Четырехугольник

Четырехугольник
Некоторые виды четырехугольников
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{4} (для квадрата)
Площадь	различные методы; Смотри ниже
Внутренний угол ( градусы )	90 ° (для квадрата и прямоугольника)

Четырехугольник является многоугольником в евклидовой геометрии плоскости с четырьмя краями (стороны) и четыре вершины (углы). Другие названия четырехугольника включают четырехугольник (по аналогии с треугольником ), четырехугольник (по аналогии с пятиугольником , 5-сторонним многоугольником и шестиугольником , 6-сторонним многоугольником) и 4-угольник (по аналогии с k -угольниками для произвольных значений k ). Четырехугольник с вершинами , , и иногда обозначается как . ^{[1] [2]}${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ square ABCD}$

Слово «четырехугольник» происходит от латинских слов quadri , вариант четырех, и latus , что означает «сторона».

Четырехугольники бывают либо простыми (не самопересекающимися), либо сложными (самопересекающимися или скрещенными). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми .

В внутренние углы простого (и планарных) четырехугольник ABCD добавить до 360 градусов дуги , то есть ^[2]

${\ displaystyle \ angle A + \ angle B + \ angle C + \ angle D = 360 ^ {\ circ}.}$

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n- угольников: ( n - 2) × 180 °.

Все несамопересекающиеся четырехугольники замощают плоскость путем повторного вращения вокруг середин своих краев.

Простые четырехугольники [ править ]

Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Выпуклые четырехугольники [ править ]

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

• Неправильный четырехугольник ( британский английский ) или трапеция ( североамериканский английский ): никакие стороны не параллельны. (В британском английском это когда-то называлось трапецией . Подробнее см. Трапеция § Трапеция против трапеции )
• Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): как минимум одна пара противоположных сторон параллельна . Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
• Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а углы основания равны по мере. Альтернативные определения: четырехугольник с осью симметрии, разделяющей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
• Параллелограмм : четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия заключаются в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам. Параллелограммы включают ромбы (включая прямоугольники, называемые квадратами) и ромбовидные формы (включая прямоугольники, называемые продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбовидные элементы, а значит, также включают все прямоугольники.
• Ромб , ромб: ^[2] все четыре стороны равной длины. Эквивалентное условие - диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неформально: «сдвинутый квадрат» (но строго с квадратом).
• Ромбовидный : параллелограмм, в котором смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы наклонные (эквивалент, без прямых углов). Неформально: «вытянутый продолговатый». Не все ссылки согласны, некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. ^[3]
• Прямоугольник : все четыре угла прямые. Эквивалентное условие - диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и продолговатые формы. Неформально: «прямоугольная или продолговатая» (включая квадрат).
• Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны равной длины (равносторонние), и все четыре угла - прямые. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат - параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (т.е. четыре равные стороны и четыре равных угла).
• Продолговатый : больше ширины или больше длины (т. Е. Прямоугольник, который не является квадратом). ^[4]
• Кайт : две пары смежных сторон равной длины. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники , и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере. Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбики.

• Тангенциальный четырехугольник : четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
• Тангенциальная трапеция : трапеция , где четыре стороны касательные к вписанной окружности .
• Циклический четырехугольник : четыре вершины лежат на описанной окружности . Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °.
• Правый кайт : кайт с двумя противоположными прямыми углами. Это разновидность вписанного четырехугольника.
• Гармонический четырехугольник : произведения длин противоположных сторон равны. Это разновидность вписанного четырехугольника.
• Двухцентровый четырехугольник : он тангенциальный и циклический.
• Ортодиагональный четырехугольник : диагонали пересекаются под прямым углом .
• Равноугольный четырехугольник : диагонали одинаковой длины.
• Экс касательный четырехугольник : четыре продолжения сторон касаются вневписанной окружности .
• У равностороннего четырехугольника есть две противоположные равные стороны, которые в расширении пересекаются под углом 60 °.
• Вт четырехугольник является четырехугольником с парой противоположных сторон равной длины. ^[5]
• Квадрика четырехугольник выпуклый четырехугольник , чьи четыре вершины лежат по периметру квадрата. ^[6]
• Диаметральной четырехугольник является циклическим четырехугольник , имеющий одну из его сторон в качестве диаметра окружности. ^[7]
• Ельмслевова четырехугольник является четырехугольник с двумя прямыми углами на противоположных вершинах. ^[8]

Вогнутые четырехугольники [ править ]

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180 °, а одна из двух диагоналей лежит за пределами четырехугольника.

