В математике , реальный анализ является отраслью математического анализа , который изучает поведение действительных чисел , последовательности и ряды действительных чисел, и вещественные функции . [1] Некоторые особые свойства вещественнозначных последовательностей и функций, которые изучает реальный анализ, включают сходимость , пределы , непрерывность , гладкость , дифференцируемость и интегрируемость .
Настоящий анализ отличается от комплексного анализа , который занимается изучением комплексных чисел и их функций.
Сфера
Построение действительных чисел
Теоремы реального анализа тесно связаны со структурой вещественной числовой прямой. Реальная система счисления состоит из бесчисленного множества () вместе с двумя бинарными операциями, обозначенными + и ⋅ , и порядком, обозначенным < . Операции превращают действительные числа в поле , а вместе с порядком - в упорядоченное поле . Система действительных чисел - это единственное полное упорядоченное поле в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно ему. Интуитивно полнота означает, что в действительных числах нет «пробелов». В частности, это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел) и имеет решающее значение для доказательства нескольких ключевых свойств функций действительных чисел. Полноту вещественных чисел часто удобно выражать как свойство наименьшей верхней границы (см. Ниже).
Есть несколько способов формализовать определение действительных чисел . Современные подходы состоят из предоставления списка аксиом и доказательства существования для них модели , обладающей указанными выше свойствами. Более того, можно показать, что любые две модели изоморфны , что означает, что все модели имеют точно такие же свойства, и что можно забыть, как модель построена для использования действительных чисел.
Свойства порядка действительных чисел
Действительные числа обладают различными теоретико-решеточными свойствами, которые отсутствуют в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле , в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, порядок действительных чисел является полным , а действительные числа имеют свойство наименьшей верхней границы :
Каждое непустое подмножество который имеет верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу, которая также является действительным числом.
Эти теоретико-порядковые свойства приводят к ряду фундаментальных результатов в реальном анализе, таких как теорема о монотонной сходимости, теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении .
Однако, хотя результаты реального анализа указаны для действительных чисел, многие из этих результатов могут быть обобщены на другие математические объекты. В частности, многие идеи функционального анализа и теории операторов обобщают свойства действительных чисел - такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных операторов . Кроме того , математики считают реальные и мнимые части комплексных последовательностей, или путем оценки точечно из операторных последовательностей.
Топологические свойства действительных чисел
Многие из теорем реального анализа являются следствиями топологических свойств вещественной числовой прямой. Описанные выше свойства порядка действительных чисел тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство , действительные числа имеют стандартную топологию , которая является топологией порядка, индуцированной порядком. В качестве альтернативы, задав метрическую функцию или функцию расстояния используя функцию абсолютного значения как, действительные числа становятся прототипом метрического пространства . Топология, индуцированная метрикой оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком . Теоремы, подобные теореме о промежуточном значении , которые по сути являются топологическими по своей природе, часто могут быть доказаны в более общих условиях метрических или топологических пространств, а не вТолько. Часто такие доказательства имеют тенденцию быть короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы.
Последовательности
Последовательность является функцией которой домен является счетным , вполне упорядоченное множество. Домен обычно берется быть натуральными числами , [2] , хотя это иногда удобно рассматривать также двунаправленные последовательности проиндексированы множеством всех целых чисел, в том числе отрицательных индексов.
В реальном анализе, представляющем интерес, последовательность с действительными значениями , индексируемая здесь натуральными числами, представляет собой карту. Каждыйназывается термином (или, реже, элементом ) последовательности. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, он почти всегда обозначается, как если бы это был упорядоченный ∞-кортеж, с отдельными терминами или общим термином, заключенным в круглые скобки: [3]
Учитывая последовательность , другая последовательность является подпоследовательность из если для всех положительных целых чисел а также представляет собой строго возрастающую последовательность натуральных чисел.
Пределы и конвергенция
Грубо говоря, предел - это значение, к которому функция или последовательность «приближается», когда вход или индекс приближается к некоторому значению. [4] (Это значение может включать символыпри рассмотрении поведения функции или последовательности при неограниченном увеличении или уменьшении переменной.) Идея предела является фундаментальной для исчисления (и математического анализа в целом), и его формальное определение, в свою очередь, используется для определения таких понятий, как непрерывность , производные , и интегралы . (Фактически, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, которая отличает математический анализ и математический анализ от других разделов математики.)
