности и в центр вневписанной из с экс-тангенциальное четырехугольника .

История [ править ]

Вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры (изображенные на древневавилонских глиняных табличках ) могли решать задачи, связанные с областями и сторонами прямоугольников. Есть свидетельства того, что этот алгоритм датируется временами Третьей династии Ура . ^[15] В современных обозначениях проблемы обычно включали решение пары одновременных уравнений вида:

${\displaystyle x+y=p,\ \ xy=q,}$

что эквивалентно утверждению, что x и y являются корнями уравнения: ^{[16] : 86}

${\displaystyle z^{2}+q=pz.}$

Шаги, данные вавилонскими писцами для решения вышеупомянутой задачи о прямоугольнике в терминах x и y , были следующими:

1. Вычислить половину p .
2. Возведите результат в квадрат.
3. Вычтите q .
4. Найдите (положительный) квадратный корень, используя таблицу квадратов.
5. Сложите результаты шагов (1) и (4), чтобы получить x .

В современных обозначениях это означает вычисление , что эквивалентно современной квадратной формуле для большего действительного корня (если есть) с a = 1 , b = - p и c = q .${\displaystyle x=\left({\frac {p}{2}}\right)+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Геометрические методы использовались для решения квадратных уравнений в Вавилонии, Египте, Греции, Китае и Индии. Египетский берлинский папирус , восходящий к Среднему царству (2050 г. до н.э. - 1650 г. до н.э.), содержит решение двухчленного квадратного уравнения. ^[17] Вавилонские математики примерно 400 г. до н.э. и китайские математики примерно 200 г. до н.э. использовали геометрические методы рассечения для решения квадратных уравнений с положительными корнями. ^{[18] [19]} Правила для квадратных уравнений были даны в «Девяти главах по математике» , китайском трактате по математике. ^{[19] [20]}Эти ранние геометрические методы, похоже, не имели общей формулы. Евклид , греческий математик , создал более абстрактный геометрический метод около 300 г. до н.э. Используя чисто геометрический подход, Пифагор и Евклид создали общую процедуру поиска решений квадратного уравнения. В своей работе « Арифметика» греческий математик Диофант решил квадратное уравнение, но дал только один корень, даже если оба корня были положительными. ^[21]

В 628 н.э., Брахмагупт , Индийский математик , дал первое явное решение (хотя до сих пор не полностью вообще) квадратное уравнение ах ² + BX = C следующим образом : «К абсолютному числу , умноженному на четыре раза [коэффициент] квадрат, добавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же значения, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенное значение [коэффициента] квадрата ». ( Брахмаспхутасиддханта , перевод Колбрука , 1817, стр. 346) ^{[16] : 87} Это эквивалентно:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.}$

Бахшали Рукопись написана в Индии в 7 веке н.э. содержал алгебраическую формулу для решения квадратных уравнений, а также квадратичных неопределенных уравнений (первоначально типа топора / гр = у ^{[ осветления необходимо : это линейное, а не квадратичное ]} ). Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми ( Персия , 9 век), вдохновленный Брахмагуптой, ^{[ оригинальное исследование? ]}разработал набор формул, которые работают для положительных решений. Аль-Хорезми идет дальше в предоставлении полного решения общего квадратного уравнения, принимая один или два числовых ответа на каждое квадратное уравнение, обеспечивая при этом геометрические доказательства . ^[22] Он также описал метод завершения квадрата и признал, что дискриминант должен быть положительным, ^{[22] [23] : 230,} что было доказано его современником Абд аль-Хамидом ибн Тюрком (Средняя Азия, 9 век), который привели геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решения. ^{[23] : 234}Хотя сам аль-Хорезми не принимал отрицательных решений, более поздние исламские математики, которые его сменили, принимали отрицательные решения ^{[22] : 191,} а также иррациональные числа в качестве решений. ^[24] Абу Камил Шуджа ибн Аслам (Египет, 10 век), в частности, был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня , кубического корня или корня четвертой степени ) как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнении. . ^[25] Индийский математик 9 века Шридхара написал правила решения квадратных уравнений.^[26]

Еврейский математик Авраам бар Хийя Ха-Наси (XII век, Испания) является автором первой европейской книги, включающей полное решение общего квадратного уравнения. ^[27] Его решение было во многом основано на работе Аль-Хорезми. ^[22] Письмо китайского математика Ян Хуэй (1238-1298 н.э.) является первым известным, в котором появляются квадратные уравнения с отрицательными коэффициентами «х», хотя он приписывает это ранее Liu Yi . ^[28] К 1545 году Джероламо Кардано собрал работы, связанные с квадратными уравнениями. Квадратичная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Саймоном Стевином в 1594 году ^[29].В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометрию», содержащую квадратичную формулу в той форме, которая известна нам сегодня.