• Дротика (или наконечник стрелы) является вогнутой четырехугольник с двусторонней симметрии , как воздушный змей, но там , где один внутренний угол рефлекс. См. Кайт .

Сложные четырехугольники [ править ]

Самопересекающийся четырехугольник называется по- разному в поперечном четырехугольнике , пересек четырехугольник , бабочка четырехугольник или вогнутость четырехугольника . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от перекрестка (два острых и два рефлекторных , все слева или все справа, как показано на рисунке) составляют в сумме 720 °. ^[9]

• Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): ^[10] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция ).
• Антипараллелограмм : скрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как параллелограмм ).
• Перекрещенный прямоугольник : антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника , следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон.
• Скрещенный квадрат : частный случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные сегменты линии [ править ]

Две диагонали выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых , соединяющие противоположные вершины.

Два бимедиана выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон. ^[11] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре солодости выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне - через середину противоположной стороны. ^[12]

Площадь выпуклого четырехугольника [ править ]

Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

Тригонометрические формулы [ править ]

Площадь можно выразить тригонометрическими терминами как ^[13]

${\ Displaystyle К = {\ tfrac {1} {2}} pq \ cdot \ sin \ theta,}$

где длины диагоналей равны p и q, а угол между ними равен θ . ^[14] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к так, как θ составляет 90 ° .${\ Displaystyle К = {\ tfrac {1} {2}} pq}$

Площадь также может быть выражена в единицах бимедиана как ^[15]

${\ Displaystyle К = мн \ CDOT \ грех \ varphi,}$

где длины бимедианов равны m и n, а угол между ними равен φ .

Формула Бретшнайдера ^{[16] [13]} выражает площадь через стороны и два противоположных угла:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

где стороны в последовательности - это a , b , c , d , где s - полупериметр, а A и C - два (фактически, любые два) противоположных угла. Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника - когда A + C = 180 ° .

Другая формула площади в терминах сторон и углов, где угол C находится между сторонами b и c , а A находится между сторонами a и d , имеет вид

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\cdot \sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\cdot \sin {C}.}$

В случае циклического четырехугольника последняя формула принимает вид ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

В параллелограмме, где обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

В качестве альтернативы, можно записать область с точки зрения сторон и угла пересечения & thetas диагоналей, до тех пор , θ не 90 ° : ^[17]

${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

В случае параллелограмма последняя формула принимает вид ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\tan \theta |\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Другая формула площади, включающая стороны a , b , c , d : ^[15]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}\sin {\varphi }}$

где x - расстояние между серединами диагоналей, а φ - угол между бимедианами .

Последняя формула тригонометрической площади, включающая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ): ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\cdot \sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}},}$

который также можно использовать для площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на - .

Нетригонометрические формулы [ править ]

Следующие две формулы выражают площадь через стороны a , b , c и d , полупериметр s и диагонали p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[18]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$ ^[19]

Первый сводится к формуле Брахмагупты в случае циклического четырехугольника, поскольку тогда pq = ac + bd .