Понятие предела было неофициально введено для функций Ньютоном и Лейбницем в конце 17 века для построения исчисления бесконечно малых . Для последовательностей концепция была введена Коши и уточнена в конце 19 века Больцано и Вейерштрассом , которые дали современное определение ε-δ , которое следует ниже.
Определение. Позволять - вещественная функция, определенная на . Мы говорим что как правило в виде подходы , или что предел в виде подходы является если для любого , Существует такое, что для всех , подразумевает, что . Запишем это символически как
В немного другом, но связанном контексте концепция предела применяется к поведению последовательности. когда становится большим.
Определение. Позволять- последовательность с действительными значениями. Мы говорим что сходится к если для любого , существует натуральное число такой, что подразумевает, что . Запишем это символически как
Обобщая до действительной функции действительной переменной, небольшая модификация этого определения (замена последовательности и срок по функции и ценность и натуральные числа а также по реальным числам а также соответственно) дает определение предела в виде неограниченно увеличивается , с пометкой. Преодоление неравенства к дает соответствующее определение предела в виде уменьшается неограниченно ,.
Иногда полезно сделать вывод, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция последовательности Коши.
Определение. Позволять- последовательность с действительными значениями. Мы говорим чтоявляется последовательностью Коши, если для любого, существует натуральное число такой, что подразумевает, что .
Можно показать, что последовательность с действительными значениями является Коши тогда и только тогда, когда она сходится. Это свойство действительных чисел выражается в том, что действительные числа, наделенные стандартной метрикой,, является полным метрическим пространством . Однако в общем метрическом пространстве последовательность Коши может не сходиться.
Кроме того, для монотонных последовательностей с действительными значениями можно показать, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится.
Равномерная и поточечная сходимость последовательностей функций
Помимо последовательностей чисел, можно говорить также о последовательностях функций на , то есть бесконечные упорядоченные семейства функций , обозначенный , и их свойства сходимости. Однако в случае последовательностей функций необходимо различать два вида сходимости, известные как поточечная сходимость и равномерная сходимость .
Грубо говоря, поточечная сходимость функций к предельной функции , обозначенный , просто означает, что при любом , в виде . Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует членов семейства функций,, чтобы попасть в какую-то ошибку из для каждого значения, в любое время , для некоторого целого числа . Чтобы семейство функций сходилось равномерно, иногда обозначается, такое значение должен существовать для любого дано, каким бы маленьким оно ни было. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представив, что для достаточно большого, функции все заключены в «трубу» шириной о (то есть между а также ) для каждого значения в своем домене .
Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно, когда желательно поменять порядок двух ограничивающих операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен был правильным, многие теоремы реального анализа требуют для равномерного схождения. Например, последовательность непрерывных функций (см. Ниже ) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость является равномерной, в то время как предельная функция может не быть непрерывной, если сходимость только поточечная. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение концепции однородной конвергенции и полное исследование ее последствий.
Компактность
Компактность - это концепция из общей топологии, которая играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия замкнутости и ограниченности множества . (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Вкратце, замкнутое множество содержит все свои граничные точки , в то время как множество ограничено, если есть существует такое действительное число, что расстояние между любыми двумя точками набора меньше этого числа. В, множества, которые являются замкнутыми и ограниченными и, следовательно, компактными, включают пустое множество, любое конечное число точек, замкнутые интервалы и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, наборкомпакт; Cantor тройная набор еще один пример компакта. С другой стороны, наборне является компактным, потому что он ограничен, но не замкнут, поскольку граничная точка 0 не является членом множества. Набор также некомпактен, потому что он замкнут, но не ограничен.
Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.
Определение. Множество компактно, если оно замкнуто и ограничено.
Это определение также верно для евклидова пространства любой конечной размерности, , но это не верно для метрических пространств в целом. Эквивалентность определения с определением компактности на основе подпокрытий, приведенным далее в этом разделе, известна как теорема Гейне-Бореля .
Более общее определение, которое применяется ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. Выше).
Определение. Множество в метрическом пространстве компактно, если каждая последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность.
Это конкретное свойство известно как подпоследовательная компактность . В, множество субпоследовательно компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Субсеквенциальная компактность эквивалентна определению компактности на основе подпокрытий для метрических пространств, но не для топологических пространств в целом.