Расширенные темы [ править ]

Альтернативные методы вычисления корня [ править ]

Формулы Виета [ править ]

Формулы Виета дают простую связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Корни этого квадратного многочлена удовлетворяют условию${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}$

Эти результаты немедленно следуют из соотношения:

${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0,}$

которую можно почленно сравнить с

${\displaystyle x^{2}+(b/a)x+c/a=0.}$

Первая формула выше дает удобное выражение для построения графика квадратичной функции. Поскольку граф симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину , при наличии двух действительных корней x- координата вершины находится в среднем значении корней (или пересекает). Таким образом, координата x вершины задается выражением

${\displaystyle x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.}$

У координаты может быть получена путем подстановки выше результата в данном квадратное уравнение, что дает

${\displaystyle y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$

На практике формулы Виета представляют собой полезный метод нахождения корней квадратичного уравнения в случае, когда один корень намного меньше другого. Если | х  ₂ | << | х  ₁ | , то x  ₁ + x  ₂ ≈ x  ₁ , и имеем оценку:

${\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.}$

Вторая формула Виета дает:

${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.}$

Эти формулы намного легче вычислить, чем квадратную формулу при условии одного большого и одного малого корня, потому что квадратная формула оценивает малый корень как разность двух почти равных чисел (случай большого b ), что приводит к округлению -off ошибка числовой оценки. На рисунке 5 показана разница между (i) прямой оценкой с использованием квадратичной формулы (точной, когда корни близки друг к другу по значению) и (ii) оценкой, основанной на приведенной выше аппроксимации формул Виета (точной, когда корни широко разнесены. ). По мере увеличения линейного коэффициента b изначально квадратичная формула становится точной, а приближенная формула становится точнее, что приводит к меньшей разнице между методами, посколькуb увеличивается. Однако в какой-то момент квадратичная формула начинает терять точность из-за ошибки округления, а приближенный метод продолжает улучшаться. Следовательно, разница между методами начинает увеличиваться по мере того, как квадратная формула становится все хуже и хуже.

Эта ситуация обычно возникает в конструкции усилителя, где желательно широко разнесенные корни для обеспечения стабильной работы (см. Переходную характеристику ).

Тригонометрическое решение [ править ]

До появления калькуляторов люди использовали математические таблицы - списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами - для упрощения и ускорения вычислений. Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были обычным явлением в учебниках математики и естествознания. Были опубликованы специализированные таблицы для таких приложений, как астрономия, астрономическая навигация и статистика. Существовали методы числовой аппроксимации, называемые простаферезисом , которые позволяли сократить трудоемкие операции, такие как умножение и взятие степеней и корней. ^[30] Астрономов особенно интересовали методы, которые могли бы ускорить длинную серию вычислений, связанных с расчетами небесной механики .

Именно в этом контексте мы можем понять развитие средств решения квадратных уравнений с помощью тригонометрической подстановки. Рассмотрим следующую альтернативную форму квадратного уравнения:

[1]   ${\displaystyle ax^{2}+bx\pm c=0,}$

где знак символа ± выбирается так, чтобы и с оба могут быть положительными. Подставив

[2]   ${\displaystyle x={\sqrt {c/a}}\tan \theta }$

а затем умножая на cos ² θ , получаем

[3]   ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.}$

Вводя функции от 2 θ и переставляя, получаем

[4]   ${\displaystyle \tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},}$

[5]   ${\displaystyle \sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},}$

где нижние индексы n и p соответствуют, соответственно, использованию отрицательного или положительного знака в уравнении [1] . Подстановка двух значений θ _n или θ _p, найденных из уравнений [4] или [5], в [2] дает требуемые корни [1] . Комплексные корни встречаются в решении, основанном на уравнении [5], если абсолютное значение sin 2 θ _pпревышает единицу. Объем усилий, затраченных на решение квадратных уравнений с использованием этой смешанной тригонометрической и логарифмической стратегии поиска по таблицам, составлял две трети усилий с использованием одних только логарифмических таблиц. ^{[31] Для} вычисления комплексных корней потребуется использовать другую тригонометрическую форму. ^[32]

Для иллюстрации предположим, что у нас есть семизначный логарифм и тригонометрические таблицы, и мы хотим решить следующую задачу с точностью до шести значащих цифр:

${\displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0}$

1. В поисковой таблице с семью разрядами может быть только 100 000 записей, и вычисление промежуточных результатов для семи позиций обычно требует интерполяции между соседними записями.
2. ${\displaystyle \log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927}$
3. ${\displaystyle 2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314}$
4. ${\displaystyle \theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }}$
5. ${\displaystyle \log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462}$
6. ${\displaystyle \log {\sqrt {c/a}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318}$
7. ${\displaystyle x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353}$ (округлено до шести значащих цифр)

${\displaystyle x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943}$

Решение для сложных корней в полярных координатах [ править ]

Если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет два комплексных корня - случай, когда требуется, чтобы a и c имели один и тот же знак, - тогда решения для корней могут быть выражены в полярной форме как ^[33]${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle b^{2}-4ac<0,}$

${\displaystyle x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),}$

где и${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}}$${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).}$

Геометрическое решение [ править ]

Квадратное уравнение может быть решено геометрически несколькими способами. Один из способов - через метод Лилла . Три коэффициента a , b , c нарисованы с прямыми углами между ними, как в SA, AB и BC на рисунке 6. Нарисована окружность с начальной и конечной точками SC в качестве диаметра. Если это пересекает среднюю линию AB из трех, тогда уравнение имеет решение, и решения даются как отрицательное значение расстояния вдоль этой линии от A, деленного на первый коэффициент a или SA. Если a равно 1, коэффициенты можно считывать напрямую. Таким образом, решения на диаграмме - это −AX1 / SA и −AX2 / SA. ^[34]

Карлиль круг , названный в честь Томаса Карлейля , обладает тем свойством , что решения квадратного уравнения являются горизонтальными координатами точек пересечения окружности с горизонтальной осью . ^[35] Круги Карлейля использовались для построения линейки-циркуля из правильных многоугольников .

Обобщение квадратного уравнения [ править ]

Формула и ее вывод остаются правильными, если коэффициенты a , b и c являются комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля , характеристика которого не равна 2 . (В поле характеристики 2 элемент 2 a равен нулю и делить на него невозможно.)

Символ

${\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$

в формуле следует понимать как «любой из двух элементов, квадрат которых b ² - 4 ас , если такие элементы существуют». В некоторых полях некоторые элементы не имеют квадратных корней, а некоторые - двух; только ноль имеет только один квадратный корень, за исключением полей характеристики 2 . Даже если поле не содержит квадратного корня из некоторого числа, всегда есть поле квадратичного расширения, которое содержит , поэтому квадратная формула всегда будет иметь смысл как формула в этом поле расширения.

Характеристика 2 [ править ]

В поле характеристики 2 квадратичная формула, основанная на том, что 2 является единицей , не выполняется. Рассмотрим монический квадратичный многочлен

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$

над полем характеристики 2 . Если b = 0 , то решение сводится к извлечению квадратного корня, поэтому решение

${\displaystyle x={\sqrt {c}}}$

и есть только один корень, так как

${\displaystyle -{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.}$

В итоге,

${\displaystyle \displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.}$

См. Раздел Квадратичный вычет для получения дополнительной информации об извлечении квадратных корней в конечных полях.

В случае, когда b ≠ 0 , есть два различных корня, но если многочлен неприводимый , они не могут быть выражены через квадратные корни из чисел в поле коэффициентов. Вместо этого определите 2-корень R ( c ) числа c как корень многочлена x ² + x + c , элемент поля расщепления этого многочлена. Проверяется, что R ( c ) + 1 также является корнем. В терминах операции с двумя корнями два корня (немонической) квадратичной оси ² + bx+ c являются

${\displaystyle {\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)}$

и

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).}$

Например, пусть a обозначает мультипликативный генератор группы единиц F ₄ , поля Галуа четвертого порядка (таким образом, a и a + 1 являются корнями x ² + x + 1 над F _4. Потому что ( a + 1) ² = a , a + 1 - единственное решение квадратного уравнения x ² + a = 0. С другой стороны, многочлен x ² + ax + 1неприводим над F ₄ , но он распадается над F ₁₆ , где он имеет два корня ab и ab + a , где b - корень x ² + x + a в F ₁₆ .

Это частный случай теории Артина – Шрайера .

См. Также [ править ]

• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Линейное уравнение
• Кубическая функция
• Уравнение четвертой степени
• Квинтическое уравнение
• Основная теорема алгебры

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с квадратным уравнением .

• "Квадратное уравнение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратные уравнения" . MathWorld .
• 101 использование квадратного уравнения
• 101 использование квадратного уравнения: Часть II