Площадь также можно выразить через бимедианы m , n и диагонали p , q :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ ^[20]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ ^{[21] : Thm. 7}

Фактически, любых трех из четырех значений m , n , p и q достаточно для определения площади, поскольку в любом четырехугольнике четыре значения связаны соотношением ^{[22] : p. 126} Соответствующие выражения: ^[23]${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

если даны длины двух бимедианов и одной диагонали, и ^[23]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

если заданы длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы [ править ]

Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы тока и BD образуют диагонали от А до С и от B до D . Тогда площадь четырехугольника равна

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

что составляет половину величины векторного произведения векторов AC и BD . В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AC как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x ₁ , y ₁ ) и BD как ( x ₂ , y ₂ ) , это можно переписать как:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Диагонали [ править ]

Свойства диагоналей некоторых четырехугольников [ править ]

В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых основных четырехугольников пополам, перпендикулярны ли их диагонали и равны ли их диагонали. ^[24] Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

Примечание 1: самые общие трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названных четырехугольников.

Примечание 2: В кайте одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей [ править ]

Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить, используя закон косинусов для каждого треугольника, образованного одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

и

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: ^[25]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

и

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея [ править ]

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четыре квадрата отрезка прямой, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

где x - расстояние между серединами диагоналей. ^{[22] : с.126} Это иногда называют теоремой Эйлера о четырехугольнике и является обобщением закона параллелограмма .

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея , касающееся произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике ^[26].

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В круговом четырехугольнике , где A + C = 180 °, он сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения [ править ]

Если X и Y являются основаниями нормалей из B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то ^{[27] : с. 14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA и где диагонали пересекаются в точке E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE . ^[28]

Форма и размер выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его сторон в последовательности и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Двух диагоналей р, д и четыре длины сторон а, б, в, г четырехугольника связаны ^[13] с помощью Кэли-Менгера детерминанта , следующим образом :

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Биссектрисы угла [ править ]

Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник ^{[22] : с.127} (то есть, четыре точки пересечения биссектрис смежных углов параллельны ), либо они совпадают . В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником .

В четырехугольнике ABCD , если угол биссектрисы из A и C пересекаются по диагонали BD , то угол биссектрисы B и D пересекаются по диагонали переменного тока . ^[29]

Бимедианцы [ править ]

В bimedians четырехугольника являются отрезки , соединяющие средние точки противоположных сторон. Пересечение бимедианов - это центр тяжести вершин четырехугольника. ^[13]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) - это вершины параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона . Обладает следующими свойствами:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. ^[30]
• Периметр параллелограмма Varignon равна сумме диагоналей исходного четырехугольника.
• Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.

Два бимедиана в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и все делятся пополам своей точкой пересечения. ^{[22] : с.125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедиана, соединяющего середины сторон a и c, равна

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

где p и q - длина диагоналей. ^[31] Длина бимедиана, соединяющего середины сторон b и d, равна

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Отсюда ^{[22] : с.126.}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Это также является следствием к закону параллелограмма применяется в параллелограмме Varignon.

Длины бимедианов можно также выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольнике в приведенных выше формулах. Откуда ^[21]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

и

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах - это не те две, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойная связь между бимедианами и диагоналями: ^[27]

• Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества [ править ]

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: ^[32]

${\displaystyle \sin {A}+\sin {B}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A+C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D}}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.}$

Также ^[33]

${\displaystyle {\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+\cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , так как tan 90 ° не определен.

Неравенства [ править ]

Площадь [ править ]

Если выпуклый четырехугольник имеет следующие друг за другом стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет ^[34]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$с равенством только для прямоугольника .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$с равенством только для квадрата .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$ с равенством, только если диагонали перпендикулярны и равны.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$с равенством только для прямоугольника. ^[15]

Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он свернулся в отрезок прямой , поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству ^[35]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Обозначив периметр как L , получим ^{[35] : с.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

для диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d - длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . Тогда ^[36]

${\displaystyle K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd}{8}}}$ с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d - длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K , тогда имеет место неравенство ^[37]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы [ править ]

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольнике является неравенство

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая является равенством в вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

где есть равенство тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный. ^{[22] : с.128–129} Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. ^{[38] : Предложение 1} Это непосредственно следует из тождества четырехугольника${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Стороны [ править ]

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют ^{[39] : p.228, # 275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

и ^{[39] : p.234, # 466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.}$

Максимальные и минимальные свойства [ править ]

Среди всех четырехугольников с заданным периметром квадрат с наибольшей площадью . Это называется изопериметрической теоремой для четырехугольника . Это прямое следствие неравенства площадей ^{[35] : с.114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

где К является площадь выпуклого четырехугольника с периметром L . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников данной площади квадрат имеет самый короткий периметр.