Наиболее общее определение компактности основывается на понятии открытых покрытий и подпокрытий , которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам икак особые случаи). Вкратце, сборник открытых наборовназывается открытой крышкой набора если объединение этих множеств является надмножеством . Говорят, что это открытое покрытие имеет конечное подпокрытие, если конечный набор можно найти, что также охватывает .
Определение. Множество в топологическом пространстве компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
Компактные наборы хорошо себя ведут в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. Другой пример: образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.
Непрерывность
Функции из множества действительных чисел на действительные числа могут быть представлены в виде графика в декартовой плоскости ; такая функция является непрерывной, если, грубо говоря, график представляет собой единую непрерывную кривую без «дырок» или «скачков».
Есть несколько способов сделать эту интуицию математически точной. Можно дать несколько определений разной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определения, легко показать, что они эквивалентны друг другу, поэтому можно использовать наиболее удобное определение, чтобы определить, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, данном ниже, - функция, определенная на невырожденном интервале набора действительных чисел в качестве его домена. Некоторые возможности включают, весь набор действительных чисел, открытый интервал или закрытый интервал Здесь, а также различные действительные числа, и мы исключаем случай быть пустым или состоящим только из одной точки, в частности.
Определение. Если невырожденный интервал, мы говорим, что является непрерывной в если . Мы говорим чтоявляется непрерывным отображением, если непрерывна на каждом .
В отличие от требований к иметь предел в точке , которые не ограничивают поведение в Сама по себе, следующие два условия, в дополнение к существованию , должен также удерживаться для того, чтобы быть непрерывным в : (i) должно быть определено в , т.е. находится в сфере ; и (ii) в виде . Приведенное выше определение действительно применимо к любому домену.который не содержит изолированной точки , или, что то же самое, где каждый является предельной точкой из. Более общее определение, применимое к с общим доменом следующее:
Определение. Если произвольное подмножество мы говорим, что является непрерывной в если для любого , Существует такое, что для всех , подразумевает, что . Мы говорим чтоявляется непрерывным отображением, если непрерывна на каждом .
Следствием этого определения является то, что это тривиально непрерывна в любой изолированной точке . Такое несколько неинтуитивное рассмотрение изолированных точек необходимо для обеспечения того, чтобы наше определение непрерывности для функций на вещественной прямой согласовывалось с наиболее общим определением непрерывности для отображений между топологическими пространствами (которое включает метрические пространства ив частности как особые случаи). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения реального анализа, приводится ниже для полноты картины.
Определение. Если а также топологические пространства, мы говорим, что является непрерывной в если является соседство из в для каждого района из в . Мы говорим чтоявляется непрерывным отображением, если открыт в для каждого открыть в .
(Здесь, относится к прообразу из под .)
Единая преемственность
Определение. Еслиявляется подмножеством действительных чисел , мы говорим, что функцияявляется равномерно непрерывной на если для любого существует такое, что для всех , подразумевает, что .
Явно, когда функция равномерно непрерывна на , выбор необходим для выполнения определения должен работать для всех для данного . Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке (или говорят, что непрерывно на ), выбор может зависеть от обоих а также . В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность - это свойство функции, имеющее смысл только в определенной области; говорить о единой непрерывности в одной точке бессмысленно.
На компакте легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если является ограниченным некомпактным подмножеством , то существует это непрерывно, но не равномерно непрерывно. В качестве простого примера рассмотрим определяется . Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать для любого единственного выбора , для данного .
Абсолютная преемственность
Определение. Позволять- интервал на реальной прямой . Функцияназывается абсолютно непрерывным на если для каждого положительного числа , есть положительное число такое, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов из удовлетворяет [5]
тогда
Абсолютно непрерывные функции непрерывны: рассмотрим случай n = 1 в этом определении. Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на I обозначается AC ( I ). Абсолютная непрерывность - это фундаментальное понятие в теории интегрирования Лебега, позволяющее сформулировать обобщенную версию фундаментальной теоремы исчисления, которая применяется к интегралу Лебега.
Дифференциация
Понятие производной функции или дифференцируемости происходит от концепции приближения функции вблизи заданной точки с использованием «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, уникально и задается линией, касательной к функции в данной точке, а наклон прямой - производная функции при .
