Квантовая термодинамика

Термодинамика
Классический тепловой двигатель Карно
ветви Классический Статистический Химическая Квантовая термодинамика Равновесие  / Неравновесие
Законы Zeroth Первый Второй В третьих
Системы Закрытая система Изолированная система Состояние Уравнение состояния Идеальный газ Настоящий газ Состояние вопроса Равновесие Контрольный объем Инструменты Процессы Изобарический Изохорический Изотермический Адиабатический Изэнтропический Изентальпический Квазистатический Политропный Бесплатное расширение Обратимость Необратимость Необратимость Циклы Тепловые двигатели Тепловые насосы Тепловая эффективность
Свойства системы Примечание: Сопряженные переменные в курсивом Диаграммы свойств Интенсивные и обширные свойства Функции процесса Работа Высокая температура Функции государства Температура  / энтропия  ( введение ) Давление  / Объем Химический потенциал  / число частиц Качество пара Сниженные свойства
Свойства материала Базы данных недвижимости Удельная теплоемкость  ${\ displaystyle c =}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ partial S}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ partial T}$ Сжимаемость  ${\ displaystyle \ beta = -}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial p}$ Тепловое расширение  ${\ Displaystyle \ альфа =}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial T}$
Уравнения Теорема Карно Теорема Клаузиуса Фундаментальное отношение Закон идеального газа Максвелл отношения Взаимные отношения Онзагера Уравнения Бриджмена Таблица термодинамических уравнений
Потенциал Свободная энергия Свободная энтропия Внутренняя энергия ${\ Displaystyle U (S, V)}$ Энтальпия ${\ Displaystyle H (S, p) = U + pV}$ Свободная энергия Гельмгольца ${\ Displaystyle А (Т, В) = U-TS}$ Свободная энергия Гиббса ${\ Displaystyle G (T, p) = H-TS}$
История Культура История Общий Энтропия Газовые законы Машины "вечный двигатель" Философия Энтропия и время Энтропия и жизнь Броуновская трещотка Демон Максвелла Парадокс тепловой смерти Парадокс лошмидта Синергетика Теории Теория калорийности Теория тепла Vis viva («живая сила») Механический эквивалент тепла Сила мотивации Ключевые публикации " Экспериментальное исследование ... тепла " « О равновесии гетерогенных веществ » « Размышления о движущей силе огня » Сроки Термодинамика Тепловые двигатели Изобразительное искусство Образование Термодинамическая поверхность Максвелла Энтропия как рассеивание энергии
Ученые Бернулли Больцман Карно Клапейрон Клаузиус Каратеодори Duhem Гиббс фон Гельмгольц Джоуль Максвелл фон Майер Онсагер Ренкин Смитон Шталь Томпсон Томсон ван дер Ваальс Waterston
Книга Категория
v т е

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Квантовая термодинамика ^{[1] [2]} - это исследование отношений между двумя независимыми физическими теориями: термодинамикой и квантовой механикой . Две независимые теории касаются физических явлений света и материи. В 1905 году Альберт Эйнштейн утверждал, что требование согласованности между термодинамикой и электромагнетизмом ^[3] приводит к выводу, что свет квантуется с получением соотношения . Эта статья - начало квантовой теории. Через несколько десятилетий квантовая теория утвердилась с независимым набором правил. ^[4]${\ Displaystyle Е = ч \ ню}$В настоящее время квантовая термодинамика обращается к появлению термодинамических законов из квантовой механики. Она отличается от квантовой статистической механики акцентом на динамические процессы, выходящие из равновесия. Кроме того, существует стремление к тому, чтобы теория соответствовала отдельной квантовой системе.

Динамический вид [ править ]

Существует тесная связь квантовой термодинамики с теорией открытых квантовых систем . ^[5] Квантовая механика включает динамику в термодинамику, создавая прочную основу для термодинамики с конечным временем. Основное предположение состоит в том, что весь мир - это большая замкнутая система, и поэтому эволюция во времени управляется унитарным преобразованием, порожденным глобальным гамильтонианом . Для комбинированного сценария ванны системы глобальный гамильтониан можно разложить на:

${\ displaystyle H = H _ {\ rm {S}} + H _ {\ rm {B}} + H _ {\ rm {SB}}}$

где - гамильтониан системы, - гамильтониан термостата и - взаимодействие системы и термостата. Состояние системы получается из частичного следа по комбинированной системе и ванной: . Приведенная динамика - это эквивалентное описание динамики системы с использованием только системных операторов. В предположении марковского свойства динамики основным уравнением движения для открытой квантовой системы является уравнение Линдблада (GKLS): ^{[6] [7]}${\ displaystyle H _ {\ rm {S}}}$${\ displaystyle H _ {\ rm {B}}}$${\ displaystyle H _ {\ rm {SB}}}$${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {S}} (t) = \ mathrm {Tr} _ {\ rm {B}} (\ rho _ {\ rm {SB}} (t))}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}=-{i \over \hbar }[H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+L_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})}$

${\displaystyle H_{\rm {S}}}$является ( эрмитовой ) гамильтоновой частью и :${\displaystyle L_{\rm {D}}}$

${\displaystyle L_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)}$

является диссипативной частью, неявно описывающей через системные операторы влияние ванны на систему. Свойство Маркова требует, чтобы система и ванна всегда не коррелировали . Уравнение L-GKS является однонаправленным и приводит любое начальное состояние к стационарному решению, которое является инвариантом уравнения движения . ^[5]${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle \rho _{\rm {SB}}=\rho _{s}\otimes \rho _{\rm {B}}}$${\displaystyle \rho _{\rm {S}}}$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}(t\rightarrow \infty )=0}$

Картина Гейзенберга дает прямую связь с квантовыми термодинамическими наблюдаемыми. Динамика наблюдаемой системы, представленной оператором , имеет вид:${\displaystyle O}$

${\displaystyle {\frac {dO}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[H_{\rm {S}},O]+L_{\rm {D}}^{*}(O)+{\frac {\partial O}{\partial t}}}$

где включена возможность того, что оператор явно зависит от времени.${\displaystyle O}$

Появление производной по времени первого закона термодинамики [ править ]

Когда первый закон термодинамики вытекает:${\displaystyle O=H_{\rm {S}}}$

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=\left\langle {\frac {\partial H_{\rm {S}}}{\partial t}}\right\rangle +\langle L_{\rm {D}}^{*}(H_{\rm {S}})\rangle }$

где мощность интерпретируется как тепловой ток . ^{[8] [9] [10]}${\displaystyle P=\left\langle {\frac {\partial H_{\rm {S}}}{\partial t}}\right\rangle }$${\displaystyle J=\langle L_{\rm {D}}^{*}(H_{\rm {S}})\rangle }$

Для согласования с термодинамикой к диссипатору должны быть наложены дополнительные условия . Сначала инвариант должен стать равновесным состоянием Гиббса . Это означает, что диссипатор должен коммутировать с унитарной частью, порожденной . ^[5] Кроме того, состояние равновесия является стационарным и стабильным. Это предположение используется для вывода критерия устойчивости Кубо-Мартина-Швингера для теплового равновесия, то есть состояния KMS .${\displaystyle L_{\rm {D}}}$${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(\infty )}$${\displaystyle L_{\rm {D}}}$${\displaystyle H_{\rm {S}}}$

Уникальный и последовательный подход достигается путем получения генератора в пределе слабой связи с ванной. ^[11] В этом пределе энергией взаимодействия можно пренебречь. Этот подход представляет собой термодинамическую идеализацию: он позволяет передавать энергию, сохраняя при этом разделение тензорного произведения между системой и ванной, то есть квантовую версию изотермического разделения.${\displaystyle L_{\rm {D}}}$

Марковское поведение предполагает довольно сложное взаимодействие между системой и динамикой ванны. Это означает, что в феноменологической интерпретации нельзя комбинировать произвольные гамильтонианы системы с заданным генератором L-GKS. Это наблюдение особенно важно в контексте квантовой термодинамики, где возникает соблазн изучить марковскую динамику с произвольным управляющим гамильтонианом. Ошибочные выводы основного квантового уравнения могут легко привести к нарушению законов термодинамики.${\displaystyle H_{\rm {S}}}$

Внешнее возмущение, изменяющее гамильтониан системы, также изменит тепловой поток. В результате необходимо перенормировать генератор L-GKS. Для медленного изменения можно принять адиабатический подход и использовать для вывода мгновенный гамильтониан системы . Важный класс задач квантовой термодинамики - это периодически управляемые системы. К этому классу относятся периодические квантовые тепловые машины и холодильники с механическим приводом .${\displaystyle L_{\rm {D}}}$

