Прямоугольник

Прямоугольник
Прямоугольник
Тип	четырехугольник , параллелограмм , ортотоп
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{} × {}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 2 ), [2], (* 22), порядок 4
Двойной многоугольник	ромб
Характеристики	выпуклый , изогональный , циклический Противоположные углы и стороны равны

В евклидовой геометрии плоскости , прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равносторонний четырехугольник, поскольку равносторонний означает, что все его углы равны (360 ° / 4 = 90 °); или параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами равной длины - это квадрат . Термин продолговатый иногда используется для обозначения неквадратного прямоугольника. ^{[1] [2] [3]} Прямоугольник с вершинами ABCD обозначается как ABCD . 

Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию « rectus» (как прилагательное, правильный, правильный) и angulus ( угол ).

Пересекла прямоугольник является скрещенным (самопересекающийся) четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями ^[4] (поэтому только две стороны параллельны). Это частный случай антипараллелограмма , и его углы не прямые и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами равной длины и равными углами, которые не являются прямыми углами.

Прямоугольники участвуют во многих задачах мозаики , таких как мозаика плоскости прямоугольниками или мозаика прямоугольника по многоугольникам .

Характеристики

Выпуклый четырехугольник представляет собой прямоугольник , если и только если оно представляет собой любое одно из следующих действий : ^{[5] [6]}

• параллелограмм по меньшей мере одним прямого угла
• параллелограмм с диагоналями одинаковой длины
• параллелограмм ABCD , где треугольники ABD и DCA являются конгруэнтны
• равносторонний четырехугольник
• четырехугольник с четырьмя прямыми углами
• четырехугольник, в котором две диагонали равны по длине и делят друг друга пополам ^[7]
• выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d , площадь которого равна . ^{[8] : fn.1}${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}} (а + с) (б + г)}$
• выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d площадью ^[8]${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}.}.$

Классификация

Традиционная иерархия

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма , в котором каждая пара смежных сторон находится перпендикулярно .

Параллелограмм - это особый случай трапеции (известной как трапеция в Северной Америке), в которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .

Трапеция - это выпуклый четырехугольник, у которого есть по крайней мере одна пара параллельных противоположных сторон.

Выпуклый четырехугольник - это

• Просто : граница не пересекает саму себя.
• В форме звезды : весь интерьер виден с одной точки, не пересекая края.

Альтернативная иерархия

Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник с осями симметрии, проходящими через каждую пару противоположных сторон. ^[9] Это определение включает как прямоугольные прямоугольники, так и скрещенные прямоугольники. Каждая из них имеет ось симметрии, параллельную и равноудаленной от пары противоположных сторон, а другая - серединный перпендикуляр этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии для обеих сторон. что он делит пополам.

Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к большему классу четырехугольников, по крайней мере, с одной осью симметрии через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники состоят из равнобедренных трапеций и скрещенных равнобедренных трапеций (скрещенные четырехугольники с таким же расположением вершин, что и равнобедренные трапеции).

Характеристики

Симметрия

Прямоугольник циклический : все углы лежат на одной окружности .

Он равноугольный : все углы его углов равны (каждый по 90 градусов ).

Он изогонален или вершинно-транзитивен : все углы лежат внутри одной и той же орбиты симметрии .

Она состоит из двух линий из reflectional симметрии и вращательной симметрии 2 - го порядка (на 180 °).

Двойственность прямоугольник-ромб

Двойного многоугольника прямоугольника представляет собой ромб , как показано в таблице ниже. ^[10]

• Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, представляет собой ромб и наоборот.

Разное

Прямоугольник прямолинейен : его стороны пересекаются под прямым углом.

Прямоугольник в плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы, состоящими, например, из трех для положения (включая два перемещения и одно вращения ), одну для формы ( соотношение сторон ) и одну для общего размера (площади). .

Два прямоугольника, ни один из которых не поместится внутри другого, считаются несравнимыми .

Формулы

Если прямоугольник имеет длину и ширину${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle w}$

• у него есть площадь ,${\ displaystyle A = \ ell w \,}$
• имеет периметр ,${\ Displaystyle P = 2 \ ell + 2w = 2 (\ ell + w) \,}$
• каждая диагональ имеет длину ,${\ displaystyle d = {\ sqrt {\ ell ^ {2} + w ^ {2}}}}$
• и когда прямоугольник является квадратом .${\ Displaystyle \ ell = вес \,}$

Теоремы

Изопериметрическая теорема прямоугольников утверждает , что среди всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет самую большую площадь .

Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.

Параллелограмм с равными диагоналями представляет собой прямоугольник.

Японская теорема для циклических четырехугольников ^[11] утверждает , что incentres четырех треугольников , определяемый в вершинах четырехугольника циклического взятый три в то время форме прямоугольника.

Теорема о британском флаге утверждает, что с вершинами, обозначенными A , B , C и D , для любой точки P на одной плоскости прямоугольника: ^[12]

${\ displaystyle \ displaystyle (AP) ^ {2} + (CP) ^ {2} = (BP) ^ {2} + (DP) ^ {2}.}$

Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что гомотетическая копия R тела r описана вокруг C и положительное отношение гомотетии не превосходит 2 и . ^[13]${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$

Скрещенные прямоугольники

Пересекли (самопересекающийся) четырехугольник состоит из двух противоположных сторон , не самопересекающийся четырехугольника вместе с двумя диагоналями. Точно так же скрещенный прямоугольник - это скрещенный четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями. У него такое же расположение вершин, как и у прямоугольника. Он выглядит как два идентичных треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Скрещенный четырехугольник иногда сравнивают с галстуком или бабочкой , которую иногда называют «угловые восемь». Трехмерная прямоугольная проволока рама , которая скручивается может принимать форму галстука - бабочки.

Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность многоугольников ± 1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации намотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Пересеченный прямоугольник не является равноугольным, так как два его угла острые, а два - рефлекторные ; однако каждая пара противоположных углов равны друг другу. Как и у любого скрещенного четырехугольника, сумма его внутренних углов составляет 720 °. ^[14]

Прямоугольник и скрещенный прямоугольник - это четырехугольники со следующими общими свойствами:

• Противоположные стороны равны по длине.
• Две диагонали равны по длине.
• Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательной симметрии 2-го порядка (до 180 °).

Другие прямоугольники

В сферической геометрии , A сферической прямоугольник представляет собой фигуру , чьи четыре ребра большой окружности дуги , которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой твердотельной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия - это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии , эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии , A гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

Мозаики

Прямоугольник используется во многих периодических моделях тесселяции , например, в кирпичной кладке :

Квадратные, идеальные и другие мозаичные прямоугольники

Прямоугольник, выложенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «треугольным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Прямоугольник с черепицей идеален ^{[15] [16],} если плитки одинаковы и имеют конечное количество, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки одинакового размера, плитка неидеальна . В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными .

Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда он может быть выложен конечным числом неравных квадратов. ^{[15] [17]} То же самое верно, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники .

Наибольшее внимание привлекли мозаики прямоугольников другими плитками, которые представляют собой конгруэнтные непрямоугольные полимино , допускающие любые вращения и отражения. Есть также мозаики конгруэнтными полиаболами .

Смотрите также

• Кубоид
• Золотой прямоугольник
• Гиперпрямоугольник
• Суперэллипс (включает прямоугольник со скругленными углами)

Рекомендации

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме прямоугольников .

• Вайсштейн, Эрик У. «Прямоугольник» . MathWorld .
• Определение и свойства прямоугольника с интерактивной анимацией.
• Площадь прямоугольника с интерактивной анимацией.