Функция является дифференцируемой весли предел
существуют. Этот предел известен как производная от в , а функция , возможно, определенное только на подмножестве , - производная (или производная функция ) от . Если производная существует всюду, функция называется дифференцируемой .
Как простое следствие определения, непрерывно на если он там дифференцируемый. Таким образом, дифференцируемость является более сильным условием регулярности (условием, описывающим «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей действительной прямой, но не дифференцируемой нигде (см . Нигде не дифференцируемую непрерывную функцию Вейерштрасса ). Можно также обсудить существование производных более высокого порядка, найдя производную функции производной и т. Д.
Классифицировать функции можно по классу дифференцируемости . Класс (иногда для обозначения интервала применимости) состоит из всех непрерывных функций. Класссостоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция - это в точности функция, производная которой существует и имеет класс . В общем, занятияможно определить рекурсивно , объявив быть набором всех непрерывных функций и объявлять для любого положительного целого числа быть множеством всех дифференцируемых функций, производная которых находится в . В частности, содержится в для каждого , и есть примеры, показывающие, что это сдерживание является строгим. Класс является пересечением множеств в виде изменяется по неотрицательным целым числам, и члены этого класса известны как гладкие функции . Класссостоит из всех аналитических функций и строго содержится в(см. функцию удара для гладкой функции, которая не является аналитической).
Ряд
Ряд формализует неточное представление о суммировании бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что суммирование «бесконечного» числа членов может привести к конечному результату, была нелогичной для древних греков и привела к формулировке ряда парадоксов Зеноном и другими философами. Современное понятие присвоения значения ряду избегает иметь дело с неточно определенным понятием добавления «бесконечного» числа терминов. Вместо этого конечная сумма первых рассматриваются члены последовательности, известные как частичная сумма, и понятие предела применяется к последовательности частичных сумм как растет неограниченно. Серии присваивается значение этого лимита, если он существует.
Учитывая (бесконечную) последовательность , мы можем определить связанный ряд как формальный математический объект, иногда просто пишется как. В частичные суммы из серии числа . Серияназывается сходящейся, если последовательность, состоящая из ее частичных сумм,, сходится; в противном случае он расходится . Сумма сходящегося ряда определяется как число.
Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле для обозначения предела последовательности частичных сумм и не должно интерпретироваться как простое «добавление» бесконечного числа терминов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка членов бесконечного ряда может привести к сходимости к другому числу (см. Статью о теореме перестановки Римана для дальнейшего обсуждения).
Пример сходящегося ряда - геометрический ряд, лежащий в основе одного из известных парадоксов Зенона :
Напротив, гармонический ряд был известен со времен средневековья как расходящийся ряд:
(Здесь, ""- это просто условное обозначение, указывающее, что частичные суммы ряда неограниченно растут.)
Серия называется абсолютно сходящимся, еслисходится. Сходящийся ряд для которого расходится, сходится неабсолютно . [6] Легко показать, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. С другой стороны, пример ряда, который сходится неабсолютно:
Серия Тейлора
Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции ƒ ( x ), бесконечно дифференцируемой в действительном или комплексном числе a, является степенным рядом
что может быть записано в более компактной сигма-нотации как
где п ! обозначает факториал от п и ƒ ( п ) ( ) обозначает п - й производную от ƒ оцениваемого в точке а . Производная нулевого порядка ƒ определяется как ƒ себя и ( х - ) 0 и 0! оба определены как 1. В случае, когда a = 0 , ряд также называется рядом Маклорена.
Ряд Тейлора функции f относительно точки a может расходиться, сходиться только в точке a , сходиться для всех x таких, что(наибольшее такое R, для которого гарантируется сходимость, называется радиусом сходимости ), или сходятся на всей действительной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус сходимости и суммируется с функцией в круге сходимости , то функция является аналитической . Аналитические функции обладают многими фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция действительной переменной естественным образом продолжается до функции комплексной переменной. Таким образом, экспоненциальная функция , логарифм , тригонометрические функции и обратные им функции расширяются до функций комплексной переменной.
Ряд Фурье
Ряд Фурье разлагает периодические функции или периодические сигналы на сумму (возможно, бесконечного) набора простых осциллирующих функций, а именно синусов и косинусов (или комплексных экспонент ). Изучение рядов Фурье обычно происходит в рамках раздела математика > математический анализ > анализ Фурье .
