Колчан (математика)

В математике , А Колчан является ориентированным графом , где циклы и множественные стрелки между двумя вершинами разрешены, т.е. multidigraph . Они обычно используются в теории представлений : представление V колчана назначает векторное пространство V ( x ) каждой вершине x колчана и линейное отображение V ( a ) каждой стрелке a .

В теории категорий колчан можно понимать как основную структуру категории , но без композиции или обозначения морфизмов идентичности. То есть существует забывчивый функтор от Cat до Quiv . Его левый сопряженный - свободный функтор, который из колчана образует соответствующую свободную категорию .

Определение [ править ]

Колчан Γ состоит из:

Множество V вершин графа Γ
Множество E ребер графа Γ
Две функции: s : E → V, задающие начало или источник фронта, и еще одна функция, t : E → V, задающая цель фронта.

Это определение идентично мультидиграфу .

Морфизм колчанов определяется следующим образом . Если и - два колчана, то морфизм колчанов состоит из двух функций и таких, что следующие диаграммы коммутируют : ${\ Displaystyle \ Gamma = (V, E, s, t)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma '= (V', E ', s', t ')}$ ${\ displaystyle m = (m_ {v}, m_ {e})}$ ${\ displaystyle m_ {v}: от V \ до V '}$ ${\ displaystyle m_ {e}: от E \ до E '}$

m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}

а также

m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}

Теоретико-категориальное определение [ править ]

Приведенное выше определение основано на теории множеств ; теоретико-категориальное определение обобщает это до функтора от свободного колчана до категории множеств .

Свободный колчан (также называемый пешеходный колчан , Кронекер колчан , 2-Кронекер колчан или категория Кронекера ) Q является категорией с двумя объектами, и четыре морфизмов: Объекты В и Е . Четыре морфизма - это s : E → V , t : E → V , а тождественные морфизмы id _V : V → V и id _E : E → E. То есть вольный колчан

E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V

Колчан тогда является функтором Γ: Q → Set .

В более общем плане , колчан в категории С функтор Γ: Q → C . Категория Quiv ( C ) колчанов в C - это категория функторов, где:

объекты являются функторами Γ: Q → C ,
морфизмы - это естественные преобразования между функторами.

Обратите внимание, что Quiv - это категория предпучков в противоположной категории Q ^op .

Алгебра путей [ править ]

Если Γ - колчан, то путь в Γ - это последовательность стрел a _n a _{n −1} ... a ₃ a ₂ a ₁ такая, что голова a _{i +1} является хвостом a _i для i = 1. , ..., n −1, используя соглашение о конкатенации путей справа налево.

Если K - поле, то алгебра колчана или алгебра путей K Γ определяется как векторное пространство, имеющее в качестве основы все пути (длины ≥ 0) в колчане (включая, для каждой вершины i колчана Γ, тривиальный путь $e i$ длины 0; эти пути не считаются равными для разных i ), а умножение задается конкатенацией путей. Если два пути не могут быть соединены, потому что конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется равным нулю. Это определяет ассоциативную алгебру над K. Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет только конечное число вершин. В этом случае модули над K Γ естественным образом отождествляются с представлениями Γ. Если колчан имеет бесконечно много вершин, то K Γ имеет приближенное тождество, заданное как где F пробегает конечные подмножества множества вершин графа Γ. ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, и конечную вершину и начальную вершину любого пути всегда различны (т.е. Q имеет не ориентированные циклы), то K Γ является конечно- мерной наследственной алгебры над K . И наоборот, если К алгебраически замкнуто, то любая конечномерен, наследственное, ассоциативная алгебра над K является Морита эквивалентна на пути алгебры ее Ext колчане (т.е. они имеют эквивалентные категории модулей).

Представления колчанов [ править ]

Представление колчана Q - это ассоциация R -модуля с каждой вершиной Q и морфизм между каждым модулем для каждой стрелки.

Представление V из колчана Q называется тривиальным , если $V (х) = 0$ для всех вершин х в Q .

Морфизм , $F : V \to V'$ , между представлениями колчана Q , представляет собой набор линейных отображений $F (х): V (х) \to V' (х)$ таким образом, что для каждого стрелка в Q от й до у $V$ $' ($ $a$ $)$ $f$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $y$ $)$ $V$ $($ $a$ $)$ , т.е. квадраты, которые f формы со стрелками V и V коммутируют. Морфизм f является изоморфизмом , если f ( x ) обратим для всех вершин x в колчане. С помощью этих определений изображения колчана образуют категорию .

