Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рациональные числа (ℚ) включены в действительные числа (), а сами включают целые числа (ℤ), которые, в свою очередь, включают натуральные числа (ℕ).

В математике , А рациональное число является число такого , как -3/7 , который может быть выражен как фактор или дробей р / д из двух целых чисел , в числителе р и ненулевой знаменатель д . [1] Каждое целое число является рациональным числом: например, 5  =  5/1 . Множество всех рациональных чисел, часто упоминаются как « рациональные числа » [ править ] , в поле рациональных чисел[ необходима цитата ] или поле рациональных чисел обычно обозначается полужирным шрифтом Q (или полужирным шрифтом на доске , Unicode 𝐐 / ℚ); [2] [3] таким образом, в 1895 году он был обозначен Джузеппе Пеано после quoziente , что по-итальянски означает « частное ».

Расширение десятичного рационального числа либо завершается после конечного числа цифр (пример: 3/4  =  0,75 ), или в конце концов , начинает повторять ту же самую конечную последовательность цифр снова и снова (пример: 9/44  =  0,20454545 ... ). [4] И наоборот, любое повторяющееся или завершающееся десятичное число представляет собой рациональное число. Эти утверждения верны не только для базы 10 , но и для любой другой целочисленной базы (например, двоичной или шестнадцатеричной ).

Нерациональное действительное число называется иррациональным . [5] Иррациональные числа включают √ 2 , π , e и φ . Расширение десятичного иррационального числа продолжается без повторения. Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел несчетно , почти все действительные числа иррациональны. [1]

Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел ( p , q ) с q ≠ 0 , используя отношение эквивалентности, определенное следующим образом:

Тогда дробь p / q обозначает класс эквивалентности ( p , q ) .

Рациональные числа вместе с сложением и умножением образуют поле, содержащее целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения из Q называются полями алгебраических чисел , и алгебраическое замыкание в Q является полем алгебраических чисел . [6]

В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения с использованием последовательностей Коши , сокращений Дедекинда или бесконечных десятичных знаков (подробнее см. Построение действительных чисел ).

Терминология [ править ]

Термин « рациональный» применительно к множеству Q относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка - это точка с рациональными координатами (т. Е. Точка, координаты которой являются рациональными числами); рациональная матрица является матрицей рациональных чисел; рациональный многочленможет быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «многочлен над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » (многочлен является рациональным выражением и определяет рациональную функцию, даже если ее коэффициенты не рациональные числа). Однако рациональная кривая - это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которая может быть параметризована рациональными функциями.

Арифметика [ править ]

Несократимая дробь [ править ]

Каждое рациональное число может быть выражено в уникальный способ как несократимая дробь в / б , где и Ь являются взаимно простые целые числа и Ь > 0 . Это часто называют канонической формой рационального числа.

Исходя из рационального числа a / b , его каноническая форма может быть получена делением a и b на их наибольший общий делитель и, если b <0 , изменением знака полученного числителя и знаменателя.

Встраивание целых чисел [ править ]

Любое целое число n может быть выражено как рациональное число n / 1 , которое является его канонической формой как рациональное число.

Равенство [ править ]

если и только если

Если обе дроби имеют каноническую форму, то:

если и только если и

Заказ [ править ]

Если оба знаменателя положительны (особенно, если обе дроби имеют каноническую форму):

если и только если

С другой стороны, если любой знаменатель отрицательный, то каждую дробь с отрицательным знаменателем необходимо сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем - путем изменения знаков числителя и знаменателя.

Дополнение [ править ]

Две фракции складываются следующим образом:

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b и d являются взаимно простыми целыми числами .

Вычитание [ править ]

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b и d являются взаимно простыми целыми числами .

Умножение [ править ]

Правило умножения:

где результатом может быть сокращаемая дробь - даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму,.

Обратный [ править ]

Каждое рациональное число a / b имеет аддитивное обратное , часто называемое его противоположностью ,

Если a / b находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.

Ненулевое рациональное число a / b имеет мультипликативную обратную , также называемую обратной величиной ,

Если a / b находится в канонической форме, то канонической формой его обратного является либо или , в зависимости от знака a .

Подразделение [ править ]

Если b , c и d не равны нулю, правило деления

Таким образом, разделив на / б с с / д эквивалентно умножению на / б на обратной от гр / г :

Возведение в степень в целую степень [ править ]

Если n - неотрицательное целое число, то

Результат будет в канонической форме, если то же самое верно для a / b . Особенно,

Если a ≠ 0 , то

Если a / b находится в канонической форме, каноническая форма результата - если либо a > 0, либо n четно. В противном случае каноническая форма результата будет

Представление непрерывной дроби [ править ]

Конечная цепная дробь является выражением таких , как

где п являются целыми числами. Каждое рациональное число a / b может быть представлено в виде конечной цепной дроби, коэффициенты которой a n могут быть определены путем применения алгоритма Евклида к ( a , b ).