Интеграция
Интегрирование - это формализация проблемы определения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней задач определения длины кривой или объема, заключенного в поверхность. Основная стратегия решения проблем этого типа была известна древним грекам и китайцам и была известна как метод исчерпания . Вообще говоря, желаемая площадь ограничена сверху и снизу, соответственно, посредством более точного описания и вписывания многоугольных аппроксимаций, точные площади которых могут быть вычислены. Рассматривая приближения, состоящие из все большего и большего («бесконечного») числа меньших и меньших («бесконечно малых») частей, можно вывести площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, определенные приближениями, сходятся вокруг общего значение.
Дух этой базовой стратегии можно легко увидеть в определении интеграла Римана, в котором интеграл считается существующим, если верхняя и нижняя суммы Римана (или Дарбу) сходятся к общему значению в виде более тонких и более тонких прямоугольных срезов («уточнения»). ") считаются. Хотя механизм, используемый для его определения, намного более сложен по сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега был определен с учетом аналогичных основных идей. По сравнению с интегралом Римана более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. Д .; в общем, называемую «мерой») для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя все еще существуют «неизмеримые» подмножества, для которых нельзя назначить площадь.
Интеграция Римана
Интеграл Римана определяется в терминах сумм функций Римана относительно помеченных разбиений интервала. Позволять- отрезок реальной прямой; затем раздел с тегами из конечная последовательность
Это разбивает интервал в подинтервалы проиндексировано , каждая из которых помечена выделенной точкой . Для функции ограничен Мы определяем сумму Римана о относительно помеченного раздела в виде
где ширина подинтервала . Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подинтервала, и шириной, такой же, как ширина подинтервала. Сетка такого помечено перегородка ширина наибольшего к югу от интервала , образованного перегородкой,. Мы говорим, что интеграл Римана от на является если для любого Существует так что для любого помеченного раздела с сеткой , у нас есть
Иногда это обозначается . Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана известна как верхняя (соответственно нижняя) сумма Дарбу . Функция является интегрируемой по Дарбу, если верхняя и нижняя суммы Дарбу могут быть произвольно близки друг к другу для достаточно маленькой сетки. Хотя это определение придает интегралу Дарбу видимость частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения интегралы равны. Фактически, учебники по исчислению и реальному анализу часто объединяют эти два понятия, вводя определение интеграла Дарбу как интеграла Римана из-за того, что определение первого немного проще в применении.
Фундаментальная теорема исчисления утверждает , что интегрирование и дифференцирование обратные операции в определенном смысле.
Интеграция Лебега и мера
Интегрирование Лебега - это математическая конструкция, расширяющая интеграл до более широкого класса функций; он также расширяет области, в которых могут быть определены эти функции. Концепция меры , абстракции длины, площади или объема, занимает центральное место в теории интегральной вероятности Лебега .
Распределения
Распределения (или обобщенные функции ) - это объекты, которые обобщают функции . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет производную по распределению.
Отношение к комплексному анализу
Реальный анализ - это область анализа, которая изучает такие концепции, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференциацию , интеграцию и последовательности функций. По определению, реальный анализ фокусируется на действительных числах , часто включая положительную и отрицательную бесконечность, чтобы сформировать расширенную действительную линию . Реальный анализ тесно связан с комплексным анализом , который изучает в целом те же свойства комплексных чисел . В комплексном анализе естественно определять дифференцирование через голоморфные функции , которые обладают рядом полезных свойств, таких как многократная дифференцируемость, выразимость в виде степенных рядов и удовлетворение интегральной формулы Коши .
В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемые , гладкие или гармонические функции , которые более широко применимы, но могут не иметь некоторых более мощных свойств голоморфных функций. Однако такие результаты, как основная теорема алгебры , проще, когда они выражаются в терминах комплексных чисел.
Методы теории аналитических функций комплексной переменной часто используются в реальном анализе - например, вычисление вещественных интегралов с помощью исчисления вычетов .
Важные результаты
Важные результаты включают Bolzano-Вейерштрасса и теоремы Гейне-Бореля , то теорема промежуточное значение и среднее значение теорема , теорема Тейлора , то фундаментальная теорема исчисления , то теорема Арцела , то теорема Стоуна-Вейерштрасса , лемму Фату и монотонной сходимости и теоремы о доминирующей сходимости .