Было предложено пересмотреть выражение зависящего от времени теплового тока с использованием методов квантового транспорта. ^[12]

Предложен вывод последовательной динамики за пределом слабой связи. ^[13]

Появление второго закона [ править ]

Второй закон термодинамики является утверждение о необратимости динамики или, распад времени разворота симметрии ( T-симметрия ). Это должно соответствовать прямому эмпирическому определению: тепло самопроизвольно перетекает от горячего источника в холодный сток.

Со статической точки зрения для замкнутой квантовой системы второй закон термодинамики является следствием унитарной эволюции. ^[14] В этом подходе учитывается изменение энтропии до и после изменения всей системы. Динамическая точка зрения основана на локальном учете изменений энтропии в подсистемах и энтропии, генерируемой в ваннах.

Энтропия [ править ]

В термодинамике энтропия связана с конкретным процессом. В квантовой механике это означает способность измерять систему и управлять ею на основе информации, собранной путем измерения. Примером может служить случай с демоном Максвелла , раскрытый Лео Сцилардом . ^{[15] [16] [17]}

Энтропии из наблюдаемого связана с полным проективным измерением наблюдаемого, где оператор имеет спектральное разложение: где являются проекция операторами собственного значения . Вероятность исхода j равна . Энтропия, связанная с наблюдаемым, - это энтропия Шеннона по отношению к возможным исходам:${\displaystyle \langle A\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=\sum _{j}\alpha _{i}P_{j}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle p_{j}=\mathrm {Tr} (\rho P_{j})}$${\displaystyle \langle A\rangle }$

${\displaystyle S_{A}=-\sum _{j}p_{j}\ln p_{j}}$

Наиболее важной наблюдаемой в термодинамике является энергия, представленная оператором Гамильтона , и связанная с ней энтропия энергии . ^[18]${\displaystyle H}$${\displaystyle S_{E}}$

Джон фон Нейман предложил выделить наиболее информативную наблюдаемую для характеристики энтропии системы. Этот инвариант получается минимизацией энтропии по всем возможным наблюдаемым. Самый информативный наблюдаемый оператор коммутирует с состоянием системы. Энтропия этой наблюдаемой называется энтропией фон Неймана и равна:

${\displaystyle S_{\rm {vn}}=-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho )}$

Как следствие, для всех наблюдаемых. При тепловом равновесии энергия энтропия равна энтропии фон Неймана : .${\displaystyle S_{A}\geq S_{\rm {vn}}}$${\displaystyle S_{E}=S_{\rm {vn}}}$

${\displaystyle S_{\rm {vn}}}$инвариантен к унитарному преобразованию, изменяющему состояние. Энтропии фон Неймана аддитивна только для состояния системы , которая состоит из тензорного произведения подсистем:${\displaystyle S_{\rm {vn}}}$

${\displaystyle \rho =\Pi _{j}\otimes \rho _{j}}$

Версия Клаузиуса II-закона [ править ]

Невозможно ни одного процесса, единственным результатом которого является передача тепла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой.

Это утверждение для термостатов с N-связью в установившемся режиме становится следующим:

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {J_{n}}{T_{n}}}\geq 0}$

Динамическая версия II-закона может быть доказана на основе неравенства Спона ^[19]

${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(L_{\rm {D}}\rho [\ln \rho (\infty )-\ln \rho ]\right)\geq 0}$

которое справедливо для любого генератора L-ГКС, при стационарном состоянии, . ^[5]${\displaystyle \rho (\infty )}$

Согласованность с термодинамикой может быть использована для проверки квантовых динамических моделей транспорта. Например, было показано, что локальные модели сетей, в которых локальные уравнения L-GKS связаны слабыми звеньями, нарушают второй закон термодинамики . ^[20]

Квантовые и термодинамические адиабатические условия и квантовое трение [ править ]