Четырехугольник с заданной длиной сторон, имеющий максимальную площадь, является вписанным четырехугольником . ^[40]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь. ^{[35] : с.119} Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет условию

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

где θ - угол между диагоналями p и q . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда θ = 90 °.

Если P - внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. ^{[41] : с.120}

Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике [ править ]

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах. «Боковой центроид» получается из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же. ^[42]

«Центроид вершины» - это пересечение двух бимедианов . ^[43] Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центра тяжести вершины являются средними арифметическими значениями координат x и y вершин.

«Центроид площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G _a , G _b , G _c , G _d - центроиды треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда «центроид площади» - это пересечение прямых G _a G _c и G _b G _d . ^[44]

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD , нет никаких природных аналогий к описанной окружности и ортоцентру в виде треугольника . Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O _a , O _b , O _c , O _d - центры описанной окружности треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно; и обозначим через H _a , H _b , H _c , H _dортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O _a O _c и O _b O _d называется квазиокружностью центра , а пересечение прямых H _a H _c и H _b H _d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. ^[44] Эти точки можно использовать для определения прямой Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , "центр тяжести площади" G и квазиокружность центра Oявляются коллинеарны в этом порядке, и HG = 2 GO . ^[44]

Также можно определить квазининоточечный центр E как пересечение прямых E _a E _c и E _b E _d , где E _a , E _b , E _c , E _d - центры девяти точек треугольников BCD , ACD. , ABD , ABC соответственно. Тогда Е является средней точкой из ОН . ^[44]

Еще одна замечательная линия выпуклого четырехугольника, не являющегося параллелограммом, - это линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) - это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центроидом вершины. Линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1. ^[45]

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и до н.э. и AB и CD , соответственно, круги (PAB), (PCD), (QAD), и (QBC) проходят через общую точку М , называется Микель точка. ^[46]

Для выпуклого четырехугольника ABCD, в котором E - точка пересечения диагоналей, а F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω - окружность, проходящая через E и F, которая пересекает CB внутренне в M и DA внутренне. на N . Пусть CA встретиться снова на Q , L , и пусть DB встретиться снова на Q , K . Тогда верно: прямые NK и ML пересекаются в точке Pчто находится на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , расположенной на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD .^{[47] [48] [49]}

Другие свойства выпуклых четырехугольников [ править ]

• Пусть со всех сторон четырехугольника нарисованы внешние квадраты. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
• Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра. ^[40]
• Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. ^[50]

Таксономия [ править ]

Таксономия четырехугольников с использованием диаграммы Хассе .

Иерархическая таксономия четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент - трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

Наклонить четырехугольники [ править ]

Непланарный четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были получены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. ^[51] Исторически термин « грубый четырехугольник» также использовался для обозначения скошенного четырехугольника. ^[52] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр , и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удаляется пара противоположных ребер .

См. Также [ править ]

• Полный четырехугольник
• Построение серединного перпендикуляра четырехугольника
• Четырехугольник Саккери
• Виды сетки § Четырехугольник
• Четырехугольник (география)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме тетрагонов .

• "Четырехугольник, полный" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Четырехугольники, образованные серединными перпендикулярами , проективная коллинеарность и интерактивная классификация четырехугольников по узлу
• Определения и примеры четырехугольников и Определение и свойства четырехугольников из Матопенрефа
• (Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в эскизах динамической геометрии
• Расширенная классификация четырехугольников на главной странице динамического обучения математике
• Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Михаэля де Вилье