Если V и W являются представлениями колчана Q , то прямая сумма этих представлений определяется для всех вершин x в Q и является прямой суммой линейных отображений V ( a ) и W ( a ). $V\oplus W$ $(V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)$ $(V\oplus W)(a)$

Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.

Также может быть дано категоричное определение представления колчана. Сам колчан можно рассматривать как категорию, где вершины - объекты, а пути - морфизмы. Тогда представление Q - это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств . Морфизмы представлений Q - это в точности естественные преобразования между соответствующими функторами.

Для конечного колчана Γ (колчана с конечным числом вершин и ребер) пусть K Γ - его алгебра путей. Обозначим через e _i тривиальный путь в вершине i . Тогда мы можем сопоставить вершины я проективный K Γ-модуль K Γ е _я состоящий из линейных комбинаций путей , которые начинаются вершиной I . Это соответствует представлению Γ, полученному путем помещения копии K в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся в i и 0 на каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии K, мы связываем тождественное отображение.

Колчан с родственниками [ править ]

Чтобы обеспечить коммутативность некоторых квадратов внутри колчана, обобщением является понятие колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами). Отношение на колчан $Q$ является $К$ линейной комбинации путей из $Q$ . Колчан с отношением - это пара $(Q, I),$ где $Q$ - колчан и идеал алгебры путей. Фактор $K$ $Γ /$ $I$ - это алгебра путей в $($ $Q$ $,$ $I$ $)$ . $I\subseteq K\Gamma$

Колчан Разнообразие [ править ]

Учитывая размерности векторных пространств, назначенных каждой вершине, можно сформировать множество, которое характеризует все представления этого колчана с этими указанными размерами, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают разновидности колчана, как было построено Кингом (1994) .

Теорема Габриэля [ править ]

Колчан имеет конечный тип, если он имеет только конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений . Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:

(Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его базовый граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из диаграмм Дынкина ADE : $A$ $n$ , $D$ $n$ , $E$ $6$ , $E$ $7$ , $E$ $8$ .
Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями корневой системы диаграммы Дынкина.

Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли.

См. Также [ править ]

Классификация ADE
Категория клея
Алгебра графов
Групповое кольцо
Алгебра инцидентности
Схема колчана
Полуинвариант колчана
Торическая разновидность
Производная некоммутативная алгебраическая геометрия - Колчаны помогают кодировать данные производных некоммутативных схем

Ссылки [ править ]

Лекции [ править ]

Кроули-Бови, Уильям, Лекции по представлениям колчанов (PDF) , архивировано из оригинала 20 августа 2017 г.CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
Представления колчана в торической геометрии

Исследование [ править ]

Проективные торические многообразия как тонкие пространства модулей колчановых представлений

Источники [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с колчанами (теорией графов) .

Дерксен, Харм; Вейман, Ежи (февраль 2005 г.), «Колчаны представления» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 52 (2)
Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1973), Об алгебрах конечного типа представления , Математические лекции Карлтона, 2 , Отдел математики, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, MR 0347907
Кроули-Бови, Уильям (1992), Заметки о представлениях колчана (PDF) , Оксфордский университет
Габриэль, Питер (1972), "Unzerlegbare Darstellungen я.", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71-103, DOI : 10.1007 / BF01298413 , ISSN 0025-2611 , МР 0332887. Опечатки .
Кинг, Аластер (1994), "Модули представлений конечномерных алгебр", Quart. J. Math. , 45 (180): 515-530, DOI : 10,1093 / qmath / 45.4.515
Savage, Alistair (2006) [2005], «Конечномерные алгебры и колчаны», Francoise, J.P .; Naber, GL; Цоу, С.Т. (ред.), Энциклопедия математической физики , 2 , Elsevier, стр. 313–320, arXiv : math / 0505082 , Bibcode : 2005math ...... 5082S
Симсон, Дэниел; Сковронски, Анджей; Ассем, Ибрагим (2007), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
Бернштейн, штат Индиана; Гельфанд И.М.; Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля // Успехи матем. 1973. Т. 28 , вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .
Колчан в nLab