Термодинамические адиабатические процессы не имеют изменения энтропии. Обычно внешний элемент управления изменяет состояние. Квантовая версия адиабатического процесса может быть смоделирована с помощью управляемого извне гамильтониана, зависящего от времени . Если система изолирована, динамика унитарна, а значит, постоянна. Квантовый адиабатический процесс определяется постоянной энтропией энергии . Поэтому квантовое адиабатическое условие эквивалентно отсутствию чистого изменения населенности мгновенных уровней энергии. Это означает , что гамильтониан коммутирует с собой в разное время: .${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle S_{\rm {vn}}}$${\displaystyle S_{E}}$${\displaystyle [H(t),H(t')]=0}$

Когда адиабатические условия не выполняются, требуется дополнительная работа для достижения окончательного контрольного значения. Для изолированной системы эту работу можно восстановить, поскольку динамика унитарна и может быть обращена вспять. В этом случае квантовое трение можно подавить с помощью сокращений адиабатичности, как продемонстрировано в лаборатории с использованием унитарного ферми-газа в зависящей от времени ловушке. ^[21] когерентностихранящиеся в недиагональных элементах оператора плотности, несут необходимую информацию для возмещения дополнительных затрат энергии и обращения динамики. Как правило, эту энергию невозможно восстановить из-за взаимодействия с ванной, которое вызывает дефазировку энергии. В этом случае ванна действует как измеритель энергии. Эта потерянная энергия является квантовой версией трения. ^{[22] [23]}

Появление динамической версии третьего закона термодинамики [ править ]

По-видимому, существуют две независимые формулировки третьего закона термодинамики, обе изначально были сформулированы Вальтером Нернстом . Первая формулировка известна как теорема Нернста о тепле , и ее можно сформулировать так:

• Энтропия любого чистого вещества в термодинамическом равновесии приближается к нулю, когда температура приближается к нулю.

Вторая формулировка - динамическая, известная как принцип недостижимости ^[24].

• Невозможно ни одной процедурой, какой бы идеальной она ни была, снизить температуру любого узла до абсолютного нуля за конечное число операций.

В установившемся состоянии второй закон термодинамики подразумевает, что полное производство энтропии неотрицательно. Когда холодная ванна приближается к абсолютной нулевой температуре, необходимо устранить расхождение производства энтропии на холодной стороне, когда , следовательно,${\displaystyle T_{\rm {c}}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\dot {S}}_{\rm {c}}\propto -T_{\rm {c}}^{\alpha }~~~,~~~~\alpha \geq 0~~.}$

Ибо выполнение второго закона зависит от производства энтропии в других ваннах, которые должны компенсировать отрицательное производство энтропии в холодной ванне. Первая формулировка третьего закона изменяет это ограничение. Вместо того , чтобы в накладывает третий закон , гарантируя , что при абсолютном нуле энтропия производства в холодной ванне равна нулю: . Это требование приводит к условию масштабирования теплового тока .${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle {\dot {S}}_{\rm {c}}=0}$${\displaystyle {J}_{\rm {c}}\propto T_{\rm {c}}^{\alpha +1}}$

Вторую формулировку, известную как принцип недостижимости, можно перефразировать так: ^[25]

• Ни один холодильник не может охладить систему до абсолютного нуля за конечное время.

Динамика процесса охлаждения определяется уравнением

${\displaystyle {J}_{\rm {c}}(T_{\rm {c}}(t))=-c_{V}(T_{\rm {c}}(t)){\frac {dT_{\rm {c}}(t)}{dt}}~~.}$

где - теплоемкость ванны. Взяв и с , мы можем количественно оценить эту формулировку, оценив характеристический показатель процесса охлаждения,${\displaystyle c_{V}(T_{\rm {c}})}$${\displaystyle {J}_{\rm {c}}\propto T_{\rm {c}}^{\alpha +1}}$${\displaystyle c_{V}\sim T_{\rm {c}}^{\eta }}$${\displaystyle {\eta }\geq 0}$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\rm {c}}(t)}{dt}}\propto -T_{\rm {c}}^{\zeta },~~~~~T_{\rm {c}}\rightarrow 0,~~~~~{\zeta =\alpha -\eta +1}}$

Это уравнение вводит связь между характеристическими показателями и . Когда затем ванна охлаждается до нулевой температуры за конечное время, что подразумевает оценку третьего закона. Из последнего уравнения видно, что принцип недостижимости более строг, чем теорема Нернста о теплопроводности .${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \zeta <0}$

Типичность как источник возникновения термодинамических явлений [ править ]