Другие представления [ править ]

  • обыкновенная дробь :
  • смешанная цифра :
  • повторение десятичной дроби с использованием винкулума :
  • повторение десятичной дроби с использованием круглых скобок :
  • непрерывная дробь с использованием традиционной типографии:
  • непрерывная дробь в сокращенном виде: [2; 1, 2]
  • египетская фракция :
  • разложение на простую степень :
  • обозначение цитаты : 3'6

- это разные способы представления одной и той же рациональной ценности.

Формальная конструкция [ править ]

Схема, показывающая представление эквивалентных классов пар целых чисел

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар из целых чисел .

Точнее, пусть ( Z × ( Z \ {0})) будет множеством пар ( m , n ) целых чисел, таких как n ≠ 0 . На этом множестве отношение эквивалентности определяется формулой

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо с определенными выше сложением и умножением; множество рациональных чисел Q определяется как фактор-множество по этому отношению эквивалентности ( Z × ( Z \ {0})) / ~ , снабженное сложением и умножением, индуцированным указанными выше операциями. (Это построение может быть выполнено с любой областью целостности и дает ее поле дробей .)

Класс эквивалентности пары ( m , n ) обозначается Две пары ( m 1 , n 1 ) и ( m 2 , n 2 ) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (то есть эквивалентны) тогда и только тогда, когда это означает, что если и только

Каждый класс эквивалентности может быть представлен бесконечным числом пар, поскольку

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический репрезентативный элемент . Канонический представитель является уникальной парой ( м , п ) в классе эквивалентности таким образом, что т и п являются взаимно простыми , а п > 0 . Это называется представлением в низших терминах рационального числа.

Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, идентифицирующие целое число n с рациональным числом

Общий порядок может быть определен на рациональных числах, который расширяет естественный порядок чисел. Есть если

Свойства [ править ]

Диаграмма, иллюстрирующая счетность положительных рациональных чисел

Множество Q всех рациональных чисел вместе с показанными выше операциями сложения и умножения образует поле .

Q не имеет полевого автоморфизма, кроме тождественного.

С порядком , определенным выше, Q представляет собой упорядоченное поле , которое не имеет подпола, кроме себя, и является самым маленьким упорядоченным полем, в том смысле , что каждое упорядоченное поле содержит уникальный подпол изоморфного к Q .

Q - простое поле , то есть поле, у которого нет другого подполя, кроме самого себя. [7] Рациональные числа - это наименьшее поле с нулевой характеристикой . Каждое поле характеристики нуль содержит уникальный подполе , изоморфную Q .

Q представляет собой поле частных в целых числах Z . [8] алгебраическое замыкание на Q , то есть области корней рациональных полиномов, является полем алгебраических чисел .

Множество всех рациональных чисел счетно , а множество всех действительных чисел (а также множество иррациональных чисел) несчетно. Будучи счетным, множество рациональных чисел является нулевым множеством , то есть почти все действительные числа иррациональны в смысле меры Лебега .

Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами находится еще одно, а значит, и бесконечно много других. Например, для любых двух дробей таких, что

(где положительны), имеем

Любое полностью упорядоченное множество, которое счетно, плотно (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, по порядку изоморфно рациональным числам.

Действительные числа и топологические свойства [ править ]

Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел: каждое действительное число имеет произвольно близкие рациональные числа. Связанное с этим свойство состоит в том, что рациональные числа - единственные числа с конечным расширением в виде регулярных цепных дробей .

В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа как подпространство действительных чисел также несут топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство с помощью метрики абсолютной разности d ( x , y ) = | х - у |, и это дает третью топологию Q . Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа - важный пример пространства, которое не является локально компактным . Рациональные элементы топологически характеризуются как уникальныесчетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключено . Рациональные числа не образуют полного метрического пространства ; что действительные числа являются завершение Q в соответствии с метрикой г ( х , у ) = | x - y |, выше.

p -адические числа [ править ]

В дополнение к метрике абсолютного значения, упомянутой выше, есть другие метрики, которые превращают Q в топологическое поле:

Пусть p - простое число и для любого ненулевого целого числа a пусть | а | p = p - n , где p n - наибольшая степень p, делящего a .

Дополнительно установить | 0 | p = 0. Для любого рационального числа a / b положим | а / б | p = | а | p / | б | стр .

Тогда d p ( x , y ) = | х - у | р определяет метрику на Q .

Метрическое пространство ( Q , d p ) неполно, и его пополнение - это поле p -адических чисел Q p . Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел Q эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.

См. Также [ править ]

  • Диадический рациональный
  • Плавающая точка
  • Круги Форда
  • Гауссовский рациональный
  • Наивная высота - высота рационального числа в младшем члене.
  • Теорема Нивена
  • Рациональный тип данных

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Розен, Кеннет. Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  2. ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 11 августа 2020 .
  3. ^ Роуз, Маргарет. «Математические символы» . Проверено 1 апреля 2015 года .
  4. ^ "Рациональное число" . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Рациональное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 .
  6. ^ Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. С. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
  7. ^ Sūgakkai, Нихон (1993). Математический энциклопедический словарь, том 1 . Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ISBN 0-2625-9020-4.
  8. ^ Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: главы 4-7 . Springer Science & Business Media. п. А.VII.5.

Внешние ссылки [ править ]

  • "Рациональное число" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • "Рациональное число" из MathWorld - веб-ресурса Wolfram