Различные идеи из реального анализа можно обобщить от реальной линии к более широким или более абстрактным контекстам. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и субдисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность, от реального анализа до метрических пространств и топологических пространств, связывает реальный анализ с областью общей топологии , в то время как обобщение конечномерных евклидовых пространств до бесконечномерных аналогов привело к концепциям банаховых пространств. и гильбертовы пространства и, в более общем плане, к функциональному анализу . Исследование Георга Кантора множеств и последовательности действительных чисел, отображений между ними и фундаментальных проблем реального анализа породило наивную теорию множеств . Изучение вопросов сходимости последовательностей функций в конечном итоге привело к возникновению анализа Фурье как раздела математического анализа. Исследование последствий обобщения дифференцируемости функций действительной переменной на функции комплексной переменной привело к появлению концепции голоморфных функций и возникновению комплексного анализа как другой отдельной дисциплины анализа. С другой стороны, обобщение интегрирования от Римана к пониманию Лебега привело к формулировке концепции абстрактных пространств с мерой , фундаментальной концепции в теории меры . Наконец, обобщение интегрирования от вещественной прямой до кривых и поверхностей в многомерном пространстве привело к изучению векторного исчисления , дальнейшее обобщение и формализация которого сыграли важную роль в эволюции понятий дифференциальных форм и гладких (дифференцируемых) многообразий. в дифференциальной геометрии и других тесно связанных областях геометрии и топологии .
Смотрите также
- Список реальных тем анализа
- Исчисление шкалы времени - объединение реального анализа с исчислением конечных разностей
- Реальная функция многих переменных
- Реальное координатное пространство
- Комплексный анализ
Рекомендации
- ^ Тао, Теренс (2003). «Конспект лекций для MATH 131AH» (PDF) . Веб-сайт курса MATH 131AH, факультет математики, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе .
- ^ Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и конвергенция». Введение в анализ . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
- ^ Некоторые авторы (например, Рудин 1976) вместо скобок пишут. Однако это обозначение противоречит обычному обозначению набора , которое, в отличие от последовательности, не учитывает порядок и множественность его элементов.
- ^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные (6-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
- ^ Ройден 1988 , п. 5.4, стр. 108 ; Nielsen 1997 , Определение 15.6 на странице 251 ; Athreya & Lahiri 2006 , Определения 4.4.1, 4.4.2 на страницах 128,129 . Предполагается, что интервал I ограничен и замкнут в первых двух книгах, но не во второй.
- ^ Термин безусловная сходимость относится к рядам, сумма которых не зависит от порядка членов (т. Е. Любая перестановка дает ту же сумму). Впротивном случаесходимость называется условной . Для серии в, можно показать, что абсолютная сходимость и безусловная сходимость эквивалентны. Следовательно, термин «условная конвергенция» часто используется для обозначения неабсолютной конвергенции. Однако в общем случае банаховых пространств члены не совпадают, и существуют безусловно сходящиеся ряды, которые не сходятся абсолютно.
Библиография
- Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
- Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
- Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
- Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
- Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
- Карозерс, Нил Л. (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521497565.
- Данджелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
- Колмогоров, АН ; Фомин, С.В. (1975). Вводный реальный анализ . Перевод Ричарда А. Сильвермана. Dover Publications. ISBN 0486612260. Проверено 2 апреля 2013 года .
- Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
- Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон , Техас: ISBN Publish or Perish, Inc. 091409890X.
Внешние ссылки
- Как мы попали отсюда сюда: история настоящего анализа Роберта Роджерса и Юджина Бомана
- Дональд Яу: первый курс анализа
- Анализ веб-заметок Джона Линдси Орра
- Интерактивный реальный анализ Берта Г. Ваксмута
- Первый курс анализа Джона О'Коннора
- Математический анализ I Элиаса Закона
- Математический анализ II Элиаса Закона
- Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF) . Прентис Холл . ISBN 978-0-13-045786-8.
- Самые ранние известные применения некоторых слов математики: исчисление и анализ
- Базовый анализ: введение в реальный анализ Иржи Лебля
- «Темы реального и функционального анализа » Джеральда Тешля , Венский университет.