Основная идея квантовой типичности состоит в том, что подавляющее большинство всех чистых состояний с общим математическим ожиданием некоторой общей наблюдаемой в данный момент времени дадут очень похожие математические ожидания той же самой наблюдаемой в любое более позднее время. Это предназначено для применения к динамике типа Шредингера в многомерных гильбертовых пространствах. Как следствие, индивидуальная динамика ожидаемых значений обычно хорошо описывается средним по ансамблю. ^[26]

Квантовая эргодическая теорема, созданная Джоном фон Нейманом, является сильным результатом простой математической структуры квантовой механики. QET - это точная формулировка так называемой нормальной типичности, т. Е. Утверждение, что для типичных больших систем каждая начальная волновая функция от энергетической оболочки является «нормальной»: она развивается таким образом, что для большинства t макроскопически эквивалентна микроканоническая матрица плотности. ^[27]${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle \psi _{t}}$

Теория ресурсов [ править ]

Второй закон термодинамикиможно интерпретировать как количественную оценку преобразований состояния, которые статистически маловероятны, так что они становятся фактически запрещенными. Второй закон обычно применяется к системам, состоящим из множества взаимодействующих частиц; Теория ресурсов квантовой термодинамики - это формулировка термодинамики в режиме, когда она может быть применена к небольшому количеству частиц, взаимодействующих с термостатом. Для процессов, которые являются циклическими или очень близкими к циклическим, второй закон для микроскопических систем принимает совершенно иную форму, чем в макроскопическом масштабе, налагая не только одно ограничение на то, какие преобразования состояний возможны, но и целое семейство ограничений. Эти вторые законы актуальны не только для небольших систем, но также применимы к отдельным макроскопическим системам, взаимодействующим посредством дальнодействующих взаимодействий,которые в среднем удовлетворяют только обычному второму закону. Уточняя определение тепловых операций, законы термодинамики принимают форму, в которой первый закон определяет класс тепловых операций, нулевой закон становится уникальным условием, обеспечивающим нетривиальность теории, а остальные законы являются свойством монотонности. обобщенных свободных энергий.^{[28] [29]}

Инженерные резервуары [ править ]

Наномасштаб позволяет приготовить квантовые системы в физических состояниях без классических аналогов. Там сложные сценарии выхода из равновесия могут быть созданы путем первоначальной подготовки либо рабочего вещества, либо резервуаров квантовых частиц, последние получили название «инженерные резервуары». Существуют различные формы инженерных резервуаров. Некоторые из них связаны с тонкими эффектами квантовой когерентности или корреляции ^{[30] [31] [32],} тогда как другие полагаются исключительно на нетепловые классические функции распределения вероятностей. ^{[33] [34] [35] [36]} Последние называют неравновесными некогерентными резервуарами. ^[37]Интересные явления могут возникнуть в результате использования инженерных резервуаров, таких как эффективность, превышающая предел Отто, ^[32] нарушение неравенства Клаузиуса, ^[38] или одновременное извлечение тепла и работы из резервуаров. ^[31] В целом термодинамика и эффективность таких систем требуют особого анализа. Однако для частного случая NIR эффективность подключенных к ним стационарных квантовых машин можно рассматривать в рамках единой картины. ^[37]

См. Также [ править ]

• Квантовая статистическая механика

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Деффнер, Себастьян и Кэмпбелл, Стив. «Квантовая термодинамика: введение в термодинамику квантовой информации», (Morgan & Claypool Publishers, 2019). ^[1]

Ф. Биндер, Л. А. Корреа, К. Гоголин, Дж. Андерс, Г. Адессо (ред.) "Термодинамика в квантовом режиме. Фундаментальные аспекты и новые направления". (Springer 2018)

Йохен Геммер, М. Мишель и Гюнтер Малер. «Квантовая термодинамика. Возникновение термодинамического поведения в сложных квантовых системах. 2.» (2009).

Петруччоне, Франческо и Хайнц-Петер Брейер. Теория открытых квантовых систем. Издательство Оксфордского университета, 2002.

Внешние ссылки [ править ]

• Перейдите в раздел « Об эвристической точке зрения на излучение и преобразование света », чтобы прочитать английский перевод статьи Эйнштейна 1905 года. (Дата обращения: 11 апреля 2014 г.)